奇偶性的常见五种题型单元专项训练（提高）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册综合强化篇

奇偶性的常见五种题型—综合强化篇 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一：函数奇偶性的判断与图象识别 1．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 2．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的图象关于点对称 D．若在上单调递减，则 题型二：利用奇偶性求函数值与求解析式 3．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．设是定义在上的函数，其图像关于原点对称，且当时，，则（    ）． A．1 B．-1 C． D． 5．已知函数为上的奇函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数满足不等式，求实数t的取值范围. 6．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性并解关于的不等式． 7．函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数. (1)求不等式的解集； (2)若，求解析式. 8．已知二次函数为奇函数，且在时的图象如图所示. (1)请补全函数的图象； (2)求函数的表达式 (3)写出函数的单调区间. 题型三：利用奇偶性比较大小与解不等式 9．已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 10．已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意，都有成立，则（    ） A． B． C． D． 14．若函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 15．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 16．已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数， 当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（ ） A．（3，5） B．（3，+∞） C．（2，+∞） D．（2，4] 19．若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 20．已知函数是定义域为R的偶函数，且在上为减函数，若，则的取值范围是______________ 21．若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是______ 题型四：利用奇偶性求参数的值与取值范围 22．已知函数 是奇函数，且 (1)求实数m，n的值; (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)当 时，解关于x的不等式 23．已知函数为奇函数，其函数图象经过点. (1)求，的值； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围. 24．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 题型五：抽象函数与奇偶性、单调性综合应用 25．定义域为的函数满足，，且时，，则（    ） A．为奇函数 B．在单调递增 C． D．不等式的解集为 26．设函数的定义域为，对任意有，且. (1)求的值； (2)求证是偶函数，且. 27．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 附录：参考答案与解析 题型一：函数奇偶性的判断与图象识别（参考答案） 【答案速览】1．BC　2．ABC　（填空题、解答题答案见对应解析） 1．BC 【分析】由偶函数的性质和图像逐一判断即可； 【详解】易知函数的定义域为R，且，所以是偶函数，故A正确，B错误； 当时，，此时单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下：    由图像可得在上是增函数，在上是减函数，故C错误，D正确； 故选：BC. 2．ABC 【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D 【详解】由得，所以的定义域为，A正确； 由及， 可得的值域为，B正确； 的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位， 再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确； 在上单调递减，则或，即或 ，D错误． 故选：ABC． 题型二：利用奇偶性求函数值与求解析式（参考答案） 【答案速览】3．B　4．A　（填空题、解答题答案见对应解析） 3．B 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 4．A 【解析】根据函数的奇偶性，得出，即可求解. 【详解】由题意，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数， 又由当时，，所以. 故选：A. 5．(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质结合题意可得当时，，设，则，利用奇偶性可得时的解析式，可得的解析式； （2）由（1）可得的单调性，根据函数的单调性、奇偶性结合列出不等式，即可求解. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数， 且当时，， 所以， 又，解得， 所以当时，， 设，则， ， ， . （2）由（1）知， 可得在上是减函数， 又为奇函数，， ， 解得， 所以的取值范围是. 6．(1)； (2)在上单调递增，. 【分析】（1）由和可求得，验证可知满足题意，由此可得解析式. （2）判断（1）中函数的单调性，再利用奇偶性和单调性，结合函数定义域构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，解得，又，解得， 当，时，，显然，即为奇函数， 所以的解析式为. （2）由（1）知，，当时，， 函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 因此函数在上单调递增，而为上的奇函数，则在上单调递增， 从而函数在上单调递增， 不等式等价于， 则有，解得， 所以不等式的解集为. 7．(1) (2) 【分析】（1）将所求不等式变形为，利用函数的定义域、单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围，即可得解； （2）由奇函数的性质得出，可求得的值，再由可得出的值，由此可得函数的解析式，然后利用函数单调性与奇偶性的定义验证函数在上的单调性与奇偶性即可. 【详解】（1）解：因为函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数， 由可得， 所以，，解得， 故不等式的解集为. （2）解：因为函数是定义在上的奇函数，则， 且，解得，所以，. 下面先证明函数为上的奇函数： 任取，则， 故函数为上的奇函数. 接下来证明出函数在上为增函数， 任取、且，则， 即，故函数在上为增函数， 综上所述，. 8．(1)图象见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称，补全函数的图象； （2）利用待定系数法，分两种情况求函数的解析式，得到分段函数的解析式； （3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出的递增区间及递减区间． 【详解】（1）由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于轴左侧的部分，如图所示： （2）当时，设，又，得，即； 当时，，则， 所以； （3）根据函数的图象可知： 函数的单调递增区间是：，，，； 函数的单调递减区间是：，． 题型三：利用奇偶性比较大小与解不等式（参考答案） 【答案速览】9．A　10．B　11．B　12．B　13．D　14．B　15．D　16．B　17．D　18．D　19．B　（填空题、解答题答案见对应解析） 9．A 【分析】依题意构造函数，可知函数在上单调递增，在上单调递减，将不等式变形结合并分类讨论，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】根据题意由任意的，，满足， 可得函数在上单调递增， 因为为奇函数，所以为偶函数，则函数在上单调递减， 当时将不等式可变形为， 又为偶函数，可得； 因此由可得，可得； 当时将不等式可变形为， 易知，因此由可得，可得； 因此不等式的解集为. 故选：A 10．B 【分析】根据是R上的偶函数且，得的周期为6，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是R上的偶函数，所以， 由得， 可得的周期为6， 若，则， 解得. 故选：B. 11．B 【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【详解】因为的定义域为，且对于任意均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 12．B 【分析】根据单调性的定义及奇函数性质得在上单调递增，换元令，先利用单调性和符号法求得的解，即可求出原不等式的解集. 【详解】对，且有， 所以在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 令，则即， 当时，，满足题意； 当时，由在上单调递增知， 所以，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，由在上单调递增知，所以，不满足题意； 当时，由在上单调递增知，所以，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，由在上单调递增知，所以，不满足题意； 综上，当时，成立， 故即时，成立， 则不等式的解集为. 故选：B 13．D 【分析】根据函数是定义在上的奇函数，且，结合，推知 的周期为4求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以， 又因为， 令 得， 所以， 所以， 所以 的周期为4， . 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 14．B 【分析】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案. 【详解】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,如图:    ①当时,即, 由,得或 解得:. ②当时,即 由,得或 解得 综上所述:的取值范围是 . 故选:B. 【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 15．D 【分析】根据给定条件，利用偶函数及减函数的性质求解不等式. 【详解】定义在上的偶函数，且当时，单调递减， 则不等式， 则，即，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：D 16．B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 17．D 【分析】设，由题可得为偶函数，在上单调递增， 在上单调递减，然后分类讨论与1的大小关系可解不等式. 【详解】令，则为偶函数，，则在上单调递增， 在上单调递减，对于，易得. 若， ，结合，可得； 若， ，结合，可得. 综上可得：不等式的解集是. 故选：D 18．D 【详解】∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）， 则函数f（x）关于x=2对称， 则f（x）=f（4﹣x）． 若x＞2，则4﹣x＜2， ∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|， ∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|， 则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0， 此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增， 当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0， 此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减， 所以函数的递减区间为（2，4]， 故选D． 考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质． 19．B 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】∵，且在区间上是增函数， ∴． 故选：B. 20．<a＜ 【分析】利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x）的单调性，利用单调性去掉抽象不等式的对应f，解不等式得到解集． 【详解】∵y＝f（x）是R上的偶函数，且在上为减函数，故在（﹣∞，0]上是增函数 ∵ ∴|2a+1|<2 ∴<a＜ 故答案为：<a＜ 【点睛】本题考查偶函数的单调性：对称区间上的单调性相反；利用单调性解抽象不等式． 21． 【分析】根据条件分析函数的性质，结合函数简图分类讨论可解不等式. 【详解】由题意得，，，函数在上单调递增， 函数的图象大致如下： ∵，∴或， 当时，或，解得， 当时，或，解得， 综上得，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的性质画出简图，根据函数图象分析讨论可解不等式. 题型四：利用奇偶性求参数的值与取值范围（参考答案） 22．(1)，. (2) 在上单调递增， 理由如下：由（1）可知， 任取，且， 则 因为，且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数性质得到，求出，代入得到； （2）定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论证明即可； （3）在（2）基础上，由的奇偶性得到在上单调递增，又时，，，从而利用单调性得到不等式，求出解集. 【详解】（1）因为函数是奇函数,所以， 即，即， 解得，所以，又因为， 所以，所以， 故，. （2）略 （3）当时，，， 因为在上单调递增且为奇函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 由为奇函数，所以， 所以，即， 解得或， 综合得或，所以不等式的解集为. 23．(1)， (2)证明：由（1）知. 令，则 . 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）由可求出，再由函数的图象经过点，可求出的值； （2）由（1）知，再由定义法证明函数在区间上单调递增； （3）将题意转化为“，，由（2）知，函数在区间上单调递增，求出，即可得出答案. 【详解】（1）由题知的定义域为，因为函数为奇函数， 所以，，即， 所以，对恒成立，所以，故. 因为函数的图象经过点，即，解得， 所以，. （2）略 （3）由（2）知，当时，函数单调递增，故. 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. 24．(1)， (2)在上单调递增，证明如下： 设，则， 其中，， 所以，即， 故函数在上单调递增. 【分析】（1）由题意,，由此即可得解. （2）由，可以猜测在上单调递增，由定义法证之即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 又，所以即，解得， 经检验满足题意， 故，. （2）由（1）知，在上单调递增，证明略. 题型五：抽象函数与奇偶性、单调性综合应用（参考答案） 【答案速览】25．ABD　（填空题、解答题答案见对应解析） 25．ABD 【分析】对于A，令，求出，然后令结合函数奇偶的定义判断，对于B，设，则由题意可得，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令求出，再利用奇函数的定义可求得，对于D，由题意可得，将不等式转化为，再利用其单调性求解即可. 【详解】对于A，由题，，于是，令，则， 即，所以为奇函数，A正确； 对于B，设，则有，即， 即有，所以在上单调递增， 由于，为奇函数，可知在上单调递增，B正确； 对于C，由，得， 又为奇函数，则，C错误； 对于D，由题意得，， 则等价于， 则有，即，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；解题的关键是利用赋值法求解. 26．(1)1 (2)令 得， 所以， 所以是偶函数. 令 得， 因为 所以. 【分析】（1）根据，采用赋值法令 求解. （2）采用赋值法令 得，再利用奇偶性的定义证明.，令 得，再根据证明. 【详解】（1）因为， 令 得， 所以； （2）略 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用和赋值法研究函数奇偶性、对称性，还考查了探究解决问题的能力，属于中档题. 27．(1)； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，， 故在上单调递增． (3). 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． （2）略 （3）因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增， 所以，解得， 综上． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $