精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年第一学期第一次阶段考试高一数学试题

2026—2027学年度第一学期第一次阶段考试 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解，即，得，所以. 又，所以. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 4. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 6. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 7. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 8. 不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可将不等式恒成立转化为函数恒成立，然后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为不等式对于任意的恒成立， 所以函数对于任意的恒成立， 当时，函数，满足题意； 当时，结合二次函数性质易知，，解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查利用二次函数性质解不等式，在解题时要特别注意这种情况，考查判别式的应用，考查计算能力，是中档题. 9. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解集、根与系数关系求得正确答案. 【详解】依题意关于x的一元二次不等式的解集为或， 所以，解得，所以. 故选：B 10. 已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 11. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 12. 设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 二、多选题（全部正确6分，部分正确得部分分，答错不得分） 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D． 【详解】A项，=所以A选项是错误的； B项，若，可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； D项，举当时，则不成立，故D不正确； 故选：BC． 14. 已知，关于x的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】当时，不等式等价于，解得； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式等价于，解得或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式等价于，解得或． 故选:BCD． 15. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以A正确； 对于B：变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以B正确； 对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以C错误； 对于D：若不等式的解集为， 即的解集为，由韦达定理知： ， 则，解得， 所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分） 16. 设全集，且，若，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 17. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 18. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程可得，因此或或或，分情况讨论即可求出的取值范围． 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得或或或， 当时，满足，解得， 将代入方程，可得， 此时，满足条件， 将代入，得到，上面已经验证满足条件， 综上所述，的取值范围是． 四、解答题 19. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 20. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得． 【小问1详解】 由，可得， 因为，， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，则，解得， 综上所述，．故实数a的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集， 又，， 则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是． 21. 求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【解析】 【详解】原不等式可化为 ，  两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 22. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，即中所有元素均为负实数，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 附加题 23. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次阶段考试 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 4. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 5. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 10. 已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 12. 设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（全部正确6分，部分正确得部分分，答错不得分） 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 已知，关于x的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. D. 15. 已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式的解集为，则 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三、填空题（每题5分） 16. 设全集，且，若，则________. 17. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 18. 已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 四、解答题 19. 已知集合. （1）求； （2）求 20. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 21. 求关于的不等式的解集 22. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 附加题 23. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $