4.5相似三角形的性质及其应用（2）课时练习 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 练习聚焦相似三角形性质，分层设计基础巩固、综合应用、拓展提升三阶训练，覆盖从单一性质到跨知识综合的巩固路径，适配新授课知识内化与思维进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|相似比与面积比、周长比关系|单选1-5直接应用性质计算，填空11-12强化概念理解，培养运算能力| |中档层|中位线、射影定理结合相似|单选6-8综合三角形中位线与相似性质，填空13-14训练推理意识，提升知识关联能力| |提升层|折叠、规律探索、函数几何综合|单选9-10涉及图形变换与相似判定，填空15渗透规律探究，解答18结合二次函数构建模型，发展空间观念与应用意识|

4.5相似三角形的性质及其应用（2） 课时练习 一、单选题 1.两个相似三角形，其面积比为16：9，则其相似比为(   ) A. 16:9                                    B. 4：3                                    C. 9：16                                    D. 3：4 2.若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（   ） A. 1∶2                                    B. 1∶4                                    C. 1∶8                                    D. 1∶16 3.已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为    A. 3                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 5 4.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（   ） A. 2                                          B. 2                                         C. 4                                         D. 16 5.已知△ABC∽△DEF ， 若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（   ） A. 60                                         B. 70                                         C. 80                                         D. 90 6.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（    ） A. 8                                        B. 10                                        C. 12．                                        D. 14 7.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2 ， △OAB与△OCD的周长分别是C1和C2 ， 则下列等式一定成立的是(   ) A.                           B.                           C.                           D.  8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（    ） A. 4                                      B. 6                                      C. 2                                       D. 3 9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（       ）个． ①AE⊥BF；             ②QB＝QF；    ③ ；          ④SECPG＝3S△BGE A. 1                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2 10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。则S△ADE：S△EFC的值为(    ) A. 4：1                                    B. 3：2                                    C. 2：1                                    D. 3：1 二、填空题 11.如图，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则 ＝________. 12.公园中儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2：3，其中大三角形地块面积为27，则小三角形地块的面积是________. 13.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB=________。 14.如图，在 中，点E是 的中点， ， 的延长线交于点F.若 的面积为1，则四边形 的面积为________. 15.如图，图①是一块边长为1，面积记为 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，剪下的正三角纸板面积记为 ，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 后，得图③、④，…，记剪下的第2019块小正三角形纸板的面积为 ，则 等于________. 三、解答题 16.已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长. 17.△ABC∽△A`B`C`， ,边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A`B`C`的面积是64 cm2 ， 求： （1）A`B`边上的中线C`D`的长； （2）△A`B`C`的周长 （3）△ABC的面积 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E. （1）求抛物线的表达式； （2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标； （3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值. 答案解析部分 一、单选题 1. B 考点：相似三角形的性质 解：根据题意得： ＝ .即这两个相似多边形的相似比为4：3. 故答案为：B. 分析：根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方. 2. D 考点：相似三角形的性质 解：∵两个相似三角形的周长之比为1∶4 ∴它们的面积之比为1∶16 故答案为：D. 分析：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 3. A 考点：相似三角形的性质 解： 和 的周长分别为30和15， 和 的周长比为 ， ， ，即 ， 解得， ， 故答案为：A. 分析：根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解. 4. B 考点：相似三角形的性质 解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4， ∴（BC：EF）2=1：4， 解得BC：EF=1：2， ∵BC=1， ∴EF=2. 故答案为：B. 分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解. 5. D 考点：相似三角形的性质 解：∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3， ∴面积比为4：9， ∵△ABC的面积为40， ∴△DEF的面积为90， 故答案为：D ． 分析：根据△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，可得面积比为4：9，进而可得答案． 6. D 考点：相似三角形的性质，三角形的中位线定理 解： 点D，E分别是边AB，BC的中点 ∴DE=AC；DE//AC; ∴ ∴=14 故答案为：D. 分析：根据中位线定理，相似三角形的周长比=相似比，可以求出。 7. D 考点：相似三角形的性质 解：A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立； B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此 ，所以B选项不成立； C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立； D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立. 故答案为：D. 分析：相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比；（2）相似三角形周长之比等于相似比；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方；且相似比为3:2可得结果. 8. C 考点：勾股定理，相似三角形的性质 解： ∠ACB=90°， CD⊥AB ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ACD=∠CBD, ∴ ∴;   AD=9 ∴CD=6 又CD2=AD·BD； ∴BD=4； 在Rt中，根据勾股定理得： ===; 故答案为：C. 分析：先根据相似三角形边长比等于周长比求出CD，再根据三角形射影定理求出BD，在直角三角形BCD中用勾股定理求出BC的长。 9. C 考点：相似三角形的性质 解：①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°， 所以AE⊥BF，所以①正确， ②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF,所以②正确， ③AE⊥BF,∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=， 设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x,FG=BF-BG=3x， FG=AG，即， 故③正确， ④△BGE∽△BMC，E是BC的中点,BE-CE,所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误 故答案为：C 分析：根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。 10. A 考点：三角形的面积，平行四边形的判定与性质，相似三角形的性质 解：∵AB=3BD， ∴AD=2BD， ∵ DE∥BC，EF∥AB ， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∴EF=BD， ∴AD=2EF，即AD：EF=2∶1， ∵ DE∥BC， ∴∠AED=∠ECF，∠ADE=∠B ∵EF∥AB ， ∴∠EFC=∠B， ∴∠EFC=∠ADE， ∴△ADE∽△EFC， ∴ S△ADE：S△EFC =AD2：EF2=4:1. 故答案为：A. 分析：由AB=3BD，可得AD=2BD，再由两组对边分别平行得四边形DBFE是平行四边形，可得EF=BD，从而得出AD和EF的比值，接着利用平行得性质推得两组对角相等，证得△ADE∽△EFC，则由三角形相似的性质求得面积之比. 二、填空题 11. 考点：相似三角形的性质 解：∵AB=6，DB=8，∴△ABC与△DBE的相似比=6：8=3：4，∴ = . 故答案为 . 分析：先求出△ABC与△DBE的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答. 12. 12 考点：相似三角形的性质 解：根据题意，设小三角形地块的面积为x，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，则 x：27=4：9， 解得：x=12， 故答案为：12. 分析：根据两个三角形相似，面积比等于相似比的平方，列出比例式计算即可. 13. 2 考点：相似三角形的性质 解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AB=6， ∴DB=AB-AD=6-4=2. 故答案为：2. 分析：首先求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形的周长之比等于相似比列式，先求出AB的长，则DB的长可求. 14. 3 考点：平行四边形的性质，相似三角形的性质，三角形的中位线定理 解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点， ∴EC是△ABF的中位线； 在△ABF和△CEF中， ∠B=∠DCF，∠F=∠F， ∴△ABF∽△ECF， ∴ ， ∴S△ABF：S△CEF=1：4； 又∵△ECF的面积为1， ∴S△ABF=4， ∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3. 故答案为：3. 分析：根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3. 15. 考点：相似三角形的性质，探索图形规律 解：第1块正三角形纸板的面积为 ∵第2块被剪掉的正三角形纸板的边长为第1块的 ，根据相似三角形定律，可知相似三角形面积比等于边长比的平方，可知 ，同理可知： … ∴      分析：本题关键在于寻找规律，得出剪掉的三角形的面积与第几次被剪掉的次数之间的关系。 三、解答题 16. 解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. ∵ ①.. 由题意可得：      ② 由①式得            ③ 将③式代入①式得： y=45 将y=45代入②式得：x=30 ∴x=30,y=45 答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米 考点：相似三角形的性质 分析： 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得：   ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。 17. （1）解：∵△ABC∽△A′B′C′, ，AB边上的中线CD=4cm， ∴ = ， ∴C′D′=4cm×2=8cm， ∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm （2）解：∵△ABC∽△A′B′C′, ，△ABC的周长为20cm， ∴ ， ∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm， ∴△A′B′C′的周长为40cm （3）解：∵△ABC∽△A′B′C′, ,△A′B′C′的面积是64cm2 ， ∴ ， ∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2 ， ∴△ABC的面积是16cm2. 考点：相似三角形的性质 分析：（1）根据相似三角形对应边的中线的比等于相似比可得方程求解； （2）根据相似三角形周长的比等于相似比可得方程求解； （3）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解。 18. （1）解：将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：a=-1，b=2，c=8， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8 （2）解：∵点A（﹣2，0）、C（0，8）， ∴OA＝2，OC＝8， ∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°， ∵∠PAE≠∠CAO， ∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC， 此时 ，即： ， ∴AE＝4PE， 设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k， ∴OE＝4k﹣2， 将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得： k＝0或 （舍去0），则点P（ ） （3）解：在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°， ∵l∥y轴， ∴∠PDF＝∠COB， ∴ △PFD∽ △BOC， ∴ ， ∴S△PDF＝ •S△BOC ， 而S△BOC＝ OB•OC＝ ×4×8=16， BC＝ ， ∴S△PDF＝ •S△BOC＝ PD2 ， 即当PD取得最大值时，S△PDF最大， 将B、C坐标代入一次函数表达式 得： ， 解得： ， ∴直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8， 设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8）， 则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4， 当m＝2时，PD的最大值为4， 故当PD＝4时，∴S△PDF＝ ＝ . 考点：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质 分析：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，可得：PE＝4AE，设点P坐标（4k﹣2，k），即可求解；（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得： ，再求出PD的最大值，即可求解. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $