湖北华中科技大学附属中学2026-2027学年高二1班上学期数学周测5

高二1班数学周测5 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 2．在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．－2 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到两根的和与积，结合等比数列下标性质求出，再根据条件判断的符号，舍去负解，完成求值. 【详解】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 【点睛】本题考查等比数列性质与韦达定理综合应用，重点检验学生对等比数列项的符号辨析能力，提醒学生在利用等比中项公式时，不能直接默认正负双解，需要结合题干条件判断符号取舍。 3．已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以“恰有1个红球”，“恰有2个红球”，“至少有1个白球”=（必然事件），“都是白球”=（不可能事件）. 与互斥且，二者对立；、，均不互斥；与满足但，故互斥但不对立的是与. 4．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【详解】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 5．记为正项等比数列的前项和，已知，，则（   ） A．11 B．15 C．19 D．23 【答案】B 【详解】由等比数列的性质可知，，，，组成等比数列， 则，即，整理得， 解得或，又数列的各项为正数，所以，则， 所以，由1，2，4，组成等比数列，可得，解得. 6．光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】观察数列，，，，可知第层的球数是前个正整数之和， 则， ， ． 8．已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【答案】A 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 二、多选题 9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（     ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算判断选项A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，判断选项B；根据点到直线的向量公式可判断选项C；利用坐标表示出，即可判断选项D． 【详解】建立下图所示空间直角坐标系， 则， 故， ， 选项A：，故A错误； 选项B：设异面直线与所成角为，则 ， 故，故B正确； 选项C：记与同向的单位向量为，则， 则点到直线的距离是，故C正确； 选项D：设点，使得， 即，故， 点，则 ， 当，即点与重合时，取最大值3，故D正确． 10．在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 【答案】ABC 【详解】因为， 所以，即，解得， 因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A正确； 因为， 所以，即， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确； 当时， ， 又符合，所以，故C正确； 已知， 则，故D错误． 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 【答案】ABD 【分析】对于选项A：借助双曲线定义与焦距长度计算即可得；对于选项B：设出点，表示出、后，利用余弦定理计算即可得；对于选项C：结合B中所得计算即可得；对于选项D：利用内切圆中切线长性质结合双曲线定义与焦距长度计算即可得． 【详解】对于选项A：由双曲线定义可得，则， 则，又， 则，故A正确； 对于选项B：设，则，即， 双曲线的渐近线为，则， 由对称性，不妨设在上，在上，则，，有， 由，则， 则， 故，由点不在顶点上，故不能取等，即，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：设内切圆圆心为，与、、的切点分别为、、， 由切线长定理可得、、， 又，， 即， 则， 则，又， 故，即内切圆的圆心在直线上，故D正确． 三、填空题 12．已知事件A，B相互独立，，，则_______. 【答案】 【分析】利用独立事件的乘法公式可知，结合即可求解. 【详解】相互独立，所以.由，得，即，所以. 13．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 14．已知函数，若等差数列的前n项和为Sn，且，，则______． 【答案】4052 【分析】根据的解析式，判断为单调增函数且为奇函数，利用奇函数性质得到，再结合等差数列的前项和公式及角标和性质，即可求得结果． 【详解】函数，令， 其定义域为，又，所以为奇函数， 又在为单调增函数，在为单调增函数， 所以在单调递增， 又在为单调增函数，所以在上为单调增函数， 因为为上的奇函数，所以在上为单调增函数， 因为，，所以， ，则，即； 所以． 四、解答题 15．已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对前项和关系分别写出与，相减得到数列的递推关系，再结合等差数列条件确定首项． （2）先由的通项求出，再利用等差数列求和公式求． 【详解】（1）当 时，由及，得， 所以，数列 是公比为 的等比数列． 由，，成等差数列，得． 又，所以，从而 ． 故． （2）由（1）得，所以． 于是． 16．2026年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2026年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕? (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂欲从2027年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？（参考数据：，） 【答案】(1)2027年9月底 (2)2027年11月份开始 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2026年7月起第个月深度净化的废水量为吨，写出数列的前项和，再计算即可. 【详解】（1）设从2026年7月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为，公差为的等差数列，故， 令，化简得，解得， 故该厂在2027年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕. （2）设从2026年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为的等比数列， 故，（为正整数）， 则数列的前项和为， 从2026年7月起第个月废水存量为， 当时，， 当时，， 故2027年11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化. 17．已知数列满足，，为数列的前 项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前 项和． 【答案】(1)证明：对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减 得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）对题设中的递推关系变形后可得，故可得是等比数列； （2）由（1）结合等比数列的通项公式可求； （3）利用分组求和法可求. 【详解】（1）略 （2）由（1）得的通项公式为， 得，所以． （3）由（2）知， 所以 ． 18．已知椭圆：过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给信息以及之间的关系，列出等式求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出斜率的值，进而可解； （3）先考虑斜率不存在的情况，不符合条件；进而设直线的方程为，，联立方程，结合韦达定理，求解即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为； （2）易知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得 ， 由韦达定理得， 若点为线段的中点，此时，解得， 将代入判别式，满足题意； 所以，直线的方程为，即； （3）斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点， 此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件； 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，整理得 所以， 因为原点在以为直径的圆内，所以，      整理得： 进一步整理得：，解得 综上，直线斜率的取值范围为. 19．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ，所以为定值. (3)证明：设直线的方程为，，，已知，联立 得，，即.所以，.所以.所以.所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由 建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【详解】（1）由已知得圆的半径 . 所以圆的标准方程为. （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二1班数学周测5 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 2．在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．－2 3．已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．记为正项等比数列的前项和，已知，，则（   ） A．11 B．15 C．19 D．23 6．光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（     ） A． B． C． D． 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有个球， ， 设各层球数构成一个数列：，，，，，则的值为（   ）    A． B．2 C． D． 8．已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 二、多选题 9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（     ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 10．在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等比数列 B．数列为等差数列 C． D． 11．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上异于顶点的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．内切圆的圆心在直线上 三、填空题 12．已知事件A，B相互独立，，，则_______. 13．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 14．已知函数，若等差数列的前n项和为Sn，且，，则______． 四、解答题 15．已知为数列的前项和，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 16．2026年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池.该厂2026年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕? (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用.该厂欲从2027年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？（参考数据：，） 17．已知数列满足，，为数列的前 项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前 项和． 18．已知椭圆：过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 19．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $