辽宁师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试 高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分． 1．已知点，则点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为（ ） A． B． C． D． 3．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A．1 B．0 C．3 D．2 4．如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A．1 B． C． D． 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．下列三个命题中，错误命题的个数是（ ） ①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则； ②若是空间的一个基底，且，则，，，四点共面； ③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则． A．0 B．1 C．2 D．3 8．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若光线所经长度，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分． 9．如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，若，，则（ ） A．直线与所成角的大小为 B．二面角的大小为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 11．如图，为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ） A．当在平面内运动时，四棱锥的体积是定值 B．当在直线上运动时，与所成角的取值范围为 C．使得直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 D．若为棱的中点，当在底面内运动，且平面时，的最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．直线的一个方向向量是_________． 13．已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_________． 14．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15．已知点，，，向量． （1）若，求实数的值； （2）求向量在向量方向上的投影向量． 16．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的方程； （2）已知点，．求线段的垂直平分线的方程； （3）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等． 17．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 18．如图，在中，，，是中点，，分别是，边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥； （1）求证：； （2）若，二面角是直二面角，求二面角的正弦值； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19．空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积的值； 学科网（北京）股份有限公司 $《辽宁师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月考试》 参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 10 答案 B B ) C B D AB ABC 题号 11 答案 ACD 3 12. 答案 ⑩0 13. 1010 14. 21 15.(1)4 【详解】(1)由题意，AB=(,k-2,-2),a=(-34,5) 因为AB⊥a, 所以AB.=0,即-3+4k-8-10=0, k=21 得4」 (2)由题意， AC=(-1,3,2).a=(-3,4,5) 所以向量AC在向量上ā上的投影向量为： AC.aa3+12+10 引 1同V9+16+2510,5 16.(1)x-2y+11=0. (2)3x+2y-5=0. (3)3x+2y=0或x+y-1=0 2x-y+4=0∫x=1 【详解】(1)x-y+5=0一 y=6 则交点M为（山，6） 又所求直线与x-2y-1=0平行，设所求直线方程为：x-2y+t=0, 代入M(1,6),得1-12+1=0→1=11，则所求方程为：x-2y+11=0. k= 3-(-1)2 (2)由题，直线AB斜率为： 4-(-2)3 3 则所求直线斜率为：2 4-23-1 又所求直线过线段4B中点，即过点22)，即(L), 则所求直线方程为： 少、3 =-2(x-10+1→2y=-3x+5→3+2y-5=0 3 y=-5x→3x+2y=0 (3)当直线过原点时，显然满足条件，此时方程为： 2 x+y=1 当直线不过原点，设满足题意的直线方程为：ab -23=1 a b →a=b=1 则(a=b ,则方程为：x+y=1→x+y-1=0 则所求直线方程为：3x+2y=0或x+y-1=0, 17.(1)连接AC,由正方体可知A41CC,AA=CC, ∴四边形1ACC为平行四边形，·ACAC, :ACt平面C4E,AGc平面CAE,ACI平面C4E, :ACc平面ABCD,平面ABCD∩平面CAE=EF, ∴.ACIEF 4 (2)1;3 【详解】(1)略 (2) ZA D C B B 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-z, 设AE的长为a,则A(2,00),A(2,02),C(0,22).B(22,2).E(2,a0) 4B=(0,2,0).AC=(-2,2,0）.4E=(0,a,-2) 设平面C4E的一个法向量为=（化，八2） i:4C=-2x+2y=0 则万：4E=四-2z=0,故可得 设直线AB与平面C4E所成角为0， ng=kos(a瓜- 4B· 2 4B网 则 22+4 ,解得a=1, AE=(01,0), 故AE的长度为1： d=l 4B·列 24 :=.到C45肉 13 V2+ 4 18.(1)证明：因为AC⊥BC,AC/EF, 所以EF⊥BC, 即EF⊥FC,EF⊥PF,PF∩FC=F,PF,FCC平面PFC, ∴.EF⊥平面PFC,又PCc平面PFC, 所以EF⊥PC. V30 (2)6 (3) 【详解】(1)略： (2)因为二面角P-EF-C是直二面角， 所以平面PEF⊥平面EFC, 又平面PEF∩平面EFC=EF,PF⊥EF,PFc平面PEF, ∴.PF⊥平面EFC, 以FE,FC,FP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设平面CEF法向量为元=(0,0,1) P.cg.π-o号a-管o 设平面PCE法向量为m=(:,少，2)】 2y-42=0 33 42 则5- =0 令z=1,得y=2,x=1, 所以m=(L2,1)为平面PCE的一个法向量， cos0= 方m √6 设二面角P-CE-F为O V1+4+1×16 因为8∈[0，x] sine=v1-cos20 所以 (3)分别以CA反方向和CB方向分别为x,y轴，过C做平面ABC的垂线为z轴， E D 设P(0,m,m,F(0t,0),D(-1,0,0).A(-2,0,0).Et-2,0) 显然n>0,E=(,40）,PD=（1,-m-n）, AE.PD=-t-mt=0,得出m=-l, 则P(0,-ln）,则PE=(t-2,t+山，-n）, 因为PF=2-t,PF=(0,1+1,-m）,故n2++1P=(2-}, 化简得n2=3-6t, 1 0<t< 而P在'轴上的射影、F,P构成直角三角形，则2-t>t+1,且1>0，解得2， 设平面ABC的法向量为D=(0,0),设直线PE与平面ABC所成角为P, PE.p sinB= PE--2}+(t+1+n 3-6t sin2B=- 3-6t31-2t 则 (2-t)2+(t+1)2+3-6t2t2-8t+82t2-4t+4 31-2t 令八=27-4+4，令1-21=a, t=1-a 则2，且a∈(0,1) V= 1-a+4 a2+6a+ 0=4×1 .9 a+-+6 2 9 y=a+ 根据函数 a在(0，)上单调递减，且恒大于0， 1 y=4× 9 则函数 即 sin∈,v6 即正弦值的取值范围、 19. (1)m=-2 16π (2)3 (3)16 【详解】1)根据题意，平面@的法向量%=(L,1,),平面B的法向量%=(m,l), 所以4n=1×m+1×1+1×1=0,故m=-2. (2)不妨设C≠0，在平面4r+By+Cz+D=0内取一 doa-) 则向量 p-w+2） 取平面+By+Cz+D=0的一个法向量i=(4,B,C), P列_lA,+B+C。+D 所以点P(,%,2)到平面Ar+By+Cz+D=0的距离为 V+B2+C2 对于=x2川+以+=2 当x,y,z>0时，x+y+z=2表示经过(2,00)，(0,20)，(0,02)的平面在第一象限的部分. 由对称性可知U表示（：20,0)，(0,2,0），(0.0,2)这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为r,则r即为原点O到平面x+y+z=2的距离 0+0+0+2_23 S=42=4元 23 16π VP+12+12 3,所以内切球的表面积为 3 3 则 法2：考虑=《(x,八2+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}. 即为三个坐标平面与x+y+2=2围成的四面体，其四个顶点分别为(00,0)，(20,0)，(0,2,0)， (0,0,2) V=8Vo= 32 此四面体的体积为 3， =8x25x2x9}=165 设内切球的半径为r,正八面体U的表面积为 xr=32 r_23 S=4πr2=4元 /25216m = 3 ,解得：3.所以内切球的表面积为 3 3 所以 (3)由2)可知2=《，川++2所围几何体是关于平面0y,0,20r对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中OA、OB、OC两两垂直， ZA D 且OA=OB=OC=2 集合T=《x,2川那+≤2，+s2,+冈≤2所表示的几何图形m也关于平面0y,o,20x 对称， 其在第一卦限内的部分T'={《x少2引x+y≤2，y+z≤2,2+x≤2的图形如图1， Z本 C 图1 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 图2 所以T所构成的几何体W如图3所示. E A D 图3 法一：其中正方体ABCD-LIJM记为集合P所构成的区域. 而E-ABCD构成了一个正四棱锥，且E到面ABCD的距离为1，所以'=2×2×2=8， VE-ABCD3 1x2×2=4 1 所以几何体W的体积 =,+6g-4cD=2x2×2+6x4=16 3 法二：从图2可以看出，几何体W在第一卦限的部分为有公共底面EGH的两个三棱锥O-EGH和 C-EGH 设其体积为'.由正方体的性质可知OC⊥面EGH.因为EG=GH=EH=2V2, 0C=VP+1'+12=V3 xx2√2x2√2xsin60°×V3=2 所以其体积 所以几何体W的体积P=8y2=8×2=16