精品解析：辽宁师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间点关于坐标轴对称的知识确定正确选项. 【详解】由题意可知：点关于轴的对称点的坐标为. 故选：A. 2. 已知直线过点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角的正切值求出斜率，再由点斜式写出直线方程，化简即可； 【详解】由题得， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为， 转化得直线的一般式方程为． 故选：B. 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法与共线向量基本定理列式计算即得. 【详解】因，， 则，又因，，，不共面， 由三点共线，可得与共线，则，解得. 4. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 5. 设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出斜率的范围，再利用斜率与倾斜角的关系即可求解 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角， 当时，， 直线的斜率，此时倾斜角． 综上所述，直线的倾斜角的范围是． 故选：C． 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 【详解】由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 7. 下列三个命题中，错误命题的个数是（ ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据直线方向向量的定义分析判断；对于②，由共面向量定理判断；对于③，由平行平面的充要条件可判断. 【详解】对于①，若两条不同直线的方向向量分别是，则， 由方向向量的定义知①正确； 对于②，若是空间的一个基底，且， 则，即， 由空间向量共面定理知四点共面，故②正确； 对于③，若两个不同平面的法向量分别是，且， 易得不成立，所以不成立，故③错误. 故错误命题的个数是1. 故选：B. 8. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分． 9. 如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线与所成角的大小为 B. 二面角的大小为 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】在平面内过点作且使，连接，过点作于点，利用异面直线的夹角和二面角、线面所成角的定义求解判断A，B，D项，通过证明，利用三棱锥的体积公式计算判断C项. 【详解】在平面内过点作且使，连接，因，可得， 则，为直线与所成角或其补角. 因，，则为二面角的平面角， 因平面，则平面，因平面，则，. 在中，因，则，故，故A正确； ，又，则得等边，即，故B正确； 过点作于点，因平面，，则平面，故， 即为三棱锥的高，， 则三棱锥的体积为，故C错误； 因，连接，则为直线与平面所成角. 在中，，故D错误. 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A. 点的坐标为 B. C. D. 的最大值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点，故A选项正确； 又因为：，即恒过定点， 由 和, 满足， 所以, 可得, 故B选项正确； 所以, 故C选项正确； 因为, 设为锐角, 则, ， 所以, 所以当时, 取最大值, 故选项D错误. 故选：ABC. 11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C. 使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为 D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据找到异面直线所成角为与所成的角，即可判断；C选项，找到的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，计算即可；D选项，利用中点得线线平行，即可找到的轨迹，计算即可． 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，在平面内运动时，又到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，由于，故与所成的角即为与所成的角， 当在端点时，为等边三角形，此时所成的角最小，最小为， 当在的中点时，所成的角最大，最大为，故与所成角的取值范围为，故B错误； 对于C，由于在正方体表面上，若直线与平面所成的角为60°，则，故以为圆心，以为半径作球，与棱相交于点，则的轨迹为线段，以及在平面内以为圆心、为半径的圆弧，如图①，故的轨迹长度为，故C正确； 分别取、、、、的中点、、、、， 由正方体的性质可知、、、、，六点共面，且为正六边形，如图②， 由中位线定理，，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，平面， 所以平面平面， 在底面内运动，所以轨迹为线段， 取中点，连接，则平面， 故 故当最小时，最小，由于故，故当为时，的长最小，此时，故最小为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 直线的一个方向向量是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，进而求出其方向向量. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是. 故答案为： 13. 已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为 ． 14. 如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15. 已知点，，，向量. （1）若，求实数的值； （2）求向量在向量方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可； （2）利用投影向量公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，，， 因为， 所以，即， 得. 【小问2详解】 由题意，，， 所以向量在向量上上的投影向量为：. 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）已知点.求线段的垂直平分线的方程； （3）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线，方程可得交点M坐标，然后由题设所求直线方程为：，代入坐标可得答案； （2）由垂直平分线定义，结合直线AB斜率及线段AB中点坐标可得答案； （3）分直线过原点与不过两种情况，对于直线不过原点时，设满足题意直线方程为：，由题及可得答案. 【小问1详解】 ，则交点为. 又所求直线与平行，设所求直线方程为：， 代入，得，则所求方程为：. 【小问2详解】 由题，直线AB斜率为：， 则所求直线斜率为：， 又所求直线过线段AB中点，即过点，即， 则所求直线方程为：. 【小问3详解】 当直线过原点时，显然满足条件，此时方程为：； 当直线不过原点，设满足题意的直线方程为：. 则，则方程为：. 则所求直线方程为：或. 17. 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】（1） 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2）1； 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明:因为， 所以， 即平面， 平面，又平面， 所以 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，继而得出线线垂直即可证明； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求出二面角余弦值，进而求出正弦值，计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦，应用基本不等式得出范围即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为二面角是直二面角， 所以平面平面， 又平面平面平面， 平面， 以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为， 则，令，得， 所以为平面的一个法向量， 设二面角为. 因为， 所以. 【小问3详解】 分别以反方向和方向分别为轴，过做平面的垂线为轴， 设， 显然， ，得出， 则，则， 因为，，故， 化简得， 而在轴上的射影、构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，令， 则，且， ， 根据函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则， 即， 则，即正弦值的取值范围 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切球半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积. 【小问1详解】 根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故． 【小问2详解】 不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当，，时，表示经过，，的平面在第一象限的部分． 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体． 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则．所以内切球的表面积为； 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为，由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：．所以内切球的表面积为； 【小问3详解】 由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、、两两垂直， 且． 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图1， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果． 所以所构成的几何体如图3所示． 法一：其中正方体记为集合所构成的区域． 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1，所以， 所以几何体的体积． 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和． 设其体积为．由正方体的性质可知面．因为，， 所以其体积． 所以几何体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分． 1. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 4. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列三个命题中，错误命题的个数是（ ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分． 9. 如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，若，，则（ ） A. 直线与所成角的大小为 B. 二面角的大小为 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A. 点的坐标为 B. C. D. 的最大值为5 11. 如图，M为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B. 当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C. 使得直线与平面所成的角为60°的点的轨迹长度为 D. 若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 直线的一个方向向量是___________． 13. 已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 14. 如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15. 已知点，，，向量. （1）若，求实数的值； （2）求向量在向量方向上的投影向量. 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. （1）经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）已知点.求线段的垂直平分线的方程； （3）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等. 17. 如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 18. 如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $