微专题二 平面向量等和线的应用导学案-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题二 平面向量等和线的应用 一、教学目标 1. 理解平面向量等和线的生成背景，掌握三点共线定理与等和线的内在联系，明确等和线的定义与几何本质。 2. 熟练掌握等和线系数 的几何意义，掌握不同取值范围（）对应的直线位置规律。 3. 掌握等和线的基本性质与平移规律，能够利用等和线求解向量线性组合的最值、取值范围问题。 4. 学会对非标准向量表达式进行换元变形，构造标准等和线模型，解决变式题型。 二、教学重点 1. 等和线的定义、几何本质以及系数 的几何意义。 2. 等和线五种位置状态对应的 取值规律，熟练判断动点区域对应的参数范围。 3. 利用等和线平移法求解向量线性组合的最值与取值范围问题。 4. 标准等和线题型的解题步骤与套路应用。 三、教学难点 1. 理解等和线 为有向距离比值，区分正负取值与几何位置的对应关系。 2. 复杂图形（三角形、圆、多边形、曲线）中，动态平移等和线精准找极值位置。 3. 非标准型向量表达式（）的换元构造，转化为标准等和线模型。 4. 结合图形边界、动点范围准确判断区间开闭，规避范围偏大或取不到等号的问题 必掌握知识点 一、平面向量共线定理 已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 二、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤： （1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 四 、等和线易错点总结 1.基底起点必须统一 ，三个向量起点必须是同一个点，如果题目给的向量起点不一样，要先向量改写，移到同一个起点，否则等和线结论直接失效。 2.混淆 “对应的直线” 对应的是基底终点连线，不是别的直线；很多同学看错连线，基准线选错，全部算错。 3.符号问题：有向距离 等和线是有向距离之比，不是单纯长度比。 如果等和线在原点另一侧，会出现负数；对称等和线互为相反数，不要直接全部当成正数。 4.动点区域是否包含边界 动点写 “内部、不含边界”：取值范围用开区间； 动点写 “含边界、包括边界”：用闭区间。 5.非标准形式不会换元 题目不一定直接求，会求、这类变形，不能直接硬套原来的等和线，需要换元构造标准形式。 6.曲线（圆、抛物线）背景下，误把图形顶点当作最值点 圆、抛物线上动点，的极值不一定出现在圆、抛物线顶点，而出现在等和线与曲线相切的切点，不是图形顶点，不要凭肉眼看图猜最值。 7.等和线是平行于 AB 的直线，不是平行于 OA 或 OB 很多初学者平移直线时，错误平移或者，正确：等和线全部平行于两个基底终点的连线。 8.外心、外接圆题型，忽略 “有向高” 计算距离比值时，直接拿几何长度代入，忽略点在原点另一侧的符号，算出错误。 9.三点共线与等和线概念混淆 共线：； 在平行的线上：。 不要看到就直接写，只有在直线上才等于 1。 必考题型全归纳： 题型一：平面向量三点共线定理 若，三点共线的充要条件是。 正向：共线； 反向：若且三点共线。 说明：基底起点必须是同一点。 1.设是边上的点，,若，则 =（ ） 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 2.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解析】设，，所以 ，又，所以．故选：． 3.在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ） A. B. C. D. 【解析】 ，则， 所以，则答案：C 题型二：等和线定义 平面内取一组基底，对任意向量。 若点在直线上，或者在平行于的直线上，则（为定值）；反过来也成立。 我们把直线以及所有和平行的直线叫做等和线，叫做等和线的系数和。 等和线 的5条基本性质 1.等和线恰好就是直线：（就是三点共线定理）； 2.等和线夹在原点与直线之间：； 3.直线夹在原点和等和线之间：； 4.等和线经过原点：； 5.两条等和线关于原点对称：两条线对应的值互为相反数。 本质：等于两条平行线（该等和线、线）到公共起点的有向距离之比（高线比值）。 4.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是（含边界）的动点，设，则的最大值为（ ） 【解析】当点位于点时，过点作，交的延长线于,则，且，所以，所以. 故答案为：. 5.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A.3 B. C. D.2 【解析】：根据图形可知，当点P在圆上运动到与A点距离最大时 有最大值，此时，过A点作BD的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则，答案：A 6.已知抛物线的焦点为F，点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】因，则，当等和线相切于抛物线时有最小值，过C作两等和线的垂线，垂足分别为T、S，则 由抛物线方程为可得直线AB方程为，，故 切点为，此时切线方程为，， 则答案：A 知识点 3：等和线解题通用步骤 1.确定基准线（单位等和线）：找到对应的直线（，的那条直线）； 2.平移等和线：把的平行线在动点允许区域内平移，观察与动点区域边界交点，判断在哪里取最大值、最小值； 3.计算比值：利用两条平行线到原点的垂线段长度之比求出的具体数值，得到的取值 / 最值。几何理解：，是所在等和线到的有向距离，是直线到的距离。 7.已知为的外心，若且，则（ ） 【解析】过点作于，过点作于， 过点作交的延长线于，交的延长线于， 因为则，从而有, 而三角形的外接圆的半径为，所, 且，所以，所以, 所以,故，由于，因. 题型三：等和线的拓展变形（换元构造标准等和线） 很多题目不是直接求，而是求形如的线性组合，此时需要换元，构造标准形式。 例：求，改写为，令，式子变为，再用等和线。 8.已知P是内任一点，且满足，，则y+2x的取值范围是_____. 【解析】（D为AB中点） 所以当等和线过点B时，y+2x有最大值,当等和线过点A时，y+2x有最小值，又因P是内任一点，故不能取等号，所以，答案： 题型四：结合几何图形（圆、抛物线、多边形、外接圆）的等和线 9.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是内一点，且，所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 ，所以，即 当M与C重合时，最大，此时 ，所以，即 因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B 10.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴∴故选：A. 巩固提升： 1.如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________ 【解析】：连接因为正六边形， 由对称性知道 ，设与交于点，与交于点， 当在上时，在上射影最小为； 当与重合时，在上射影最大为； 则 设则则 2. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________. 解1 过点作的平行线，由等和线知，，, 当C为弧AB的中点时，最小，最小值为，此时，的最大值为2 解2 设 ，，即 ∴， 则的最大值是2. 解3 建立如图所示的坐标系，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(1,0)，B，设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)， 由＝x＋y，得，所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα， 所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 解4 两边平方，可得，，可得，可得的最大值为2 解5 由可变形得，,则三点共线， ,当时，的最大值为2 3．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 解：如图，若点在线段上，则。注意到表达式同起点，几何上易知点到直线的距离，直线与其过点的平行线间的距离，过点的平行线与另一靠上平行切线间的距离，这三个距离均相等，故可知的两条平行线分别满足与，故的最大值为3，选A。 4.平行四边形中，是平行四边形内的一点，且，若，则的最大值为 。 解：需求的最大值，。由题，可知点在以为圆心，1为半径的圆弧上，设该圆弧与的交点为，可知，故。当点在直线上时，。作圆弧平行于直线的切线，易知点在该平行线上时，，故的最大值为2。 5．在中，为平面内一点，且为劣弧上一动点，且，则的取值范围为 解：由知为的外心，，由图可知。 6.边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 分析:如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知. 7在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上， 若，则的最大值为( ) 解：如图所示： 过作的垂线，垂足为，则，当三点共线时，高线最长，即 8.如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是—————— 解：设圆与直线相切于点，过作于，作直线，且直线与圆相切与，连，则过圆心，且，由图可知，对圆内任意一点 在直线上的射影长度满足：， 又，，所以 而，所以 9．在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，由， 可得利用正弦函数的图像及性质即得解. 【详解】以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设M的坐标为，过点B作 轴 ， 又 ， 当时，故选：C 【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 10．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合余弦定理，面积公式可求出、、边上高，内切圆半径，最后根据平行线等比关系即可求解. 【详解】，由在内切圆上， 故， 假设，由于，， 则，且为上一点，，，三点共线， 由平行线等比关系可得，要使，即与之间的比例最小，则在内切圆的最高点，如图所示， 由，因为，所以， 设边上高为，内切圆半径为， 由，所以，， 可得的最小值为，故选：B. 【点睛】这道题关键的地方是转化得到，令，观察到分母的系数相加为1，则可得到为上一点，再结合平行线等比关系以及图象可得到比例最小的具体位置 11．在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理与勾股定理得是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量的坐标，由向量的坐标运算可得的表达式，进而利用三角函数求最值即可. 【详解】因为在中，，，， 由余弦定理得， 所以，则，所以，故以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，   ， 易得，则，， 设的坐标为，则，又， 所以， 则，得，， 所以， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到的关系式，从而利用三角函数的性质得解. 12已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为是内一点,且，所以为的重心 在内(不含边界),且当与重合时,最小, 此时所以,即 当与重合时,最大,此时所以,即 因为在内且不含边界所以取开区间,即. 13已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________ 答案: 【解析】如图,取中点为, 显然,当与重合时,取最小值1.将平行移动至与相切处,为切点时,取最大值.延长交于,易知. 由等和线及平行截割定理,.所以的最大值为. 故的取值范围是. 14若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______ 【解析】令,则,即,其中.由知点在线段上,如下图: 由于在中,, 且点在线段上(含端点, 因此,其中是边上的高. ，可得. 可得.所以,.再由 可知. 15.设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 解:如图,取中点,则 此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大,由于,所以,于是的最大值为所以的取值范围是. 16．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为． 【详解】如图，设，， 则：； 又；；；的最大值为．故选B． 【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，以及平面向量基本定理． 17．已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据三点共线得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】 因为三点共线，故，因为，所以，又为重心，故，而不共线，所以，也即是.，由基本不等式可以得到：，当且仅当等号成立，故的最小值为故选D. 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 18．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和 三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围. 【详解】因为中，， 由余弦定理可得， 即，且，设， 则，， 所以，同理可得，，解得，所以， 又因为，，所以， 因为三点共线，可得，因为，所以，所以， 同理可得，所以所以， 设，可得， 令，可得，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为； 又由，，可得，所以当时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围是. 故选：B. 19.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？ 解: 作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中. 考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义, 将条件转化为. 此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是. 依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是. 20．在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（    ） A． B．1 C．-1 D． 【答案】C 【解析】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，求出圆的标准方程，可得的坐标的参数形式，再由用坐标表示，这样就可表示为的三角函数，由三角函数恒等变换可求得其最小值． 【详解】以A为原点，直线AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，则，， 直线，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径，圆C的方程为，设点，即， 又，∴， 所以. 即时，取得最小值．故选：C． 【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量用两种不同方法表示，从而把表示为参数的三角函数，利用三角函数知识求得最小值． 21．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解 【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则， ，设，则，解得， 故，即，数形结合可得当时，取最小值2， 当直线与圆相切时，，取得最大值 . 故选：B 22．在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图以为轴建立直角坐标系，设，则可表示出的坐标，可列出关于的不等式组，表示出，利用三角函数恒等变换公式化简，从而可求得结果 【详解】如图以为轴建立直角坐标系，则，，，，，，所以，， 设，因为 所以，所以， 解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以，即，故答案为： 23．在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出，进而用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】 分别以所在直线为轴，轴，方向为正方向建立直角坐标系，知, 设，由得：，即 ,则， 由可得：，则，故. 则的取值范围是   .故选：C 24．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为 ． 【答案】5 【分析】根据题意设作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出，即可求得AP：PM，BP：PN的值，再设PM＝2t，求得PN，PA，PB，设△APN的面积为x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得x的最大值，进而得到所求△ABC的面积的最大值． 【详解】设 则, , ∵A、P、M和B、P、N分别共线， ∴存在实数λ、μ，使 故. 而 ∴，解得 ，故 即AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，设PM＝t，则PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0， 设△APN的面积为x，∠APN＝α，在△APN中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t， 可得cosα＝＝，sinα＝， 则 当，即t＝时，x取得最大值，而△ABP的面积为x，△BPM的面积为， 则△ABC的面积为，则△ABC的面积的最大值为×＝5． 故答案为：5． 25．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解. 【详解】过点作，分别交于点， 过点作，交的延长线于点， 过点作，交的延长线于点，如图，由 可知，点在线段上运动（不含端点）. 当点与点重合时，，可知. 当点与点重合时，，可知. 故的取值范围为.故答案为： 26．如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】因为是的中点，得到，设，所以，根据三点共线，求得，得到，得到， 延长于，使得，延长于点，使得，结合相似，求得得到为等腰三角形，且，得出，进而取得的面积的最大值. 【详解】因为是的中点，可得， 设，所以， 因为三点共线，所以，解得，所以 所以，所以，所以，所以， 延长于，使得，延长于点，使得，如图所示， 则，且相似比为，所以, 所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以为等腰三角形，且，所以，因为，所以，所以.所以的面积的最大值为.    【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法： （1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决； （2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则､运算律和性质求解. 27．已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x的取值范围. 【详解】解：如图所示，在线段BD上取一点G，使得， 设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a； 过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H， 连接FH，则点K､H为临界点； GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE， ， 所以FH∥BC； 所以FHBC， 所以， 所以KGHK， KGHGDE.所以实数x的取值范围是().故答案为：().    【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题二 平面向量等和线的应用 一、教学目标 1. 理解平面向量等和线的生成背景，掌握三点共线定理与等和线的内在联系，明确等和线的定义与几何本质。 2. 熟练掌握等和线系数 的几何意义，掌握不同取值范围（）对应的直线位置规律。 3. 掌握等和线的基本性质与平移规律，能够利用等和线求解向量线性组合的最值、取值范围问题。 4. 学会对非标准向量表达式进行换元变形，构造标准等和线模型，解决变式题型。 二、教学重点 1. 等和线的定义、几何本质以及系数 的几何意义。 2. 等和线五种位置状态对应的 取值规律，熟练判断动点区域对应的参数范围。 3. 利用等和线平移法求解向量线性组合的最值与取值范围问题。 4. 标准等和线题型的解题步骤与套路应用。 三、教学难点 1. 理解等和线 为有向距离比值，区分正负取值与几何位置的对应关系。 2. 复杂图形（三角形、圆、多边形、曲线）中，动态平移等和线精准找极值位置。 3. 非标准型向量表达式（）的换元构造，转化为标准等和线模型。 4. 结合图形边界、动点范围准确判断区间开闭，规避范围偏大或取不到等号的问题 必掌握知识点 一、平面向量共线定理 已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 二、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1） 当等和线恰为直线AB时，k=1； （2） 当等和线在O点和直线AB之间时，； （3） 当直线AB在点O与等和线之间时，； （4） 当等和线过O点时，k=0； （5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 三、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤： （1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 四 、等和线易错点总结 1.基底起点必须统一 ，三个向量起点必须是同一个点，如果题目给的向量起点不一样，要先向量改写，移到同一个起点，否则等和线结论直接失效。 2.混淆 “对应的直线” 对应的是基底终点连线，不是别的直线；很多同学看错连线，基准线选错，全部算错。 3.符号问题：有向距离 等和线是有向距离之比，不是单纯长度比。 如果等和线在原点另一侧，会出现负数；对称等和线互为相反数，不要直接全部当成正数。 4.动点区域是否包含边界 动点写 “内部、不含边界”：取值范围用开区间； 动点写 “含边界、包括边界”：用闭区间。 5.非标准形式不会换元 题目不一定直接求，会求、这类变形，不能直接硬套原来的等和线，需要换元构造标准形式。 6.曲线（圆、抛物线）背景下，误把图形顶点当作最值点 圆、抛物线上动点，的极值不一定出现在圆、抛物线顶点，而出现在等和线与曲线相切的切点，不是图形顶点，不要凭肉眼看图猜最值。 7.等和线是平行于 AB 的直线，不是平行于 OA 或 OB 很多初学者平移直线时，错误平移或者，正确：等和线全部平行于两个基底终点的连线。 8.外心、外接圆题型，忽略 “有向高” 计算距离比值时，直接拿几何长度代入，忽略点在原点另一侧的符号，算出错误。 9.三点共线与等和线概念混淆 共线：； 在平行的线上：。 不要看到就直接写，只有在直线上才等于 1。 必考题型全归纳： 题型一：平面向量三点共线定理 1.设是边上的点，,若，则 =（ ） 2.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 3.在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ） A. B. C. D. 题型二：等和线定义 4.如图，四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上，且，点是（含边界）的动点，设，则的最大值为（ ） 5.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为（ ） A.3 B. C. D.2 6.已知抛物线的焦点为F，点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（ ） A. B. C. D. 知识点 3：等和线解题通用步骤 7.已知为的外心，若且，则（ ） 题型三：等和线的拓展变形（换元构造标准等和线） 8.已知P是内任一点，且满足，，则y+2x的取值范围是_____. 题型四：结合几何图形（圆、抛物线、多边形、外接圆）的等和线 9.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 巩固提升： 1.如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________ 2. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________. 3．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 4.平行四边形中，是平行四边形内的一点，且，若，则的最大值为 。 5．在中，为平面内一点，且为劣弧上一动点，且，则的取值范围为 6.边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含端点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 7在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上， 若，则的最大值为( ) 8.如图在直角梯形中，，，，动点在以为圆心，且与直线相切的圆内运动，设 则的取值范围是—————— 9．在中，，，，M是外接圆上一动点，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 10．在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，若（，为实数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 12已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是 A. B. C. D. 13已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________ 14若点在以为圆心,6为半径的弧上,且,则的取值范围为______ 15.设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 16．在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 17．已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是 A． B． C． D． 18．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（    ） A．B．C． D． 19.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？ 20．在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最小值为（    ） A． B．1 C．-1 D． 21．如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．在直角梯形中，，∥，，、分别为、的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，（如图所示），若，其中，则的取值范围是 ． 23．在直角梯形中，，，，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的半圆分别交及其延长线于点，，点在上运动（如图）.若，其中，，则的取值范围是 A． B． C． D． 24．如图所示，△ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，且PN＝2PM，则△ABC面积的最大值为 ． 25．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为 . 26．如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为 ．    27．已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $