湖北武汉市华中科技大学附属中学2026-2027学年高二上学期数学周测4

周测4 一、单选题 1．数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 5．在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 6．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 二、多选题 9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则事件与B相互独立 C．若A发生时B一定发生，则 D． 10．下列说法中，正确的有（    ） A．直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 B．若直线与直线平行，则或0 C．直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 D．点在直线上，直线方程为. 11．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 三、填空题 12．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 13．如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 四、解答题 15．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 16．如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 17．高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 18．棋手甲利用AI辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为，AI胜的概率为，且，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局，则认定该方最终获胜且训练结束. (1)求恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率（结果用表示）； (2)记恰好进行局比赛甲最终获胜的概率为，比较与的大小. 19．正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 试卷第16页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 周测4 一、单选题 1．数据7，8，12，5，6，7，10，6，12，8的上四分位数为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】将数据按升序排列可得5，6，6，7，7，8，8，10，12，12， 因为，所以上四分位数为第8位数10. 2．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 3．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求古典概型的概率公式直接求解即可. 【详解】柜子里有三双不同的鞋，可设为，，，，，，其中与，与，与分别为一双鞋， 则从中随机取出两只，所有可能的组合有：，，，， ，，，，，，，， ，，，共15种， 取出的鞋成双的有，，共3种情况， 故取出的鞋成双的概率. 4．已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意，， 时，方程是，的方程是，平行； 时，方程可化为，方程化为，两直线重合，舍去， 故选：A. 5．在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出坐标，进而可得，由题意，设，利用，化简整理，即可得出答案. 【详解】由题意得， 所以，又， 令，则，， 因为， 所以，即， 又， 设，则， 所以，解得，即， 当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：B 6．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. 7．如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，则或其补角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求角的余弦值. 【详解】由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中， 如图，在梯形中，过作，垂足为， 而，故， 故. 同理，. 在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接， 则或其补角为异面直线与所成角， 因，，故四边形为平行四边形， 故，， 而，故， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D. 8．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 二、多选题 9．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则事件与B相互独立 C．若A发生时B一定发生，则 D． 【答案】BD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 10．下列说法中，正确的有（    ） A．直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 B．若直线与直线平行，则或0 C．直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 D．点在直线上，直线方程为. 【答案】ACD 【分析】由直线的方向向量的定义即可判断A，由解出，代入验证即可判断B，利用倾斜角和斜率的关系即可判断C，根据题意代入方程解出，代入方程即可判断D. 【详解】对于A：设直线的倾斜角为，则，又，所以，故A正确； 对于B：由，即，解得或， 当时，直线，与直线重合，不满足题意， 经验证满足，故B错误； 对于C：当时，，所以直线的倾斜角， 当时，，由或， 所以或，所以或， 所以直线的倾斜角的取值范围是，故C正确； 对于D：由点在直线上，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 【答案】ABD 【分析】取的中点E，的中点F，连接，，，，易得，，平面平面，故点M的轨迹为线段．对于A，易得平面，当M为线段中点时，，因为，所以；对于B，设直线与平面所成的角为，由平面知，在中，，即可求解；对于C，由的轨迹为线段，易得，所以与平面不平行，所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值；对于D，建系后写出向量的坐标，令，得的关系式，由的范围即可求出的范围，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，的中点F，连接，，，，    易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示．    则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示．    由平面知，， 在中，由，得，故B正确； 对于C，由的轨迹为线段，在正方体中，可知，所以与平面不平行， 又，点的轨迹为线段,所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，所以C错误； 对于D，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：    则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故D正确； 三、填空题 12．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 13．如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值____________． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 四、解答题 15．已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【详解】（1）由，可知， 故所求直线的方程为， 即. （2）易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16．如图，在四棱锥中，，，，，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为为线段的中点，所以，. 又，，所以，， 则四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）延长到点，使，连接. 因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，则，. 因为，所以. 又，所以. 又平面，，所以平面. 又平面，所以，即两两垂直. 故以点为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 设与平面所成角为， 则. 故与平面所成角的正弦值为. 17．高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; (2)已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 【答案】(1)合理分数为分；平均分为70.2分 (2)总平均数是62，总方差是26． (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. （3）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 （2）由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． （3）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 18．棋手甲利用AI辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为，AI胜的概率为，且，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局，则认定该方最终获胜且训练结束. (1)求恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率（结果用表示）； (2)记恰好进行局比赛甲最终获胜的概率为，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）局比赛结束的情况仅包含甲连胜局或连胜局两种互斥情形，直接用互斥事件概率加法公式计算； （2）分别分析甲在第局、第局获胜的比赛序列约束，计算对应概率后作差比较大小，得出结论. 【详解】（1）由条件，3局比赛结束，则可能是甲连胜三局胜，也可能是AI连胜3局胜， 所以恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率； （2）恰好进行5局比赛，训练结束，甲最终获胜，则甲在最后三局连胜，第2局输，与第一局无关所以， 若恰好进行6局比赛，训练结束，甲最终获胜，则甲最后三局连胜，第3局应该输，且第1，2局不全输， 所以， 所以，即. 19．正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 由于平面， 故平面， 又平面， 所以 (2) (3) 设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时， 这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【详解】（1）略 （2）过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. （3）略 试卷第16页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $