奇偶性的常见五种题型单元专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

奇偶性的常见五种题型—能力提升篇 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一：函数奇偶性的判断与图象识别 1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．   2．函数的图象大致为 （    ） A． B． C． D． 3．奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．函数在上递减 C． D．函数在上递增 题型二：利用奇偶性求函数值与求解析式 4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 5．已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，且满足．当时，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 7．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（　　） A．3 B． C．1 D． 8．已知定义在上的函数，满足当时，，则=（  ） A．2 B． C．4 D． 9．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 10．已知函数，且，则_______． 11．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则__________. 12．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 13．已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)指出的单调区间以及在每一单调区间上的单调性． 14．已知函数是上的偶函数，当，， (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 15．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若是奇函数，求的值. 题型三：利用奇偶性比较大小与解不等式 16．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 17．若是定义域为的偶函数，且在上为减函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象关于y轴对称 B．在上为减函数 C．当时，取得最大值 D． 18．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是______． 19．定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是__________. 题型四：利用奇偶性求参数的值与取值范围 20．已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 21．若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 22．设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 23．若函数是偶函数，定义域为，则（    ） A．a = 3 B．b = 0 C．函数的定义域为 D．函数的最小值为1 24．已知定义在上的函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)用函数单调性的定义证明：在上为增函数． 题型五：抽象函数与奇偶性、单调性综合应用 25．已知，若正实数满足，则的最小值是________ 26．若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式； (3)在条件（2）前提下，解不等式. 27．若是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象并求出函数的解析式； (2)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围． 附录：参考答案与解析 题型一：函数奇偶性的判断与图象识别（参考答案） 【答案速览】1．A　2．A　3．ABD　（填空题、解答题答案见对应解析） 1．A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时函数的符号及排除法，即可得. 【详解】由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C； 当时，恒成立，排除D. 故选：A 2．A 【分析】结合函数的定义域及奇偶性判断即可. 【详解】函数的定义域为，排除CD选项； 又， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，A符合题意. 故选：A. 3．ABD 【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项. 【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增， 所以根据奇函数性质，当时，，A正确； 当时，在递减，在上递增，故BD正确. 由于在上递增，所以，故C错误. 故选：ABD 题型二：利用奇偶性求函数值与求解析式（参考答案） 【答案速览】4．C　5．A　6．C　7．C　8．B　（填空题、解答题答案见对应解析） 4．C 【分析】由题意求出，再由函数的奇偶性代值计算即得. 【详解】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 5．A 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以. 当时，， 所以当时，. 故选：A. 6．C 【分析】根据题意可推导，进而得到，再根据周期性、奇偶性及对称性求值即可． 【详解】由题可知，，且为上的奇函数， ，，即， ，即函数的周期为4， ． 故选：C． 7．C 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 所以． 故选：C． 8．B 【分析】由知道函数为奇函数，又因为函数在处由定义，所以满足，解得的值. 【详解】∵，为奇函数， ∴，∴. 故选：B. 9． 【分析】由条件证明函数为周期函数，周期为，再结合周期性性质求. 【详解】因为是奇函数，则， 又，所以， 即．所以， 所以函数的周期为． 又，所以． 当时，，则． 故答案为：. 10． 【分析】设，证明该函数为奇函数，由求出，由奇函数得，从而求得. 【详解】设，则， 由，可得为奇函数， 因解得，故， 于是. 故答案为：. 11． 【分析】由为偶函数可以推出，由为奇函数可以推出，从而可以求出的周期，进而即可求解. 【详解】因为为上的奇函数，所以有， 又因为为偶函数，所以有，即， 对比以上两式得， 从而，即函数是周期为的周期函数， 所以， 又注意到为上的奇函数， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 12．(1)函数的单调递增区间为和； (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间； （2）根据偶函数的性质计算可得； 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以的图象关于轴对称， 则的图象如下所示： 由图可知的单调递增区间为和. （2）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以， 因为， 所以当时，， 所以函数的解析式为. 13．(1) (2)减区间，增区间； 【分析】（1）由函数的奇偶性即可求解； （2）由二次函数单调性，奇偶性，结合定义域即可求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 所以 所以， （2）由当时， 得在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数是定义域为R的奇函数， 所以当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 综上所述，的减区间是，增区间是. 14．(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【详解】（1）当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. （2）因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用建立方程组法即可求得函数解析式； （2）先根据（1）的结论，求出的解析式，再利用奇函数的定义可求参数的值. 【详解】（1）因为①， 所以②. ①+2×②得:， 则. （2）（2）由（1）可知，. 因为是奇函数，所以， 即对于定义域内的任意值恒成立， 故需使，解得. 题型三：利用奇偶性比较大小与解不等式（参考答案） 【答案速览】16．A　17．ACD　（填空题、解答题答案见对应解析） 16．A 【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果. 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 17．ACD 【分析】利用的奇偶性与单调性，逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以的图象关于y轴对称，故A正确； 因为在上为减函数， 结合其奇偶性可知在上为增函数，故B错误； 由BC可知，当时，取得最大值，故C正确； 因为，所以，则，故D正确. 故选：ACD. 18． 【分析】利用偶函数性质可得，再由函数单调性以及不等式可得需满足，即可求得不等式的解集. 【详解】根据偶函数定义可知，解得，即定义域为； 又可知时单调递减，所以时单调递增； 所以在对称轴即轴处取得最大值， 不等式即为， 根据偶函数性质可知，且； 即，解得； 所以不等式的解集为. 故答案为： 19． 【分析】根据函数的奇偶性化简不等式为，再根据单调性得不等式即可得实数的取值范围. 【详解】因为定义在上的奇函数为减函数， 若，则， 所以，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四：利用奇偶性求参数的值与取值范围（参考答案） 【答案速览】20．C　21．D　22．C　23．BCD　（填空题、解答题答案见对应解析） 20．C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 21．D 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 22．C 【分析】由题意有，从而可得，进一步可以算出，. 【详解】由题意是定义在上的奇函数， 则由奇函数的性质可得， 解得， 所以，从而. 故选：C. 23．BCD 【分析】根据偶函数的性质即可求解，可判断ABC,根据二次函数的性质即可判断D. 【详解】由函数是偶函数，定义域为[a－1，2a]得，解得，故，故A错误，BC正确， 由于，故当时，的最小值为1，故D正确， 故选：BCD 24．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据奇函数定义变形可得，代入解析式，计算即可得答案. （2）利用单调性的定义，根据取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，即可得证. 【详解】（1）由定义在上的函数为奇函数， 得， 解得． （2）由（1）知，， 证明：在上任取，且， ， ， ，又， ，即， 故函数在上为增函数． 题型五：抽象函数与奇偶性、单调性综合应用（参考答案） 25．8 【分析】利用奇函数的性质以及单调性得出，再应用基本不等式即可计算求解. 【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数， 又因为，所以， 因为单调递增，所以，即， ， 当且仅当，即时，取最小值8. 故答案为：8. 26．(1)为奇函数 (2) (3)或 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， （2）由题知当时，， 则时，， 又， 所以. （3）作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 27．(1)； (2). 【分析】（1）结合二次函数对称轴及偶函数性质作图即可；求出当时对应的函数解析式，结合是定义在上的偶函数，以分段函数形式写出解析式即可； （2）将方程有2个不同的实数解转化为函数图象交点问题，观察图象即可得到范围. 【详解】（1） 当时，，所以， 又是定义在上的偶函数，所以当时，， 综上，函数的解析式为； （2）若有2个不同的实数解，即函数与直线有2个交点， 所以由（1）中图象可知，实数的取值范围为或， 即. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $