3.2双曲线讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 双曲线 【知识梳理】 知识点01 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点02 求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点03 双曲线的简单几何性质 对称性;对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． 离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点04 双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点05 双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线:与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线:等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点06 双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形ΔPF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SΔPF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2相结合的方法进行计算与解题，将有关线段|PF1|、|PF2|、|F1F2|，有关角∠F1PF2结合起来，建立|PF1|−|PF2|、|PF1|⋅|PF2|之间的关系． 知识点07 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 知识点08 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）． 【例题讲解】 题型1 双曲线的定义与标准方程 【典例1】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 题型点播 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2a2−y2b2=1或y2a2−x2b2=1（a,b均为正数），然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 【典例2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【变式1】在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. (1)求的标准方程； (2)若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； (3)若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 题型2 双曲线焦点三角形问题 【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 题型点播 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 题型3 双曲线中的距离与最值 【典例1】已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型点播 根据两点距离公式，利用双曲线方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解，注意变量的取值范围. 双曲线中线段之和差的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 【典例2】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式1】是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型4 双曲线几何性质与渐近线 【典例1】过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 题型点播 由双曲线方程研究几何性质时，先将方程化为标准形式，判断焦点所在坐标轴，再确定a,b，利用c2=a2+b2求c，进而求顶点、焦点、实轴长、虚轴长、离心率及渐近线。 若渐近线为y=±nmx，则具有这两条渐近线的双曲线可设为x2m2−y2n2=λ，λ≠0；其中λ>0时焦点在x轴上，λ<0时焦点在y轴上。 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 题型5 双曲线离心率问题 【典例1】设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（    ） A． B． C． D． 题型点播 求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解，若已知a，b，可利用e＝ 1+ba2求解． (2)方程法：若无法求出a,b,c的具体值，但根据条件可确定a,b,c之间的关系，可通过b2=c2−a2，将关系式转化为关于a、c的齐次方程，借助于e=ca，转化为关于e的方程求解．若得到的是关于a、c的齐次方程pc2+qac+ra2=0（p,q,r为常数，且p≠0），两边除以a2，则得到pe2+qe+r=0． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．3 题型6 直线与双曲线的位置关系 【典例1】已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 题型点播 1．判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． 2．直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=1+k2|x1−x2|；当k≠0时，也可写为d=1+1k2|y1−y2|． 3．双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 【变式1】设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【课堂过关训练】 1．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 . 2．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 4．已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 5．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 6．已知点，为双曲线C：（，）上两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 7．已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由； (3)证明：三角形是钝角三角形. 8．已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 【课后能力提升】 1．（多选）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（   ） A． B．的离心率为 C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的 2．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 3．（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 4．已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 5．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 双曲线 【知识梳理】 知识点01 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点02 求双曲线的标准方程 ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 知识点03 双曲线的简单几何性质 对称性;对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点:①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． 离心率:①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线:经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点04 双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点05 双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线:与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线:等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点06 双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形ΔPF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SΔPF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin∠F1PF2相结合的方法进行计算与解题，将有关线段|PF1|、|PF2|、|F1F2|，有关角∠F1PF2结合起来，建立|PF1|−|PF2|、|PF1|⋅|PF2|之间的关系． 知识点07 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去,得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 知识点08 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）． 【例题讲解】 题型1 双曲线的定义与标准方程 【典例1】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 题型点播 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 1．求双曲线标准方程的步骤;(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 2．双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2a2−y2b2=1或y2a2−x2b2=1（a,b均为正数），然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 【典例2】已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 【变式1】在平面直角坐标系中，为双曲线上两不重合的动点，点，且当四点共线时，. (1)求的标准方程； (2)若直线与的渐近线垂直，且经过点，求直线与两坐标轴交点的坐标； (3)若均在的右支上，且线段是的角平分线，求直线的方程. 【答案】(1). (2)72,0和0,72或12,0和0,−12 (3) 【详解】（1）∵四点共线时，，根据双曲线对称性， ∴关于原点对称，不妨设在在右侧，即在圆， 又，∴，与圆联立得，， 代入，， ∴双曲线的标准方程为. （2）∵ ，∴渐近线为或， ∵直线与的渐近线垂直，且经过点， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为72,0，y轴交点为0,72， 当渐近线为时，直线， 与x轴交点为12,0，y轴交点为0,−12， 综上，直线l与两坐标轴交点的坐标为72,0和0,72或12,0和0,−12. （3）如图， 根据题意直线斜率存在，设，， 联立， ∴，， 解得或， ， ， 设直线的倾斜角分别为， ∵是的角平分线， ∴， ， ， 又点在PQ上，所以， 故， 整理得，解得或， 又或，所以， 故直线的方程为. 题型2 双曲线焦点三角形问题 【典例1】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 题型点播 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 题型3 双曲线中的距离与最值 【典例1】已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 题型点播 根据两点距离公式，利用双曲线方程，借助代入消元法，消去其中一个变量，得到双曲线上点到坐标轴上点的距离关于变量的函数表达式，将点点之间距离的最值问题转化成常见函数——二次函数的最值问题进行求解，注意变量的取值范围. 双曲线中线段之和差的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 【典例2】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式1】是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 题型4 双曲线几何性质与渐近线 【典例1】过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设，则双曲线在点处的切线方程为， 在中，令，得，故，故， 又，故， 其中，又， 故， 因为，所以，即，整理得， 显然，所以，解得. 故选：B. 题型点播 由双曲线方程研究几何性质时，先将方程化为标准形式，判断焦点所在坐标轴，再确定a,b，利用c2=a2+b2求c，进而求顶点、焦点、实轴长、虚轴长、离心率及渐近线。 若渐近线为y=±nmx，则具有这两条渐近线的双曲线可设为x2m2−y2n2=λ，λ≠0；其中λ>0时焦点在x轴上，λ<0时焦点在y轴上。 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为分别为双曲线的两条渐近线，直线过点，且，直线与交于点，直线与双曲线的右半支交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】 由题意，得渐近线的方程为． 不妨设直线的方程为，． 由解得． 又，且 解得，代入双曲线，得， 解得双曲线的离心率． 故选：A． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 题型5 双曲线离心率问题 【典例1】设，，点，是坐标原点，，是双曲线：的左焦点，若直线：经过点，且能与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知， 因为直线， 所以点到直线的距离为， 所以， 由题意知，， 所以，，即直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 联立， 由题意知，直线与双曲线的左右两支各有一个交点， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率， 对比选项可知，只有选项D符合题意． 故选：D． 题型点播 求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解，若已知a，b，可利用e＝ 1+ba2求解． (2)方程法：若无法求出a,b,c的具体值，但根据条件可确定a,b,c之间的关系，可通过b2=c2−a2，将关系式转化为关于a、c的齐次方程，借助于e=ca，转化为关于e的方程求解．若得到的是关于a、c的齐次方程pc2+qac+ra2=0（p,q,r为常数，且p≠0），两边除以a2，则得到pe2+qe+r=0． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意可作图如下： 易知， ，则， 在中，，， 整理可得，解得，所以. 故选：B. 题型6 直线与双曲线的位置关系 【典例1】已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. (1)求的渐近线方程： (2)求面积S的最小值： (3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 【答案】(1) (2)16 (3)证明见解析， 【详解】（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点， 将，代入得：，解得， ，的渐近线方程为； （2）设，，则， 由于，则， 显然，可得，且，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为16； （3）显然，直线， 即， 其中，， 即，， 故点到直线的距离为 ， 存在定圆与直线相切. 题型点播 1．判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解． 2．直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d=1+k2|x1−x2|；当k≠0时，也可写为d=1+1k2|y1−y2|． 3．双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 【变式1】设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线的右支于两点，且关于轴的对称点为的外心为. （i）求外心的坐标（用表示）； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由双曲线的方程知，，又离心率，故， 因为， 故双曲线的方程为； （2）（i）直线的方程为， 联立，得， 故且， 设， 则， ， 由已知，所以， 所以线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 又线段的垂直平分线方程为， 所以点的坐标为， （ii）由题意，右焦点，故， ， 所以，则由知， 所以，即， 所以的取值范围为. 【课堂过关训练】 1．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 . 【答案】 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点， 设，则， 所以，解得， 所以，即, 故答案为：. 2．如图，在半径为2的圆中，是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为半圆，为双曲线的右顶点，且过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，设直线的斜率为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2，， 双曲线的方程为，，，解得， 双曲线的方程为，， ，为直线的斜率， 当直线与半圆相切时，最小， 此时设直线的方程为，即，， 解得或（舍去），. 故选：A. 3．（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 【答案】BC 【详解】直线与坐标轴的交点分别为和， 因此双曲线的一个焦点为，即， 又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以， 由，解得， 选项A，实轴长为，A错； 选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即， 右焦点为，则，C正确， 选项D，曲线的顶点坐标为，D错误； 故选：BC． 4．已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点，定值为1 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 5．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以|PQ|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 6．已知点，为双曲线C：（，）上两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将，的坐标代入双曲线C的方程，可得，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）设，，线段的中点， 联立，消去整理得， 所以，即且①， 所以，， 所以，. 因为，所以， 所以， 所以②. 又③， 由①②③得或， 所以实数m的取值范围是. 7．已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由； (3)证明：三角形是钝角三角形. 【答案】(1)（或） (2)是，定点 (3)证明见解析 【详解】（1）设，由题意得且， ，整理得 因此曲线的方程为：（或） （2）由题意得，又， 设， 若直线的斜率不存在，则 解得，此时直线过， 若直线的斜率存在，设， 与双曲线联立得， 依题意且 由韦达定理得，. 整理得， 此时恒成立，过 综上所述，直线过定点. （3）由（2）知， ①当时，，均在的右支， 如图2，此时 故为钝角. ②当时，，在的两支， 如图1，不妨设在的右支 记，此时 故为锐角，因此为钝角 综上所述，三角形为钝角三角形 图1                        图2 8．已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii） 【详解】（1）设，由于两条渐近线为，则有 到两条渐近线为的距离之积为 则解得 所以双曲线C的方程为 （2）（i）设，且， 因为在双曲线上， 所以，两式相减可得 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率 所以直线l的方程为，即 将直线l与双曲线联立，可得，. ，故方程无解. 所以不存在这样的直线l，综上，点不能是线段PQ的中点. （ii）设切点，则切线的方程为，且 由，解得，所以 设， 由，消去得，所以, 由，消去y得，所以； 所以， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即 【课后能力提升】 1．（多选）已知双曲线的一条渐近线为．将的实轴，虚轴长度均变为原先的，记得到的双曲线为，则（   ） A． B．的离心率为 C．的一条渐近线为 D．的焦点到渐近线的距离为的 【答案】BCD 【详解】选项：因为双曲线的一条渐近线为. 且根据双曲线性质可得：的渐近线为. 所以其一条渐近线等价于，因为，故，得到，解得，故错误； 选项：将代入方程，得到，所以的离心率为，故正确； 选项：将的实轴，虚轴长度均变为原先的，则. 其渐近线为，所以的一条渐近线为，故正确； 选项：对于双曲线，焦点到渐近线的距离为. 其中即为半虚轴长． 由于的虚轴长为的，故的焦点到渐近线的距离为的，故正确． 故选：． 2．已知双曲线与，下列说法正确的是（　　） A．两个双曲线有公共顶点 B．两个双曲线有公共焦点 C．两个双曲线有公共渐近线 D．两个双曲线的离心率相等 【答案】C 【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上， 而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误； 双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，故C正确； 双曲线的离心率， 而双曲线的离心率，故D错误. 故选：C. 3．（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 【答案】BD 【详解】不妨令，轴；当时，四边形为等腰梯形， 当时，四边形为矩形，故B，D正确； 因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为， 故四边形的对角线必不可能相互垂直， 故A，C错误. 故选：BD. 4．已知双曲线. (1)若双曲线的离心率为，求的值； (2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，因为，解得. （2）因为直线与圆相切，所以，可得， 联立得，即， 则，所以方程有两个不等的实根， 设这两个实根分别为、，则， 因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点. 5．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设，则到轴的距离力，，， ，，即 若曲线为椭圆，则，解得，且. （2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即， 设， 因为两点在双曲线上，所以 两式相减得，得，即， 所以， 因为是的垂直平分线，有，所以， 即，化简得， 因为的中点M的横坐标为x，所以 故． （ii）    由于，故可知直线斜率存在， 设直线的方程为：，由， 消去并整理得, 则，，即， 所以， 所以， 于是点的坐标为，． 易知，所以，解得：， 代入得，得或， 由在双曲线的右支上得：，得，即， 且， 综上得，， 又 所以 因为，所以，故,所以， 所以，所以