3.2.1双曲线及其标准方程课时作业设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学课时作业设计 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 结构化课时作业：3.2.1 双曲线及其标准方程 学段学科 高中 数学 适用年级 高二上 教材版本 人教A版选择性必修第一册 对应内容 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程，侧重双曲线定义的理解与标准方程的求法 作业类型 结构化课后分层课时作业，包含错题溯源、元认知反思模块 完成时长 全员必做题约35分钟；选做题合计约25分钟，自主选做，不强制完成 设计者 李建坤 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 （1）课标要求：本作业对应的学科核心素养，重点素养：数学抽象、数学运算；渗透素养：逻辑推理、数学建模。达成“经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线的定义及标准方程，能求简单情境下双曲线的标准方程”的学业质量标准。 （2）教材地位：本课时紧接椭圆之后，是学生第二次完整经历“定义—方程—研究”的圆锥曲线学习路径。双曲线的定义（平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于且非零）的点的轨迹）与椭圆定义形成鲜明的对偶关系，标准方程的推导方法与椭圆一脉相承，是后续学习双曲线几何性质、解决直线与双曲线位置问题的重要基础，也渗透了类比的研究方法。 （3）教学重难点：重点：双曲线的定义、标准方程的两种形式及待定系数法求标准方程；难点：定义中“差的绝对值为非零常数且小于”条件的理解，焦点位置的判断，以及“距离之差”（不带绝对值）时轨迹为双曲线一支的处理。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已系统学习椭圆的定义与标准方程，掌握“建系—设点—列式—化简”的解析几何通法，会类比研究新的曲线；具备一定的含两个根式的方程化简经验。 现有困惑 ① 容易把“距离之差的绝对值”与“距离之和”混淆，漏掉“常数小于且非零”的限制；② 不带绝对值时不会判断是哪一支；③ 焦点在哪个轴上判断出错，、、的关系（）与椭圆（）混淆；④ 实际背景（爆炸声、声响差）中不会建立坐标系、提炼定义条件。 差异分析 班级学生能力分层明显：基础学生能完成待定系数法求方程的简单题；中等生在焦点三角形、实际应用背景建模上容易受阻；优等生可挑战焦点三角形面积、轨迹综合问题。应对策略：作业设置全员必做、选做A、选做B三层习题，匹配不同层次学生学习需求。 3. 设计意图 本作业紧扣双曲线定义的生成与标准方程的应用，按照“基础巩固→综合应用→拓展提升”的梯度设计：全员必做题夯实定义辨析与待定系数法两大基本技能，并刻意设置与椭圆定义的对比辨析；选做A聚焦实际背景建模（声响差问题）与方程形式的判断（圆、椭圆、双曲线的分界）；选做B安排焦点三角形与斜率之积背景的轨迹问题，落实数学建模与逻辑推理素养的培养；习题强化高频易错点（常数条件、单支判断、、、关系），并配备错题溯源与反思模块，实现知识巩固、思维训练、元认知培养一体化，对接高二阶段性考试命题风格。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 能准确叙述双曲线的定义，说明“非零常数小于”的条件作用；掌握两种标准方程及、、的关系，会由方程求焦点、顶点 数学抽象 选择题正确率，概念辨析正误判断 能力运用 B 会用待定系数法及定义法求双曲线的标准方程；焦点位置不确定时会分类讨论或用统一方程回避讨论；能处理焦点三角形求面积问题 数学运算、逻辑推理 解答题分类讨论完整性，方程结果的正确率 思维发展 C 能从爆炸声、圆的垂直平分线、斜率之积等情境中提炼定义条件、建立轨迹方程；能对方程形式（圆、椭圆、双曲线）作参数讨论 逻辑推理、数学建模 轨迹问题的建模过程，含参讨论的严谨性 情感态度 D 养成先判断焦点位置、再设方程的严谨习惯；建立错题反思复盘意识，正视易错点，形成自主诊断的学习能力（通用学习能力，非课标数学核心素养） — 错题摘抄完整性、错误根源归类、可落地的整改措施与学习反思文本 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 难度/建议 1 选择 由双曲线方程及到一焦点的距离求到另一焦点的距离 A、B 检验双曲线定义的运用 ★（必做） 2 选择 双曲线定义中常数条件的辨析 A 深化对定义限制条件的理解 ★（必做） 3 解答 由、、焦点坐标等条件求双曲线标准方程 A、B 巩固待定系数法与 ★（必做） 4 多选 双曲线标准方程与定义的命题辨析 A、C 辨析焦点位置、、、关系 ★（必做） 5 解答 由距离之差的根式等式判断轨迹并求方程 A、B 训练从根式条件识别双曲线定义 ★（必做） 6 解答 焦点三角形面积问题 B、C 双曲线定义与余弦定理的综合 ★（必做） 7 解答 爆炸声时间差的实际应用 B、C 数学建模：声响差与双曲线 ★★（选做A） 8 解答 含参方程表示圆、椭圆、双曲线的讨论 C 方程形式判断与分类讨论 ★★（选做A） 9 解答 圆的垂直平分线背景下的双曲线轨迹 C 定义法求轨迹方程（教材习题） ★★（选做A） 10 解答 斜率之积为常数2的轨迹问题 C、D 与椭圆对比：积为正数得双曲线 ★★★（选做B） 11 解答 焦点三角形中线段转移求 C、D 定义与三角形中位线的综合 ★★★（选做B） 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 反思态度 错题溯源详实，反思深刻；能主动寻找同类题巩固；书写规范 能完成基本的错题摘抄和整改措施；反思具有一定针对性 缺乏错题反思，或反思流于形式，书写潦草 20% 六、具体作业内容 模块1：基础巩固——知识生长（全员必做，6题） 1．双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为（ ） A．15 B．17 C．18 D．不能确定 2．已知两定点、，平面内的动点满足下列条件，其轨迹是双曲线的是（ ） A． B． C． D． 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，，； （2）焦点在轴上，焦距为10，虚轴长为8； （3）经过点和。 4．【多选题】已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ） A．双曲线的焦点在轴上，焦点坐标为 B．双曲线的实轴长为8，虚轴长为6 C．若为双曲线上一点，且，则 D．双曲线的焦点坐标为 5．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。 6．已知双曲线的左、右焦点为、，点在双曲线的右支上，且，求的面积。 模块2：综合应用——能力生长（选做A，3题） 7．相距1400m的、两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？请建立适当的坐标系并求出曲线的方程。 8．、为何值时，方程（）表示下列曲线？ （1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线。 9．如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点。线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？ （设，） 模块3：拓展提升——素养生长（选做B，2题） 10．已知、，在轴上方的动点满足直线的斜率与直线的斜率之积为2，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 11．已知、分别是双曲线：的左、右焦点，双曲线上存在一点，满足，为坐标原点，求的值。 模块：错题溯源——纠错生长（全员必做） 错题摘抄：________________________________________ 错误根源：□“差的绝对值”与“和”混淆 □常数条件（非零、小于）漏检 □焦点位置判断错误 □与椭圆的混淆 □单支与双支判断出错 整改措施：________________________________________ （示例参考：把椭圆与双曲线的定义、、、关系做成对比卡片贴错题本首页；不带绝对值的条件先判断哪一支。） 反思生长（全员必做）： 本节课+本次作业我的收获（从知识、思想、方法方面）：________________________________________ 后续提升计划：________________________________________ （示例参考：整理“定义四情形（和、差绝对值、差、常数0）”对照表，各配一道错题重做。） 七、参考答案 1．【答案】B 【解析】化为标准方程得，，。由双曲线定义，由知，故，故选B。 2．【答案】C 【解析】。A中，轨迹是以、为端点的两条射线（向外），不是双曲线；B中，同理不是双曲线；C中，即差的绝对值为非零常数，且带绝对值考虑时轨迹是双曲线（在一侧的右支），符合定义；D中常数为0，轨迹是线段的垂直平分线。故选C。 3．【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1），，焦点在轴，方程为。 （2）焦距得；虚轴长得；。焦点在轴上，方程为。 （3）焦点位置不确定，设方程为（、）。代入、得，，解得，，故方程为。 4．【答案】AC 【解析】由方程知，，，焦点在轴上，坐标，A正确；实轴长，虚轴长，B错误；由定义，因，只能是，故，C正确；双曲线的焦点在轴上，坐标为，D错误。故选AC。 5．【答案】双曲线的下支（焦点在轴上），方程为（） 【解析】两个根式分别是点到定点、的距离，故，且，由双曲线定义，的轨迹是以、为焦点的双曲线；又因为，即到下焦点的距离小，所以是双曲线的下支。由得，，，方程为（）。 6．【答案】 【解析】设，。由方程知，，，故，。 由双曲线定义，。在中由余弦定理，。 又，代入得，。 所以。 7．【答案】爆炸点在以、为焦点的双曲线上（靠近后听到爆炸声的哨所的一支），方程为（相应的一支） 【解析】以所在直线为轴、的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则、。 设爆炸点，由题意，故在以、为焦点的双曲线上，且靠近后听到爆炸声的哨所（其一支）。 由得，；，，，故方程为（相应的一支）。 8．【答案】（1）；（2），且；（3） 【解析】（1）若表示圆，需二次项系数相等且为正，即，此时方程为，表示以原点为圆心、半径为的圆。 （2）若表示椭圆，需、同号，且焦点位置由、的大小确定；当时焦点在轴，当时焦点在轴；故，且。 （3）若表示双曲线，需、异号：当时焦点在轴，方程为；当时焦点在轴。故。 9．【答案】点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线 【解析】连接。因为为线段的垂直平分线，所以。 于是。 又点在圆外，，即常数，由双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点、实轴长为的双曲线（去掉与直线相关讨论后即双曲线两支）。 10．【答案】（），轨迹是双曲线的上支（去掉顶点） 【解析】设（），则，。 由题意，即，整理得，即。 由知轨迹是双曲线的上支（不含顶点，因为时）。 11．【答案】 【解析】由方程知，，，。 点在双曲线上，由定义。若在右支，则；又，故，，。（若在左支，则与联立得，舍去。） 在中，由中线长公式（极化恒等式）：，故。 （检验：，能构成三角形，结果成立。） 学科网（北京）股份有限公司 $