宁夏石嘴山市高二数学上学期课时作业（人教A版选择性必修第一册3.1椭圆）

椭圆的作业设计答案 1、 概念类作业 1. 类比P106页椭圆方程的推导，请写完成下面作业. 如图，如果焦点在轴上，焦点的坐标分别为，且，请推导椭圆的方程. 设计目标：通过本题的训练，让学生熟练掌握椭圆的标准方程的推导. 2、 基础类作业 2．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 4．已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 5．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 3、 拓广类作业 6．已知、，则下列命题中正确的是（    ） A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【详解】选项：平面内到、两点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，在轴上，中点为原点，垂直平分线为直线，是一条直线，正确； 选项：椭圆的定义：平面内到两定点距离之和大于两定点间距离的点的轨迹.本题中，满足的动点的轨迹是线段，不是椭圆，错误； 选项：设，由得，两边平方整理得，是圆心为、半径为的圆，正确； 选项：设，由斜率之积为得，整理得，即轨迹为椭圆除去、两点，正确. 7．已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则下列说法正确的是（   ） A．点P的轨迹方程为： B．P，A，B不共线时，面积的最大值为 C．存在点P，使得 D．为坐标原点，的最小值为4 【详解】选项A，设，则，平方整理得，即为点轨迹方程，A错； 选项B，由轨迹方程知点轨迹是椭圆，，由于，椭圆的焦点是， 当点为椭圆短轴顶点时，面积最大，此时面积为，B正确； 选项C，由于，因此以为直径的圆与椭圆没有交点，因此不存在，使得，C错； 选项D，如图，作，为垂足，则，， 当且仅当共线时，取得最小值4，即的最小值为4，D正确． 故选：BD. 四、探究类作业 8．已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【详解】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 9．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆E上，. (1)求的面积S； (2)研究的内角的变化规律. 【分析】（1）已知，由余弦定理和椭圆的定义，结合三角形面积公式求解； （2）结合图形，利用余弦定理、基本不等式及三角函数的单调性研究的变化规律. 【详解】（1）如图所示，，设，，则，    在中，由余弦定理得 ，即. 所以. （2）方法一：在中运用余弦定理，则有， 由于，且， 所以， 当且仅当，即P为椭圆与y轴交点时取等号，此时最小，取得最大值. 方法二：利用（1）中结论探讨，因为为的内角，所以，即. 如图，令点P按顺时针方向由点A向点B运动， 则的边不变，但边上的高逐渐增大，故S逐渐变大， 从而逐渐变大，由可知，也逐渐变大． 由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，也越大，当点P与点B重合时，达到最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆的作业设计 一、概念类作业 1. 类比P106页椭圆方程的推导，请写完成下面作业. 如图，如果焦点在轴上，焦点的坐标分别为，且，请推导椭圆的方程. 【设计目标】：通过本题的训练，让学生熟练掌握椭圆的标准方程的推导. 二、基础概念类作业 2．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【设计目标】：本题旨在帮助学生熟悉椭圆的基本概念，加强数学基本概念的理解，体现基础性. 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为 A． B． C． D． 【设计目标】:本题旨在帮助学生加强对椭圆方程的理解，并求出椭圆的标准方程，体现基础性. 4．已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为 A． B． C． D． 【设计目标】:本题旨在帮助学生加强对动点轨迹的理解，并要求学生求出轨迹方程，要求学生要特别注意条件,考查学生的逻辑严密性，体现基础性. 5．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【设计目标】:通过本题的训练，加强学生的椭圆的标准方程的理解与求解，体现基础性. 三、拓广类作业 6．已知、，则 A．平面内满足的动点P的轨迹为一条直线 B．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆 C．平面内满足的动点P的轨迹为圆 D．直线相交于点M，且它们的斜率之积是，则M的轨迹是椭圆（除去A、B两点） 【设计目标】:通过本题的训练，加强学生对动点满足不同条件的轨迹的理解，帮助学生掌握更多的轨迹类问题，体现基础性和综合性. 7．已知定点，，动点P到B的距离和它到直线：的距离的比是常数，则 A．点P的轨迹方程为： B．P，A，B不共线时，面积的最大值为 C．存在点P，使得 D．为坐标原点，的最小值为4 【设计目标】:本题属于新定义类题目，背景是椭圆的第二定义，进一步拓宽学生的知识面，让学生能够从不同角度认识椭圆，解决与之相关的问题，体现综合性与创新性. 四、探究类作业 8．已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【设计目标】:本题背景是教材（P108）的例3，以此设置椭圆中的最值问题，属于探究性问题，体现综合性. 9．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆E上，. (1)求的面积S； (2)研究的内角的变化规律. 【设计目标】:本题属于的背景是椭圆的焦点三角形，需要学生借助余弦定理，基本不等式，利用数形结合的数学思想，逐步探究问题的解决路径，进一步拓宽学生的知识面，提升学生的数学思想与方法，体现综合性与创新性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆课时作业设计方案 本作业设计依托人教A版选择性必修第一册第三章第一节，围绕椭圆的概念与标准方程，参照《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“基础性、综合性、创新性”的评价要求，设置概念类、基础概念类、拓广类、探究类四个层次的作业，面向全体学生，兼顾学困生的基础巩固与优等生的能力提升。 一、作业目标 1. 知识目标：经历椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆的定义、焦点、焦距等基本概念，能根据两个基本条件熟练求出椭圆的标准方程。 2. 能力目标：能将动点满足的几何条件（距离之和、斜率之积等）转化为代数方程，体会数形结合、化归与转化的数学思想，提升数学运算与逻辑推理素养。 3. 素养目标：通过拓广类与探究类问题，从椭圆的第二定义、焦点三角形等多角度认识椭圆，培养直观想象、数学抽象等核心素养，发展创新意识。 二、作业设计理念 椭圆是圆锥曲线学习的起点，其标准方程的推导集中体现了坐标法“几何条件代数化”的核心思想。本设计遵循“低起点、小步子、有层次、能探究”的原则：概念类作业让学生亲历教材第106页标准方程的推导，体会设点、列式、化简的完整过程；基础概念类作业紧扣定义中的易错点，如“距离之和为定值”须大于两定点间距离才能构成椭圆；拓广类与探究类作业则将椭圆置于轨迹问题、第二定义、焦点三角形等更广阔的背景中，使不同水平的学生都能在“最近发展区”内获得发展。 三、作业实施方案 （一）作业内容与分层安排 层次 题号与内容 设计意图 面向对象 概念类 第1题：类比教材推导椭圆标准方程 亲历推导过程，掌握坐标法 全体学生 基础概念类 第2至5题：椭圆概念辨析、轨迹方程、标准方程求解 夯实基础，辨析“2a为定值”等易错点 全体学生 拓广类 第6、7题：多类轨迹问题、椭圆第二定义背景题 拓宽知识面，体会综合性与创新性 中等及以上学生 探究类 第8、9题：最值问题、焦点三角形探究 综合运用余弦定理、基本不等式，渗透数形结合思想 学有余力的学生 （二）实施步骤 1. 布置环节：结合课堂教学进度，在“椭圆及其标准方程”新课结束后布置。第1至5题为必做题，第6至9题为选做题，鼓励学生挑战更高层次题目。 2. 完成环节：要求学生独立完成，书面呈现规范解答过程，其中第1题须写出完整的坐标法推导步骤；探究类题目允许小组合作讨论后独立书写。建议完成时间40分钟以内。 3. 批改与反馈环节：教师全批全改，重点标注概念性错误与运算失误；对共性错误在下节课集中讲评，对个别问题面批指导；选做题完成情况纳入成长记录。 4. 讲评与延伸环节：讲评时回归椭圆定义，突出“先定轨迹、再定方程”的解题程序，并鼓励学生整理错题、撰写一题多解的探究心得。 四、作业评价标准 评价采用“等级＋评语”相结合的方式，从知识掌握、过程规范、思想方法、探究创新四个维度进行，既关注结果正确性，也关注思维过程与学习态度。 评价维度 评价要点 等级标准 知识掌握 概念理解准确，椭圆标准方程求解正确，焦点位置讨论完备 A：全部正确；B：个别小错；C：概念性错误 过程规范 推导步骤完整，书写格式规范，坐标法运用得当 A：规范严谨；B：基本规范；C：跳步严重 思想方法 能自觉运用数形结合、化归转化、分类讨论等思想 A：运用自如；B：在提示下运用；C：尚未掌握 探究创新 完成选做题情况，一题多解、质疑拓展的表现 A：独立完成且有创见；B：部分完成；C：未尝试 必做题（第1至5题）全部正确且书写规范者评为A等；基础题存在少量运算失误但不出现概念性错误者评为B等；出现概念理解错误者评为C等，并要求订正后复批。选做题按完成质量在总评中加分记录。评语侧重肯定进步、指出改进方向，如“轨迹方程求解思路清晰，若注意检验斜率不存在的情形将更严谨”。 评价主体上，采取教师评价为主、学生自评与同伴互评为辅的方式：学生完成作业后先对照评价要点自查订正，小组内交换检查选做题的多种解法，再由教师终评，引导学生养成反思习惯。 评价结果用于教学诊断：若某层次错误率超过三分之一，教师须调整后续教学节奏，进行补偿性练习，实现“教—学—评”一致性。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $