湖北华中科技大学附属中学2026-2027学年高二上学期数学周测3

周测3 一、单选题 1．将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 2．若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 4．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 5．数据2，2，3，5，5，7，8，10，12的第三四分位数为（     ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 6．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 8．在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，正确的是（     ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，相互独立，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，，两两独立，则 10．下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 11．如图，半圆锥的底面直径的长为2，顶点V为矩形的边的中点，母线的长为2，P为半圆弧上任意一点（P不与A，D重合），则下列结论正确的是（    ） A．该半圆锥的表面积为 B．三棱锥的四个面都为直角三角形 C．当直线与平面所成的角为时，异面直线与所成角的余弦值为 D．当三棱锥的体积最大时，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 三、填空题 12．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 13．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱.为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为______. 四、解答题 15．（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 16．为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 17．如图，在长方体中，，点分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)设二面角的大小为，求证：； (3)设平面经过点，且平面平面，试计算平面截长方体所得截面的周长． 18．某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； (3)若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 19．如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． (1)求二面角的正切值； (2)若点满足，点满足，且平面，求的值； (3)若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C C B D ABC BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】掷两次六面体骰子，分别用表示两枚骰子的出现的点数， 则样本空间，共个样本点， 设“两次出现的点数之和是8”， 则，共个样本点， 所以． 2．D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 3．B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 4．D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 5．C 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】已知数据共9个数，第三四分位数即为分位数，， 因此第三四分位数是第7个数：8. 6．C 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 7．B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 8．D 【分析】取中点，连接，过点作直线，交延长线于,进而根据几何关系得向量所成角为二面角的平面角，记为，再根据向量的模的关系求得，即可求得点到平面的距离，最后计算体积即可。 【详解】 在中，，，，，， 为斜边的中点，， ，即为等边三角形. 取中点，连接， 是等边三角形，，且, 在中，，, 过点作直线，交延长线于,则， 所以 又，故， ，， 向量所成角为二面角的平面角，记为， ，，在直线上， ，即， 由向量关系：，两边取模的平方： 因为，代入得 将，，，代入得： 即：，解得，， 所以，点到平面的距离为 又因为等边的面积 所以，三棱锥体积 所以，三棱锥的体积为. 9．ABC 【详解】由互斥事件加法公式，若事件，互斥，，故A正确； 若事件，相互独立，则也互相独立，故，故B正确； 若事件，，两两互斥，任意两个事件不可能同时发生，三个事件不可能同时发生， 则，故C正确； 若事件，，两两独立，则, 无法推出，故D错误． 10．BC 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 11．ABD 【分析】对于A选项,半个圆锥的表面积为一个弧面、一个半圆、一个三角形的面积之和；对于B选项，主要运用线面垂直的判定定理从而证明线线垂直然后得出直角三角形；对于C选项，建立空间直角坐标系，求出与的向量坐标，再运用向量的相关计算求出异面直线与所成角的余弦值；对于D选项，先求出P点坐标，再求出三棱锥的外接球的球心，然后求出所得截面的半径从而求出面积. 【详解】对于A选项，因为，所以, 半圆锥的表面积等于圆锥侧面的一半+半圆+， 即，故A选项正确； 对于B选项，取的中点连接，因为为半圆锥的圆心，为半圆锥的顶点， 所以平面，又因点和点分别是，的中点，所以， 所以平面，所以， 所以为直角三角形，三点在圆上且为直径， 所以，且，所以平面， 又平面，故，， 所以为直角三角形， 综上所述三棱锥的四个面都为直角三角形，故B选项正确. 对于C选项，以为x轴，以为y轴，如下图作z轴建立空间直角坐标系， 则，，故， 由题可设，其中， 因为直线与平面所成的角为且面，面， 故面面，且面面，所以P投影在面上点在直线上， 故，所以， 即，且，解得，故， 因此，， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误； 对于D选项， 运用到C选项的空间直角坐标系，除点P坐标未知其余坐标不变， 因为， h为的长，以为底，高为点到的距离，因为三棱锥的体积最大， 所以点到的距离就要最大，所以， 设三棱锥的外接球的球心， 则，解得， 球的半径，，， ，，设面的法向量， 则，令，则，故， 则点M到面的距离为， 故平面截三棱锥的外接球所得截面的半径， 平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为，故D选项正确. 12． 【分析】明确投篮结束时乙只投了2个球的两种互斥情形，结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式计算概率。 【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮时投中，，由题意得，且各次投篮结果相互独立。 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，事件包含两类互斥情形： 前两次甲、乙投篮均未命中，乙第二次投篮命中获胜，对应事件为； 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为. 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： 13．/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14．/ 【分析】设底面中心为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据列方程组解出球心的坐标，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求出平面与平面夹角的正弦值. 【详解】在四棱锥中，底面为正方形，且， 则该四棱锥为正四棱锥，设底面中心为，则平面，且， 因为平面，所以， 由勾股定理可得， 易知为的中点，所以，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设三棱锥的外接球球心的坐标为， 由得， 解得，即球心为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 故， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 15．（1）或；（2）． 【分析】（1）要注意截距互为相反数包含直线过原点的特殊情形，不能只用截距式，需要分过原点和不过原点两种情况求解； （2）先利用平行直线一般式系数相等的特点，再设出直线方程后代入已知点求出常数项． 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线的方程为．又直线过点，所以，解得． 所以直线的方程为，即． 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线过原点时， 设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得， 则直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （2）已知直线，则直线的方程可化为， 所以直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为， 即． 16．(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3)选择先玩游戏二获得徽章的概率更大， 设事件“先玩游戏二获得徽章”，“先玩游戏三获得徽章”； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 故；则接下来选择先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【分析】（1）根据古典概型公式计算概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本个数，再根据古典概型求解概率即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而得出结论． 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”；“游戏二获胜”；“游戏三获胜”； 游戏一取出一个球的样本空间为；； 因为，则；则； 游戏二有放回地取出两个球的样本空间为；； 因为，则，则； 故游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为； （2）不放回地依次取出两个球共有样本数为，其中样本点为 ； 时，游戏三包含样本点为，样本个数为， 故游戏三的获胜概率为； （3）略 17．(1)3 (2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设是平面的法向量， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 因为在区间上单调递减，所以． (3) 【分析】（1）根据三棱锥体积计算公式结合计算求解即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角空间向量法结合余弦函数性质计算即可证明； （3）根据面面平行判定定理作出平面，进而计算可得截面周长. 【详解】（1）在长方体中， 设的面积为，则， 点到平面的距离， 所以； （2）略 （3）设为的中点，为的中点，连接， 在长方体中，为的中点，为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，, 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为且平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面即为平面， 设平面截长方体所得截面的周长为， ，， ，， 则． 18．(1)第一组频率为0.23，平均数为41.3； (2)； (3)总平均数，总方差． 【详解】（1）由频率分布直方图性质可得，解得． 故. （2）第四组人数为，第五组人数为，人数比． 因为分层抽样抽取6人，故第四组抽取4人，第五组抽取2人． 从名学生中任意取两人，不同的取法有种， 两名学生来自不同的组的取法有种， 故这2名学生来自不同组的概率为. （3），，；，，， 故， 又 . 19．(1) (2)1 (3) 【分析】（1）由题意作出所求二面角的平面角，解直角三角形即可求解； （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H，推出平面平面，继而推出，即可求解； （3）先确定四棱锥与四棱锥相交的公共部分的形状，再结合割补法即可求解. 【详解】（1）设的中点为，连接， 是正三角形，故，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 结合，可得， 底面是正方形，则 ， 而平面，故平面， 平面平面，平面平面， 故为二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H， 底面是正方形，则H为的中点， 由于，故，结合，可得， 即E为的中点，则在中有， 平面，平面，故平面， 结合平面，且平面，故平面平面， 又平面平面，平面平面， 故，结合G为的中点，可知F为的中点， 即，而，可得, （3）如图，连接，则，而，故， 则可得共面，设交于点R，交于点S， 则四棱锥与四棱锥相交的公共部分为以为顶点的五面体， 该五面体的体积等于, 由题意可知P到底面的距离为，则N到底面的距离为， 故， ， 由于，故， 则，结合题意知,则, 由平面平面，平面平面，，平面， 得平面， 故； 又，则，则， 故，则，故, 故 ， 即四棱锥与四棱锥相交的公共部分的体积为. 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $