四川省成都市高一数学上学期作业设计（人教A版必修第一册第二章第二节）

《利用基本不等式求最值》作业设计 教材版本：人教 A 版高中数学必修第一册 课时对应内容：第二章第二节 基本不等式 作业类型：课时分层作业 设计理念： 立足新课标，落实数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模）；遵循 “低起点、多层次、高落脚” 原则，面向全体高一学生，分层设计满足不同学情；跳出单纯刷题，突出基本不等式 “结构识别、一正二定三相等” 的易错点，强化不等式的生成逻辑与实际应用，渗透数形结合、转化与化归思想；适配新教材，对接高考基础题型，同时设置开放性任务，符合作业设计大赛 “减量提质、素养导向” 要求。 学情分析： 高一学生刚学完不等式性质，已经会作差比较大小；对代数推导接受度尚可，但极易忽略正数条件、忘记检验等号；只会套公式，不会识别结构、不会配凑，这是本节课最主要的难点。 作业目标： 1. 理解基本不等式的推导过程，识别算术平均数、几何平均数，掌握等号成立条件； 2. 牢记使用基本不等式的前提：一正、二定、三相等，能判断常见错题的错误原因，规避典型陷阱； 3. 会配凑法、分离常量法、常数代换法，利用基本不等式求代数式最值； 4. 辨析基本不等式与二次函数求最值的适用场景，提升严谨推理的习惯。 【A组练习】 1. 若，则的最小值为 . 2. 若，，且，则（   ） A． 有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 3. 已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4. 已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 5. 已知，求的最小值. 6. 已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 7. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9. 已知正实数满足，求的最小值． 【B组练习】 10. 若，求的最大值. 11. 已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【C组练习】 12. 已知为正实数，且， （1）求的最大值． （2）求的最小值； （3）求的最小值． 参考答案： 【A组练习】 1. 若，则的最小值为 ； 【解析】因为，故，所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为.故答案为： 2. 若，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【解析】因为，，且，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故有最大值为.故选：D. 3. 已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2．故选：C. 4. 已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【解析】因为且，所以， 当且仅当时取等号，结合可知，此时.所以的最小值为. 5. 已知，求的最小值； 【解析】由得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为5 6. 已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【解析】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 7. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【解析】因为正数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为.故选：C 8. 已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为正实数，满足，则，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. 9. 已知正实数满足，求的最小值． 【解析】 由，得，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【B组练习】 10. 若，求的最大值. 【解析】因为，所以，即.将函数变形： ， 由基本不等式，对正数和有： ， 当且仅当即时取等号，因此，故的最大值为. 11. 已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【解析】 易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【C组练习】 12. 已知为正实数，且， （1）求的最大值． （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【解析】 （1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，，化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ，当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $