《4.5 相似三角形的性质及其应用（2课时）》一课一练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版（2024）数学九年级上册一课一练 第4章　相似三角形 4.5　相似三角形的性质及其应用 第1课时　相似三角形的性质 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为(　 　) A．2∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 2．如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AC＝18，则AF的长为(　 　) A．6 B．9 C．12 D．15 　　　 (第2题)　　　　　　　 (第3题)　　　　　　　　 (第5题) 3．如图，G是△ABC的重心．若GD＝2，则AD＝_______________． 4．如果两个相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线长为10，那么另一个三角形对应的中线长为___________． 5．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的中线，BD与CE相交于点O，OP，OQ分别为∠DOE，∠BOC的平分线，则＝___________． 6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB，AD＝BD.若AE＝4，AB＝9，求AD的长． (第6题) 7．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F.若FG＝1，则AD＝___________． (第7题) 8．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B.△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F. (1)求证：△ADG∽△ABF. (2)若＝，AF＝6，求GF的长． (第8题) 9．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，E是AC的中点，连结ED并延长，交CB的延长线于点F.求证：DB·CF＝CD·DF. (第9题) 10．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长． (2)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形． (3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值． (第10题) 第2课时　相似三角形的周长比、面积比 1．若△ABC为钝角三角形且△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高线长之比为(　 　) A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶9 2．若两个三角形的相似比为2∶3，则其面积之比为(　 　) A.∶ B．2∶3 C．4∶9 D．8∶27 3．在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为(　 　) A. B. C. D.　　　　　　　　　　　　　　　　 4．如果两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，他们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(　 　) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm 5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则S△ADE∶S四边形BCED等于(　 　) (第5题) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 6．若一副三角尺按如图所示叠放，则△AOB与△DOC的面积之比为____________． (第6题) 7．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. (第7题) (1)求证：△ABC∽△DEC. (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长． 8．如图，在▱ABCD中，E是DC上一点，DE∶EC＝3∶2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为(　 　) (第8题) A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶25 9．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则△AOD和△BOC的周长之比为____________． (第9题) 10．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠CAG. (1)求证：△ADE∽△ABC. (2)若AD＝1，AB＝2，求的值． (第10题) 11．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°. (1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连结CD(不写作法，保留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比． (第11题) 12．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连结EF. (1)求证：EF∥BC. (2)若△ABD的面积为8，BD＝CD，求四边形BCFE的面积． (第12题) 【参考答案】 4.5　相似三角形的性质及其应用 第1课时　相似三角形的性质 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为(　B　) A．2∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 2．如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F.若AC＝18，则AF的长为(　C　) A．6 B．9 C．12 D．15 　　　 (第2题)　　　　　　　 (第3题)　　　　　　　　 (第5题) 3．如图，G是△ABC的重心．若GD＝2，则AD＝__6__． 4．如果两个相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线长为10，那么另一个三角形对应的中线长为__4或25__． 5．如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的中线，BD与CE相交于点O，OP，OQ分别为∠DOE，∠BOC的平分线，则＝__2__． 6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB，AD＝BD.若AE＝4，AB＝9，求AD的长． (第6题) 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE. ∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD. ∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴△ABD∽△ADE， ∴＝，即＝，∴AD＝6(负值舍去)． 7．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F.若FG＝1，则AD＝__6__． (第7题) 【解析】 ∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G， ∴AE＝CE，G是△ABC的重心，∴BG＝2EG. ∵EF∥BC， ∴＝＝1，＝＝. 又∵FG＝1，∴DG＝2，∴DF＝3，∴AD＝6. 8．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B.△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F. (1)求证：△ADG∽△ABF. (2)若＝，AF＝6，求GF的长． (第8题) (1)证明：∵AF是△ABC的角平分线，∴∠DAG＝∠BAF. 又∵∠ADE＝∠B，∴△ADG∽△ABF. (2)解：∵△ADG∽△ABF， ∴＝＝. 又∵AF＝6，∴AG＝4，∴GF＝AF－AG＝2. 9．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高线，E是AC的中点，连结ED并延长，交CB的延长线于点F.求证：DB·CF＝CD·DF. (第9题) 证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，∴DE＝CE＝AE＝AC，∴∠EDA＝∠A. 又∵∠EDA＝∠FDB，∴∠A＝∠FDB. ∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴易得∠A＝∠FCD，∴∠FDB＝∠FCD. 又∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD，∴DB∶CD＝DF∶CF， ∴DB·CF＝CD·DF. 10．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长． (2)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形． (3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值． (第10题) (1)解：AC＝或或. (2)证明：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC. 又∵∠BAC＝∠CDA，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC·AD. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD， ∴CA2＝BC·AB， ∴△ABC是比例三角形． (3)解：如答图，过点A作AH⊥BD于点H. ∵AB＝AD，∴BH＝BD. ∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°. ∵AH⊥BD，∴∠BHA＝90°＝∠BCD.(第10题答图) 又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC， ∴＝，∴AB·BC＝DB·BH， ∴AB·BC＝BD2. 又∵AB·BC＝AC2， ∴BD2＝AC2，∴＝. 第2课时　相似三角形的周长比、面积比 1．若△ABC为钝角三角形且△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高线长之比为(　A　) A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶9 2．若两个三角形的相似比为2∶3，则其面积之比为(　C　) A.∶ B．2∶3 C．4∶9 D．8∶27 3．在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为(　A　) A. B. C. D.　　　　　　　　　　　　　　　　 4．如果两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，他们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(　D　) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm 【解析】 ∵两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm， ∴两个相似三角形的相似比为. 设较小的三角形的周长为x(cm)，则较大的三角形的周长为(x＋12)cm. 由相似三角形的性质，得＝，解得x＝18， ∴大三角形的周长为18＋12＝30(cm)． 5．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则S△ADE∶S四边形BCED等于(　C　) (第5题) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 6．若一副三角尺按如图所示叠放，则△AOB与△DOC的面积之比为__1∶3__． (第6题) 7．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD. (第7题) (1)求证：△ABC∽△DEC. (2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长． (1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE. 又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC. (2)解：∵△ABC∽△DEC，∴＝＝. 又∵BC＝6，∴EC＝9. 8．如图，在▱ABCD中，E是DC上一点，DE∶EC＝3∶2，连结AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为(　C　) (第8题) A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶25 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF. ∵DE∶EC＝3∶2，∴＝，∴＝＝. 9．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则△AOD和△BOC的周长之比为__1∶2__． (第9题) 【解析】 ∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝. 易得＝＝，∴△AOD和△BOC的周长之比为1∶2. 10．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠CAG. (1)求证：△ADE∽△ABC. (2)若AD＝1，AB＝2，求的值． (第10题) (1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°. 又∵∠EAF＝∠CAG，∴△AEF∽△ACG，∴∠AED＝∠ACB. 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC. (2)解：∵△AEF∽△ACG，∴＝. ∵△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝＝. 11．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°. (1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连结CD(不写作法，保留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比． (第11题) 解：(1)作图如答图①所示． 　　　　　　　　　 　　　　　　　　(第11题答图①)　　　　　　　　　　　　(第11题答图②) (2)如答图②，连结OD，设⊙O的半径为r. 在△ABE和△DCE中，∵ ∴△ABE∽△DCE. 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝AC＝r. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝45°， ∴∠DOC＝2∠CBD＝90°，∴DC＝＝r， ∴＝＝＝. 12．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连结EF. (1)求证：EF∥BC. (2)若△ABD的面积为8，BD＝CD，求四边形BCFE的面积． (第12题) (1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACD，∴F为AD的中点． 又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC. (2)解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABD， ∴S△AEF∶S△ABD＝＝， ∴S四边形BDFE∶S△ABD＝. 又∵S△ABD＝8，∴S四边形BDFE＝6. ∵BD＝CD，F为AD的中点， ∴S△CDF∶S△ABD＝1∶2，∴S△CDF＝4， ∴S四边形BCFE＝S△CDF＋S四边形BDFE＝10. 学科网（北京）股份有限公司 $