2026-2027学年人教版九年级数学上册 第一阶段综合练习

2026-2027学年第一学期九年级数学第一阶段综合练习卷学校: 班级：__________________ 姓名: 　考号：______________ ……………………………………………( 密 封 线 内 不 作 答 )…………………………………………………………… （考试用时：120分钟 总分150分） 成绩　 　 一、选择题。(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1.下列方程是一元二次方程的是( ) A. 5x+4=0 B. x2-2y=1 C.x2-3x=0 D.x2+=0 2.抛物线y=x2-4与y轴的交点坐标为( ) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,4) D.(0,-4) 3.一元二次方程3x-5=7x2化成一般形式后，二次项的系数是7，则一次项系数是( ) A. 3 B.-3 C.7 D.-5 4.一元二次方程x2-x+3=0的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个不相等实数根 C.有两个相等实数根 D.无法确定 5.对于抛物线y=-(x-3)2+2，下列判断正确的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的顶点是(-3，2) C.对称轴为直线x=3 D.函数的最小值为2 6.如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵 三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植 花苗的面积为131m2，依题意列方程为( ) A. 10x+15×2x=150-131 B.10×2x+15x=150-131 C.(10-2x)(15-x)=131 D.(10-x)(15-2x)=131 7.已知点A(-1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在函数y=x2-4x+c的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y1>y2 D. y2>y3>y1 8.若关于x的一元二次方程mx2+nx+2=0(m≠0)有一个根为x=5，则关于x的一元二次方程m(x-1)2+n(x-1)+2=0必有一个根为( ) A.3 B. 4 C.5 D.6 9.如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数y=0.5x2-2x-3的图象形状相同 的抛物线形，杯脚AB高7cm，杯口宽CD为8cm，则酒杯总高度为( ) A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 16cm 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是( ） A.3b+2c-a>0 B.>4 C.函数的最大值是a+b+c D.a<- 二、填空题。(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11.一元二次方程x2-16=0的根为 。 12.把抛物线y=2(x-4)2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式是 。 13.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表: x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... -22 -7 2 5 2 ... 当x=3时，函数y的值是 。 14.m，n是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则m2-m+n的值是 。 15.如右图，抛物线L1，L2与直线y=7分别交于A，C和B，D四点， 且AB=10，BC=5，CD=6.若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都 在x轴上，则PQ的长是 。 16.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)，经过点P(1,m)。当y≥-1时,x的取值范围为x≤t+1或x≥-3-t.则m的取值范围为 。 三、解答题。(本大题有8小题，共86分) 17.(8分)解方程: (1) x2=6x (2) 2x2-3x+1=0 18.(8分)请配方将二次函数y=x2-2x-1化为顶点式，并画出函数图象。 顶点式: 列表: x ... ... y ... ... 19.(8分)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2 。 (1)求实数k的取值范围。 (2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1x2，求k的值。 20.(8分)如图，二次函数y=-2x2+4x的图象交x轴于原点O及点A，点D为抛物线顶点。 (1)求抛物线的对称轴及点D坐标； (2)点P为抛物线上动点，满足S△AOD:S△AOP=2:1，求点P的坐标。 21.(8分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润。经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件。 (1)设每件童装降价x元时，每天可销售件 ，每件盈利 元；(用x的代数式表示) (2)为了扩大销售量，减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元。 22.(10分)掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名男生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处。学校: 班级：__________________ 姓名: 　考号：______________ ……………………………………………( 密 封 线 内 不 作 答 )…………………………………………………………… 分值（分） 成绩（米） 分值（分） 成绩（米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准(男生)如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100。 23.(10分)根据以下素材，探索完成任务。 线段比例与高次方程研究 环节一: 探索延伸 发现问题 小敏在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考:将线段比例关系复杂化(例如加减、平方关系)，是否会生成更复杂的方程? 在线段AB上取一点C，其中AC>CB，现延长 AC至点D，使AC=CD，且满足=,这样 的C点是否存在?为简单起见，设AB=1,AC=x. (1)线段BD= 。(用x的代数式表示) (2)由关系=可列方程 。 环节二: 收集资料分析问题 现有知识无法解上述方程，因此小敏学习了一种新的因式分解法----试根法。 ①以7x2+x-6为例，观察发现，x=-1时，7x2+x-6=0说明x=-1是方程7x2+x-6=0的一个解，由此推断7x2+x-6分解后有一个因式是(x+1)。 ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，因为最高次为二次且其系数为7，另一个因式只能是一次式系数为7，故设另一个因式是(7x+a)。 ③于是7x2+x-6=(x+1)(7x+a)=7x2+(a+7)x+a.根据对应项系数相等，得a+7=1，则a=-6.所以7x2+x-6=(x+1)(7x-6)。 (3)运用上述方法因式分解:2x3+5x2-x-6=(x-1)(2x2+bx+c),其中b= ；c= 。 环节三: 学以致用解决问题 (4)请仿照上述步骤，用试根法求解第(2)问所列的方程。 (5)已知Rt△ABC满足AB=2BO=1，请用无刻度的直尺和圆规在AB边上作出满足题目要求的点C。 24. (12分)已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A. (1)若a>0； ①当a=1，c=-1，求该抛物线与x轴交点坐标； ②点P(m,n)在二次函数抛物线y=ax2+3ax+c的图象上，且n-c>0，求m的取值范围。 (2)若点A的坐标是(0,1)，当-2c<x<c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围。 25.(14分)平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。 (1)求这个抛物线的解析式； (2)是否存在直线y=kx+n(k≠0)与抛物线交于点M、N，使y轴平分△CMN的面积? 若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上A，C两点之间的一动点，过点P作PE⊥AC于点E。过点E作EF⊥y轴于点F，设w=PE+EF，求w的最大值。 附参考答案：2026-2027学年第一学期九年级数学第一阶段综合练习卷学校: 班级：__________________ 姓名: 　考号：______________ ……………………………………………( 密 封 线 内 不 作 答 )…………………………………………………………… （考试用时：120分钟 总分150分） 成绩　 　 一、选择题。(本大题有10小题，每小题4分，共40分) 1.下列方程是一元二次方程的是( C ) A. 5x+4=0 B. x2-2y=1 C.x2-3x=0 D.x2+=0 2.抛物线y=x2-4与y轴的交点坐标为( D ) A.(-2,0) B.(2,0) C.(0,4) D.(0,-4) 3.一元二次方程3x-5=7x2化成一般形式后，二次项的系数是7，则一次项系数是( B ) A. 3 B.-3 C.7 D.-5 4.一元二次方程x2-x+3=0的根的情况是( A ) A.没有实数根 B.有两个不相等实数根 C.有两个相等实数根 D.无法确定 5.对于抛物线y=-(x-3)2+2，下列判断正确的是( C ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的顶点是(-3，2) C.对称轴为直线x=3 D.函数的最小值为2 6.如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵 三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为xm，若种植 花苗的面积为131m2，依题意列方程为( C ) A. 10x+15×2x=150-131 B.10×2x+15x=150-131 C.(10-2x)(15-x)=131 D.(10-x)(15-2x)=131 7.已知点A(-1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在函数y=x2-4x+c的图象上，则 y1、y2、y3的大小关系是( B ) A.y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y1>y2 D. y2>y3>y1 8.若关于x的一元二次方程mx2+nx+2=0(m≠0)有一个根为x=5，则关于x的一元二次方程m(x-1)2+n(x-1)+2=0必有一个根为( D ) A.3 B. 4 C.5 D.6 9.如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数y=0.5x2-2x-3的图象形状相同 的抛物线形，杯脚AB高7cm，杯口宽CD为8cm，则酒杯总高度为( C ) A. 10cm B. 12cm C. 15cm D. 16cm 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是( B ） A.3b+2c-a>0 B.>4 C.函数的最大值是a+b+c D.a<- 二、填空题。(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11.一元二次方程x2-16=0的根为 x1=4,x2=-4 。 12.把抛物线y=2(x-4)2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线解析式是 y=2(x-2)2-3 。 13.二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值如表: x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... -22 -7 2 5 2 ... 当x=3时，函数y的值是 -7 。 14.m，n是一元二次方程x2-2x-2026=0的两个实数根，则m2-m+n的值是 2028 。 15.如右图，抛物线L1，L2与直线y=7分别交于A，C和B，D四点， 且AB=10，BC=5，CD=6.若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都 在x轴上，则PQ的长是 8 。 16.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)，经过点P(1,m)。当y≥-1时,x的取值范围为x≤t+1或x≥-3-t.则m的取值范围为 m≥3 。 三、解答题。(本大题有8小题，共86分) 17.(8分)解方程: (1) x2=6x (2) 2x2-3x+1=0 解： x2=6x 解：2x2-3x+1=0 x2-6x=0 （x-1）(2x-1)=0 x(x-6)=0 x1=1,x2= x1=0,x2=6 18.(8分)请配方将二次函数y=x2-2x-1化为顶点式，并画出函数图象。 顶点式: y=(x-1)2-2 列表: x ... -1 0 1 2 3 ... y ... 2 -1 -2 -1 2 ... y=x2-2x-1 19.(8分)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2 。 (1)求实数k的取值范围。 (2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1x2，求k的值。 解:(1)∵方程有两个不相等的实数根 ∴△=(2k+1)2-4×1×(k2+1)>0 4k2+4k+1-4k2-4>0 k> (2)由根与系数的关系可得： x1+x2=-(2k+1)=-2k-1, x1x2=k2+1 ∵x1+x2=-x1·x2 ∴-2k-1=-(k2+1) 解得k1=0,k2=2 ∵k>, ∴k=0(舍去), 即k=2。 20.(8分)如图，二次函数y=-2x2+4x的图象交x轴于原点O及点A，点D为抛物线顶点。 (1)求抛物线的对称轴及点D坐标； (2)点P为抛物线上动点，满足S△AOD:S△AOP=2:1，求点P的坐标。 解:(1)由y=-2x2+4，配方得:y=-2(x-1)2+2 ∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为(1,2)。 (2)令y=0，则-2x2+4x=0，解得x1=0,x2=2。 ∴点A的坐标为(2,0),即OA=2。 ∵点D的坐标为(1,2), ∴S△AOD=×OA×2=2 ∴S△AOD:S△AOP=2:1, 即S△AOP=1。 设点P的坐标为(x,y),则S△AOP=×OA×|y|=|y|。∴|y|=1,即y=1或y=-1。 ①当y=1时，1=-2x2+4a，即2x2-4a+1=0.解得x=1±。 ∴P1(1+,1)，P2(1-,1)。 ②当y=-1时，-1=-2x2+4a，即2x2-4a-1=0.解得x=1±。∴P3(1+,1)，P4(1-,1)。 综上所述，点P的坐标为(1+,1)或1-,1)或(1+,1)或(1-,1)。 21.(8分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润。经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件。 (1)设每件童装降价x元时，每天可销售件（20+2x）件，每件盈利（40-x)元；(用x的代数式表示) (2)为了扩大销售量，减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元。 解:(2) (20+2x)(40-x)=1200, 解得:x1=20,x2=10, ∵为了扩大销售量，尽快减少库存，∴x=20, 答:每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元. 22.(10分)掷实心球是中招体育考试的抽选考项目，如图1是一名男生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处。学校: 班级：__________________ 姓名: 　考号：______________ ……………………………………………( 密 封 线 内 不 作 答 )…………………………………………………………… 分值（分） 成绩（米） 分值（分） 成绩（米） 100 8 95 7.2 90 6.4 85 6.25 80 6.1 75 5.95 70 5.8 65 5.65 60 5.5 55 5.35 (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准(男生)如表1，投掷过程中，测量实心球从起点到落地点的水平距离与表1的分值对应，求该女生在此项考试中的得分； (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分100。 解:(1)设y关于x的函数表达式为y=a(x-3)2+3,把(0,)代入得,a(0-3)2+3=,解得a=- ∴y关于x的函数表达式为y=-(x-3)2+3。 (2)当y=0时,即-(x-3)2+3=0,解得x1=7.5,x2=-1.5(舍去)， ∴该男生在此项考试中的得分在95分和100分之间。 (3)可设y=-(x-3)2+h. 把x=8,y=0代入得,0=-(8-3)2+h, 解得h= ∴y=-(x-3)2+ 即y=- x2+x+ 将x=0代入y=- x2+x+ 则y= 答:当掷出点的高度至少达到m时，可得满分。 23.(10分)根据以下素材，探索完成任务。 线段比例与高次方程研究 环节一: 探索延伸 发现问题 小敏在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考:将线段比例关系复杂化(例如加减、平方关系)，是否会生成更复杂的方程? 在线段AB上取一点C，其中AC>CB，现延长 AC至点D，使AC=CD，且满足=,这样 的C点是否存在?为简单起见，设AB=1,AC=x. (1)线段BD= 2x-1 。(用x的代数式表示) (2)由关系=可列方程 x3-2x+1=0 。 环节二: 收集资料分析问题 现有知识无法解上述方程，因此小敏学习了一种新的因式分解法----试根法。 ①以7x2+x-6为例，观察发现，x=-1时，7x2+x-6=0说明x=-1是方程7x2+x-6=0的一个解，由此推断7x2+x-6分解后有一个因式是(x+1)。 ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，因为最高次为二次且其系数为7，另一个因式只能是一次式系数为7，故设另一个因式是(7x+a)。 ③于是7x2+x-6=(x+1)(7x+a)=7x2+(a+7)x+a.根据对应项系数相等，得a+7=1，则a=-6.所以7x2+x-6=(x+1)(7x-6)。 (3)运用上述方法因式分解:2x3+5x2-x-6=(x-1)(2x2+bx+c),其中b= 7 ；c= 6 。 环节三: 学以致用解决问题 (4)请仿照上述步骤，用试根法求解第(2)问所列的方程。 解：x3-2x+1=0 ①试根，x=1时，x3-2x+1=0说明x=1是方程x3-2x+1=0的一个解，由此推断x3-2x+1分解后有一个因式是(x-1)。 ②x3-2x+1可拆分成x3-x-x+1,即x3-x-x+1=x（x2-1)-(x-1)。 ③于是x3-2x+1 =x（x2-1)-(x-1)=x(x-1)(x+1)-(x-1)=(x-1)(x2+x-1) ∴x3-2x+1=(x-1)(x2+x-1)=0 因此x-1=0或x2+x-1=0 当x-1=0时，x1=1 当x2+x-1=0时，x2=,x3= 综上，方程的解为x1=1，x2=,x3=。 (5)已知Rt△ABC满足AB=2BO=1，请用无刻度的直尺和圆规在AB边上作出满足题目要求的点C。 p C 如图，点C即为所求。 25. (12分)已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A. (1)若a>0； ①当a=1，c=-1，求该抛物线与x轴交点坐标； ②点P(m,n)在二次函数抛物线y=ax2+3ax+c的图象上，且n-c>0，求m的取值范围。 (2)若点A的坐标是(0,1)，当-2c<x<c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围。 解：（1）①当a=1，c=-1，抛物线：y=x2+3x-1 令y=0,x2+3x-1=0 即x1=,x2= ∴与x轴交点坐标为（，0），（，0） ②抛物线y=ax2+3ax+c的对称轴：x=-=- 当x=0,y=c, ∴过点（0，c）, （0，c）关于对称轴x=-的对称点是（-3，c） ∵a>0,n-c>0 ∴开口向上，函数值大于x=0处的函数值。即m<-3或m>0。 （2）∵A(0,1)，-2c<x<c。 ∴y=ax2+3ax+1，-2<x<1 对称轴x=-。 ①顶点在x轴上：△=9a2-4a=0,解得a1=0(舍去），a2=， 顶点横坐标-，在（-2,1）内，符合。 ②当a>0时，若点（-2，-2a+1）在x轴上或在x轴下方，点（1,4a+1）在x轴上方满足题意：则a>0 -2a+1≤0 4a+1>0 解得：a≥ ③当a<0时，若点（-2，-2a+1）在x轴上或在x轴上方，点（1,4a+1）在x轴下方满足题意： a<0 -2a+1>0 4a+1<0 解得：a<-。 综上，a=或a≥或a<- 。 25.(14分)平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)。 (1)求这个抛物线的解析式； (2)是否存在直线y=kx+n(k≠0)与抛物线交于点M、N，使y轴平分△CMN的面积? 若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点P是抛物线上A，C两点之间的一动点，过点P作PE⊥AC于点E。过点E作EF⊥y轴于点F，设w=PE+EF，求w的最大值。 解：（1）把C(0,3)，B(1,0)代入y=-x2+bx+c中， 得c=3,b=-2 ∴抛物线的解析式:y=-x2-2x+3. （2）将y=kx+n代入y=-x2-2x+3中，整理得：x2+（k+2）x+（n-3）=0 ∵x1+x2=-（k+2）,点M、N，使y轴平分△CMN的面积,则x1+x2=0。 ∴-（k+2）=0. 解得k=-2. ∵保证直线与抛物线有两个不同交点，∴∆>0, 即（k+2）2-4×1×(n-3)>0,把k=-2代入，解得n<3. ∴存在这样的直线，满足k=-2且n<3。 （3）令y=0，-x2-2x+3=0.得x1=1，x2=-3. ∴A(-3,0) 设yAC=mx+n,把A(-3,0)，C(0,3)代入，得m=1,n=3. ∴ yAC=x+3 ,斜率为1，∠ACO=450 设P（t,-t2-2t+3）,其中-3<t<0 直线AC:x-y+3=0 PE=== PE=-t2-3t ∵∠ACO=450,PE⟂AC,EF⟂y轴。 ∴设E（xE,yE）,EF==-xE xE==，即EF= w=PE+EF=(-t2-3t)+=-(t+)2+ 对称轴t=-,-ϵ（-3，0），在取值范围内。当t=-时，w的最大值是。 学科网（北京）股份有限公司 $