精品解析：广东深圳市龙岗区梧桐学校2026-2027学年第一学期九年级10月数学学科素养评价试卷

梧桐学校2026—2027学年第一学期10月数学学科素养评价 一、选择题（共8小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 4. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 8. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（共5小题） 9. 方程的解是______． 10. 若是一元二次方程，则的值为______． 11. 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为______ ． 12. 如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为__________． 13. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了______． 三、解答题（共7小题） 14. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 15. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 16. 如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的面积为2，求四边形的面积． 17. “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：，∵，， ∴．试利用配方法解决下列问题： （1）填空：因为（______）＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； （2）试说明无论x取何值代数式的值都是非正数； （3）求的最值． 18. 依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 19. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 20. 在矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F， （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的长； （2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设与相交于点H，求的长； （3）如图3，设点P为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧桐学校2026—2027学年第一学期10月数学学科素养评价 一、选择题（共8小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程）依次进行判断即可求解． 【详解】、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项合题意； 、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断一元二次方程根的情况，由根的判别式来判断，，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 【详解】解：A选项，方程有两个不等实根； B选项，方程有两个不等实根； C选项，方程有两个不等实根； D选项，方程有两个相等实根． 3. 已知关于x的方程有一个根为1，则方程的另一个根为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根t的方程，解方程即可． 【详解】解：设关于x的方程的另一个根为x＝t， ∴1＋t＝3， 解得，t＝2 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝． 4. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，结合根与系数的关系计算代数式的值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，即，，， ∵， ∴， ∵， ∴原式． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由平行线的性质，角平分线定义，推出，由三角形中位线定理推出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点，E是中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 二、填空题（共5小题） 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程直接开方，得一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 开方得，， 即或， 解得，，， 故答案为：，． 10. 若是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为，二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， 满足两个条件： ①未知数最高次数为，即， ②二次项系数不为，即， 解得，即或， 由得， ． 11. 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为______ ． 【答案】14 【解析】 【分析】第一轮共感染人，第二轮共感染（人），根据经过两轮传染将会有人感染，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，为对角线上一点，为边上一点，且，连接，若，则的度数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．连接，根据正方形的性质可得出，进而得出，则，进而求出． 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是正方形， ，，， ， ，而， ，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了______． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作于点，设运动时间为，则，，则四边形是矩形， 由矩形的性质得到，，则，利用勾股定理求出后列方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 设运动时间为， 由题意得，， 则 ， （秒）， 则， 四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，当时，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴运动时间为或． 三、解答题（共7小题） 14. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：因式分解发，提公因式法，进行解答，即可． （1）根据因式分解，可得：，得到或，解出未知数，即可； （2）根据方程，提取公因式，得到，推出或，解出未知数，即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 15. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 【答案】（1）>； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴>0， 解得：> ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得， ． ∵， ∴， 解得：k=0或k=2， 又∵>， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 16. 如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的面积为2，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵H，F分别是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E，G分别是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）连接，推出且，进而得到，求出，推出，再根据，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵E，F分别是中点， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键． 17. “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：，∵，， ∴．试利用配方法解决下列问题： （1）填空：因为（______）＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； （2）试说明无论x取何值代数式的值都是非正数； （3）求的最值． 【答案】（1）3；4；；小；4 （2）解：∵ ， ， ∴无论x取何值代数式的值都是非正数； （3）有最小值，最小值为5 【解析】 【分析】（1）用配方法进行配方后，再完成填空即可； （2）配方后得出，即可说明结论； （3）配方后得出，即可求出最值； 【小问1详解】 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，这个最值为4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， ∵， ， ∴有最小值，最小值为5． 18. 依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． （1）求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． （2）门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）每袋酥饼需要降价元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 19. 我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 （1）求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； （3）若是它的互补对，求的值． 【答案】（1）， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 20. 在矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B，C，D的对应点分别为点E，F， （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的长； （2）如图2，当点C，E，F在一条直线上时，设与相交于点H，求的长； （3）如图3，设点P为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）如图1中，在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）根据即可证明，推出，推出，设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （3）连接，作于当AM与AB共线，且时，面积最大，利用求出，再根据计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1中， 四边形是矩形， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， 【小问2详解】 ①证明：如图2中，连接， 由旋转的性质可得，， 点E落在线段上， ， 在和中， ， ， ， ，设，则， 在中，， ， ， 【小问3详解】 存在．理由如下： 如图3中，连接，作于， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ，， ， ， ， 则， 的面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $