北京市北京师范大学附属实验中学2026-2027学年高一上学期10月检测数学试题

北师大实验中学2026级高一数学 综合测验2一一等式与不等式 2026年10月 本试卷共4页，共150分.考试时长100分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项 1.已知集合A={x|x2-5x-6=0},B={x|(x-1)2≤4}，则A∩B= (A){-6 (B){-1} (C){1} (D){6 2.已知命题p:3x∈R,x2+2x-3>0,则一p是 (A)3x∈R,x2+2x-3≥0 (B)3x∈R,x2+2x-3≤0 (C)x∈R,x2+2x-3≥0 (D)x∈R,x2+2x-3≤0 3.若a<0,b<0,且a<b,则下列结论正确的是 a<君 (®)0<8<1 (C)ab62 a 4.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则 (A)M>N (B)M<N (C)M=N (D)M与N大小关系不确定 5.“0<a<4”是“Vx∈R,ax2+ax+1>0”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 6.关于不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为 (A)-1≤a≤3 (B)-2≤a≤4 (C)a<-1或a>3(D)a<-2或a>4 7.已知集合A={xx-1川>2}，B={xmx+1<0},若AUB=A,则m的取值范围是 [可 可 (B) (C)[0,1 D))U. 8.若关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3},则关于x的不等式 x+2≥0的解集为 cx-b (④红<-2或≥动 B){x≤-2或e≥} ge-2<< D)口-2<≤司 数学试题第1页（共8页） 9.定义b-a叫做集合{xa≤x≤b}的长度.已知集合M={x|x2-2mc-3m2≤0}， N={x|x2+mx-2m2≤0}，若集合M∩N的长度为2，则MUN的长度为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)4或5 10.若c∈R,不等式x4-ax2+1≥0恒成立，则a的取值范围是 (A)-2≤a≤2 (B)0<a≤2 (C)0≤a≤2 (D)a≤2 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分， 11.已知-2<x<6,则(x+2)(6-x)的最大值为 3x-y-z=0, 12.已知 (xyz卡0)，写出一组满足条件的x,y,之的值：x= 2x+y-z=0 y= ，= 13.已知命题p:“Vx∈R,x+1+x-3≥a恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是 14.已知方程x2+2ax+a+6=0的两个实数根x1和2满足xx2+x1号≥10，则实数a的取 值范围是 15.对于三个集合A={x∈R|ax2+2bx+c=0},B={x∈R|bx2+2cx+a=0}, C={x∈Rcx2+2ax+b=0}.给出如下结论： ①3a,b,c∈R,A∩B∩C=o: ②a,b,c∈R,A∩B∩C卡o; ③3a,b,c∈R,AUBUC=R: ④Ha,b,c∈R,AUBUC卡o, 其中所有正确结论序号是 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.(13分) 设aeR,关于2的不等式z-3引<士2的解集为4 (I)若a=2,求A; (II)若A=⑦，求a的取值范围， 数学试题第2页（共8页） 17.(13分) 关于x的方程x2-3x+m2-3=0的两个根c1,2: (I)若m=1,求x1-2的值； (II)若x1=3x2-1,求m的值. 18.(14分) 解答下列各题： 4 (①）当x>3时，求函数y=x+3的最小值： (II)已知正数x,y满足x+2y=2,求x的最大值， 19.(15分) 已知y=kx2+(1+k)x+k-1(k为常数)· (I)若对任意的x∈R,都有y≥0，求k的取值范围； (II)当k>0时，解关于x的不等式y<k-2. 20.(15分) 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经 市场调研，该站每日配送单量y(单位：单)与每单配送费x(单位：元)满足关系式y=4800-200x (其中4<x<24)·已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材 费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元， (I)若要保证配送站每日利润W(单位：元)不为负数，求每单配送费x的取值范围； (每日利润=每日配送总收入一每日可变总成本一每日固定成本) ()为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用t (t>0)年的累计维保总费用为2t2+8t万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年 平均总费用最低？请求出最低年平均总费用. (年平均总费用=（购机费用+维保总费用）÷使用年数) 数学试题第3页（共8页） 21.(15分) 已知Sn={1,2,…,n}(n≥3)，A={a1,a2,…,ak}(k≥2)是Sn的子集，定义集合 A*={lai-ayl|a,a∈A且a卡aj,i,j∈{1,2，…，k}. 若A*U{n}=Sn,则称集合A是Sn的恰当子集 (I)若n=5,A={1,2,3,5},直接写出A*并判断集合A是否为S5的恰当子集（无需写出理 由)： (II)已知A={1,a,b,7}(a<b)是S7的恰当子集，求a,b的值； (III)若存在五元集合A是Sn的恰当子集，求n的最大值. 数学试题第4页（共8页） 答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项. 1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.A 9.C 10.D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.16 12.2,1,5（答案不唯一) 13.(-o,4纠 14.【-5,-2 15.①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程， 16.解：（)当0=2时，不等式为z-3到<十2 当<3时，不等式化为-+3<“生，解得2>号所以 3<<3: …3分 当x≥3时，不等式化为x-3<心+2 2 ，解得x<8,所以3≤x<8;…6分 综上，A= ……7分 ()不等式x-3<+a 2 无实数解。 当2≥3时，不等式化为-3<”牛，解得<a+6, 要使此时无解，需a+6≤3，即a≤-3： ……9分 当x<3时，不等式化为-x+3<卫十0，解得x>2- 2 要使此时无解，需2-号≥3，即a≤-3： ……11分 综上，a的取值范围是（一0∞，一3.………13分 17.解：(I)由韦达定理得x1十x2=3,c1x2=m2-3.… …4分 当m=1时，c1x2=-2,c1十x2=3, 所以z1-x2=√1十x22-4x1x2=√9+8=V17.…7分 (II)由x1+x2=3且1=3x2-1,得x2=1,c1=2.. …10分 又c1x2=m2-3,得m2=5,故m=土V5...… …12分 △=9-4(m2-3)=9-4×2=1>0,方程有两个实数根，符合条件 所以m=士5.…………13分 数学试题第5页（共8页） 18.解：(I)因为x>3,所以x-3>0,… ……1分 所以=-3+，4+3≥2-+3=7 4 …………5分 4 当且仅当亚-3=一3即x=5时等号成立， 所以函数的最小值为7.… …7分 mw=20)≤（ 1 1+2)2 121 12分 当且仅当x=2y且x+2y=2,即x=1,y= 时等号成立 所以y的最大值为2 ……14分 19.解：(I)当k=0时，y=x-1≥0不恒成立，不合题意；…1分 k>0, 当k卡0时，由题知 ……5分 △=(1+k)2-4k(k-1)≤0， 解得k≥1+ 2v3 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 3 ………7分 故k的取值范围为1+2 3,+o). (II)原不等式化为kx2+(1+k)x+1<0 因为k>0,所以(e+)e+)<0 ………9分 当k=1时，不等式(x+1)2<0无解； …11分 当0<长<1时，<-1，解得<<-1： ……………13分 当>1时>-1，解得-1<x< ………15分 综上.当0<k<1时解集为{-无<2<-小： 当k=1时，解集为⑦；当k>1时， 解集为{-1<2<} 20.解：(I)由题意，W=xy-4y-19200=x(4800-200x)-4(4800-200x)-19200= -200x2+5600x-38400,· ………5分 令W≥0，得x2-28x+192≤0，解得12≤x≤16. 因此，每单配送费x的取值范围为[12,16……………8分 《m年平与总我用为N-卫++-24+号+8≥2V2受+8=21.13分 t 数学试题第6页（共8页） 当且仅当24=2、即t=4时等号成立 …………15分 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 21.解：(I)A*={1,2,3,4, …,3 集合A是S5的恰当子集. …4分 (II)若A={1,a,b,7}(a<b)是S7的恰当子集，则A*={1,2,3,4,5,6},…5分 显然7-1=6∈A*, 由5∈A*则知7-a=5或b-1=5, 当7-a=5时，a=2, 此时b=5,A={1,2,5,7},满足题意；… ……7分 当b-1=5时，b=6, 此时a=3,A={1,3,6,7},满足题意， ……9分 综上，a=2,b=5或a=3,b=6. (II)n的最大值为10.…………10分 A={1,2,3,7,10}是S10的恰当子集.……11分 下面证明m≤10 (法1)若存在五元集合A是S11的恰当子集，则A*={1,2,3,4,5,67,8,9,10}, 由10∈A*,则有1∈A且11∈A;…12分 由9∈A*,则有2∈A或10∈A,……13分 ①当2∈A时， 由8∈A*,则3∈A或9∈A或10∈A, 当3∈A时，设A={1,2,3,x,11}(4≤x≤10)，依次验证不成立 当9∈A时，设A={1,2,x,9,11}(3≤x≤8)或x=10,依次验证不成立： 当10∈A时，设A={1,2,x,10,11}(3≤x≤9)，依次验证不成立 ②当10∈A时，类似于①可验证不成立： 因此不存在五元集合A是S11的恰当子集 类似可以证明当n≥12时，不成立 因此即n最大值是10.… 15分 (法2)设五元集合A对应的A*={1,2,…,n-1} 因为5个不同的数的差的绝对值最多产生10个不同的数， 所以n-1≤10，即n≤11.……12分 下面只需证明n=11时不成立. 考虑n=11时，A中任意两个不同的数的差的绝对值均不相同，……13分 数学试题第7页（共8页） 设A中有？个奇数，则有5-T个偶数， 则A*中的奇数有r(5-r)=5个， 但r与5-？一奇一偶，故(5-)为偶数，不可能等于5，矛盾. 因此n≠11，即n最大值是10.……………15分 数学试题第8页（共8页）