4.6 相似三角形的应用 同步练习 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版（2024）九年级上册 4.6 相似三角形的应用 同步练习 一、选择题 1．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（  ） A．8.5m B．9m C．9.5m D．10m 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4 m，BP＝6 m，PD＝12 m，那么该古城墙CD的高度是 （      ）  A．8 m B．9 m C．16 m D．18 m 3．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（  ） A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米 4．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是 （      ） A．18米 B．16米 C．20米 D．15米 5．如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，CD⊥OA，垂足为D，DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为（  ） A．30mm B．32.5mm C．60mm D．65mm 6．如图，为测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为 （      ）  A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m 7．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于 （      ）  A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 9．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 10．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（  ） A．2m B．4m C．6m D．8m 11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．0.5或2 B．0.5或3.5 C．2或2.5 D．2或3.5 二、填空题 13．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 __________ m． 14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D).若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为__________ cm. 15．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED＝3.5 m，点F到地面的高度FC＝1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4 m，墙到木板的水平距离CD＝4 m.已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为__________ m. 16．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80 cm，AD＝24 cm，BC＝25 cm，EH＝4 cm，则点A到地面的距离是__________ cm. 17．△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，点D为边BC上一动点，过点D的直线与△ABC的两条边相交，将△ABC分割成一个与△ABC相似的三角形和一个四边形，若这样的直线有三条，则BD的取值范围是 　　． 三、解答题 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？ 19．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB． 20．如图所示，站在楼房AB的楼顶A处望楼房CD的底部D，视线刚好过小树EF的顶端E；又从楼房AB的底部B处望楼房CD的楼顶C，视线也刚好过小树EF的顶端E，经测量得AB＝5 m，EF＝4 m.求楼房CD的高. 21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 22．综合探究 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于、（、不与A重合），沿着将矩形折叠使A、重合． （1）当点为中点时，求点的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，连接． ①与是否相似？请说明理由； ②的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． ③当平分时，直接写出的值． 浙教版（2024）九年级上册 4.6 相似三角形的应用 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（  ） A．8.5m B．9m C．9.5m D．10m 【答案】C 【解析】由题意得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，∴∠ACG＝∠FEG＝90°，∴△ACG∽△FEG， ，解得：AC＝8.5， ∵BC＝DE＝1m，∴AB＝AC+BC＝8.5+1＝9.5（m），∴凉亭的高度约为9.5m. 故选：C． 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4 m，BP＝6 m，PD＝12 m，那么该古城墙CD的高度是 （      ）  A．8 m B．9 m C．16 m D．18 m 【答案】A 【解析】根据题意得∠APB＝∠CPD， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴Rt△ABP∽Rt△CDP， ∴，即， 解得CD＝8 m， ∴该古城墙CD的高度为8 m. 3．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡距离桌面（  ） A．1米 B．2.25米 C．2米 D．3米 【答案】D 【解析】构造几何模型如图： 依题意知DE＝2米，BC＝2+1＝3（米），FG＝1.5米， 由△DAE∽△BAC得，即，解得AF＝3， 则灯泡距离桌面3米． 故选：D． 4．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是 （      ） A．18米 B．16米 C．20米 D．15米 【答案】A 【解析】人的身高∶人的影长＝旗杆的高∶旗杆的影长， 即1.5∶2.5＝旗杆的高∶30， ∴旗杆的高＝＝18（米）. 5．如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，CD⊥OA，垂足为D，DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为（  ） A．30mm B．32.5mm C．60mm D．65mm 【答案】A 【解析】连接AB，延长OC交AB于H，如图， 在Rt△OCD中，OC26， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形，∴CH⊥AB，AH＝BH， ∵∠DOC＝∠HOA，∴△OCD∽△OAH，∴，即，∴AH＝15， ∴AB＝2AH＝30（mm）． 故选：A． 6．如图，为测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于点B，测出AB＝8 m，则池塘的宽DE为 （      ）  A．32 m B．36 m C．48 m D．56 m 【答案】C 【解析】∵AB∥DE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴， ∴DE＝48 m. 7．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°， ∵BE＝2.5，BH＝0.5，∴HE＝BE﹣BH＝2.5﹣0.5＝2， ∵四边形BEFG是矩形，∴BG＝EF，∠BEF＝90°，∴∠ABH＝∠FEH＝90°， ∵∠AHB＝∠EHF，∴△ABH∽△FEH，∴，∴，∴EF＝4， ∴BG＝EF＝4. 故选：A． 8．如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，DC＝20 m，则河的宽度AB等于 （      ）  A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 【答案】B 【解析】∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴， ∵BE＝20 m，CE＝10 m，DC＝20 m， ∴，解得AB＝40 m. 9．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（  ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【解析】连接BD，如图所示： 由题意得，，∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABD，∴，∴，∴BD＝5cm， ∴点B，D之间的距离减少了5﹣2＝3（cm）. 故选：B． 10．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（  ） A．2m B．4m C．6m D．8m 【答案】B 【解析】根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16，解得CD＝4m． 故选：B． 11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°， 设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x， 若∠APB＝∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，∴，即，解得：x＝5； 若∠APB＝∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，∴，即，解得：x＝1或9； 所以当AP＝1或5或9时，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，即这样的P点有3个． 故选：C． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝4cm，D为AC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点B出发，沿B→C方向运动，设点E的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．0.5或2 B．0.5或3.5 C．2或2.5 D．2或3.5 【答案】D 【解析】∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝90°﹣∠C＝30°， ∴ACBC4＝2cm， ∵D是AC中点，∴CDAC＝1cm， 当△CDE∽△CAB时，∴CD：CA＝CE：CB，∴1：2＝（4﹣t）：4，∴t＝2． 当△CDE∽△CBA时，∴CD：BC＝CE：CA，∴1：4＝（4﹣t）：2，∴t＝3.5， ∴t的值为2或3.5． 故选：D． 二、填空题 13．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 __________ m． 【答案】0.2 【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°， 又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则， ∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，∴，解得：CD＝0.2， ∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m． 14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D).若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为__________ cm. 【答案】5 【解析】如图，分别作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为F，G， ∴OF＝BE＝8 cm，OG＝CE＝6 cm， ∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD， ∴，∴，∴CD＝4.5 cm. 15．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED＝3.5 m，点F到地面的高度FC＝1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4 m，墙到木板的水平距离CD＝4 m.已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为__________ m. 【答案】2 【解析】由题意可得FC∥ED， 易知△BCF∽△BDE， ∴， 即， ∴BC＝3 m，则BA＝5.4－3＝2.4(m). 由光在镜面反射中的反射角等于入射角， 得∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB， ∴△BAG∽△BCF，∴，即，∴GA＝1.2 m. 16．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80 cm，AD＝24 cm，BC＝25 cm，EH＝4 cm，则点A到地面的距离是__________ cm. 【答案】8 【解析】如图，过点A作AM⊥BF于点M，过点C作CN⊥AB于点N， ∵AB⊥AD，AD⊥DC， ∴四边形ANCD是矩形， ∴AD＝NC，AN＝DC， ∵AD＝24 cm， ∴NC＝24 cm， ∵∠AMB＝∠CNB＝90°，∠ABM＝∠CBN， ∴△BNC∽△BMA， ∴， ∴， 则AM＝(cm)， 故点A到地面的距离是＋4＝80.8(cm). 17．△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，点D为边BC上一动点，过点D的直线与△ABC的两条边相交，将△ABC分割成一个与△ABC相似的三角形和一个四边形，若这样的直线有三条，则BD的取值范围是 　　． 【答案】0＜BD或2BD＜3 【解析】如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F． ∵AB＝AC＝3，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，BC＝3， ∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠EDB＝∠C＝30°，∠FDC＝∠B＝30°， ∴∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC，∴△BDE，△DFC是等腰三角形， 在AB上取一点T，使得DB＝DT，当点T与A重合时，BD＝DT， 观察图象可知当0＜BD时，满足条件， 根据对称性当点D靠近点C，2BD＜3时，也满足条件， 综上所述，0＜BD或2BD＜3． 三、解答题 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)点P从点A出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向点B移动，移动时间为t秒.当t为何值时，DP⊥AC？ 【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∴△APQ∽△CDQ. (2)解 当DP⊥AC时，∠ACD＋∠PDC＝90°， ∵∠ADP＋∠PDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP， 又∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴△ADC∽△PAD，∴，∴， 解得PA＝5，∴t＝5. 19．学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿BC后退，当退行1.2米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离DE＝1.6米；然后小辰继续后退34.2米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即∠AFD）是45°．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且AB，DE，FG均垂直于BG，求合十舍利塔的高度AB． 【答案】解：如图，设FH⊥AB于点H， 根据题意可知：DE＝FG＝1.6米，CE＝1.2米，EG＝34.2米，∠AFD＝45°，HF＝BG， ∴AH＝HF， 设AH＝HF＝x米，∴BC＝BG﹣CE﹣EG＝x﹣1.2﹣34.2＝（x﹣35.4）米，AB＝（x+1.6）米， 根据题意可知：∠DEC＝∠ABC＝90°，∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB， ∴，∴，∴x＝146.4，∴AH＝146.4（米）， ∴AB＝146.4+1.6＝148（米），则合十舍利塔的高度AB为148米． 20．如图所示，站在楼房AB的楼顶A处望楼房CD的底部D，视线刚好过小树EF的顶端E；又从楼房AB的底部B处望楼房CD的楼顶C，视线也刚好过小树EF的顶端E，经测量得AB＝5 m，EF＝4 m.求楼房CD的高. 【答案】解　∵EF∥AB， ∴△DEF∽△DAB，∴，① ∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD， ∴.② ①＋②得， ∴＝1，∴CD＝20 m. ∴楼高CD为20 m. 21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？ 【答案】解：设同时运动t s时两个三角形相似， 当△PCQ∽△BCA，则，t＝0.8； 当△PCQ∽△ACB，则，t＝2． 答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似． 22．综合探究 如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于、（、不与A重合），沿着将矩形折叠使A、重合． （1）当点为中点时，求点的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，连接． ①与是否相似？请说明理由； ②的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． ③当平分时，直接写出的值． 【答案】（1）解： 点E为中点，，， 将代入，得， 点F的坐标为， ∴，分别为，的中点， ∴． （2）解：①与相似，理由如下： 连接、，， ∴， 将代入得，， 将代入得，， ， ，又， ； ②∵ ，， ∵A，关于对称， ，， ∴点D在过点A且与垂直的直线上． ， 当时取最小值时，有最小值， 如图，此时，点D在线段上． ， 又， ， ，即， ∴， 有最小值为． ③当点在x轴上时，同理可得：， ∵矩形中， ∴， ∴， 而， ∴， ，即 ， ∴， ∴点坐标为， 设直线解析式为：，代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为：， 如图，当平分时，延长与x轴交于点G， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为：， ∴同理可得：直线解析式为：， 联立得， 解得， ， ∴中点坐标为， 点，， 同理可得：直线解析式为：， ∵， ∴设解析式为：，代入得， 解得， ∴解析式为：， 当时，， ∴点F的坐标为， ． 学科网（北京）股份有限公司 $