专题七平面向量与复数05复数导学案-2027届天津市高三数学一轮复习

高考一轮总复习导学案 专题七 平面向量与复数05 复数 1、 考情分析 复数考查四则运算、共轭复数、模与几何意义，题型基础简单；天津高考均以小题稳定考查.试题以填空形式出现，侧重运算化简、模长计算与坐标几何应用。 二、知识梳理 知识点一 复数的概念 1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 2.复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 3.复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 5.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点二 复数的运算 1.复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 知识点三 复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 知识点四 复数的几何意义 1.复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2.复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 3.复数的模 向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． |z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 三、类型应用 类型一 复数的四则运算 例1：（2026·全国一卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.82 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 变式训练1-1：（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【详解】. 变式训练1-2：设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【详解】. 故选：A. 变式训练1-3：若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用化简原式，计算求解． 【详解】，，． 故选：B 变式训练1-4：已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】因为，所以， 则 类型二 复数的有关概念 例2：复数的实部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【详解】，其实部为3. 变式训练2-1：若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】由，则，则复数的虚部为. 故选：C. 变式训练2-2：设，则的实部和虚部分别为（     ） A．1， B．1， C．， D．1，3 【答案】D 【分析】利用复数的除法及加减运算求解，再根据共轭复数概念作答. 【详解】由题意得，，得， 所以，故的实部和虚部分别为1，3. 故选：D. 变式训练2-3：已知复数，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】因为， 所以. 例3：已知i是虚数单位，若实数，满足，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的运算及复数相等求解即可. 【详解】由，得， 所以，. 变式训练3-1：已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出，再逐一判断. 【详解】因，则， 则，，解得或， 若，则AB错误，D正确；若，则C错误，D正确； 故选：D 变式训练3-2：若复数满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意. 故选：C. 类型三 复数的分类 例4：复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； 【答案】(1)；(2)； 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； 【详解】（1）复数z为实数，所以. （2）复数z为纯虚数， 所以，解得. 变式训练4-1：若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，集合复数的有关概念计算即可求解. 【详解】，又为实数，所以，解得. 故选：C 变式训练4-2：已知，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的基本概念、求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】， 因为为纯虚数，所以，. 类型四 复数的几何意义及复数的模 例5：复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】， 则复数在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限. 变式训练5-1：已知复数，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】复数的坐标表示、在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】由题可知，所以对应的点为，位于第一象限 变式训练5-2：复数分别对应复平面上的点，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【详解】，对应点， ，对应点， 则向量，对应复数为． 变式训练5-3：（2026·北京·高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【详解】由题意， 则. 变式训练5-4：已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法计算得到，即可求得 【详解】， 所以. 变式训练5-5：已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的除法运算 【分析】先对复数进行化简，可得在复平面中对应的点，即可求得到原点的距离. 【详解】因为复数，在复平面中对应的点为， 所以到原点的距离为. 类型五 复数范围内二次方程的根 例6：若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】实数的平方根 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 变式训练6：若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【难度】0.85 【知识点】复数的平方根与立方根、实数的平方根 【分析】易知是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 四、素养提升 1.已知复数（为虚数单位，），则“”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的定义，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】充分性：由，得或. 当，时，是纯虚数，所以充分性不成立. 必要性：若为实数，则，此时，所以必要性成立. 综上，“”是“为实数”的必要不充分条件. 2.当时，复数在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】.因为， 所以，，即对应的点在第四象限. 故选：D 3.（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 4.若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【详解】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，，故，所以. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题七 平面向量与复数05 复数 1、 考情分析 复数考查四则运算、共轭复数、模与几何意义，题型基础简单；天津高考均以小题稳定考查.试题以填空形式出现，侧重运算化简、模长计算与坐标几何应用。 二、知识梳理 知识点一 复数的概念 1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是 ，虚部是 ． 规定i2＝ ，我们把i叫作虚数单位． 2.复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母 表示． 3.复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是 且 ． 5.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为 复数．复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝ ． 知识点二 复数的运算 1.复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ （4）除法： 知识点三 复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： （2）利用复数相等的定义求解 知识点四 复数的几何意义 1.复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为 轴，y轴为 轴． 2.复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 是一一对应的． 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 3.复数的模 向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． |z|＝ ＝ 三、类型应用 类型一 复数的四则运算 例1：（2026·全国一卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 变式训练1-1：（2026·天津·高考真题）化简__________． 变式训练1-2：设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 变式训练1-3：若为虚数单位，则（   ） A．2 B．0 C． D． 变式训练1-4：已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．2 类型二 复数的有关概念 例2：复数的实部为（     ） A． B． C． D． 变式训练2-1：若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 变式训练2-2：设，则的实部和虚部分别为（     ） A．1， B．1， C．， D．1，3 变式训练2-3：已知复数，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 例3：已知i是虚数单位，若实数，满足，则（     ） A．， B．， C．， D．， 变式训练3-1：已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式训练3-2：若复数满足（i是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 类型三 复数的分类 例4：复数z满足 (1)若复数z为实数，求m的值； (2)若复数z为纯虚数，求m的值； 变式训练4-1：若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 变式训练4-2：已知，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 类型四 复数的几何意义及复数的模 例5：复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式训练5-1：已知复数，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限 变式训练5-2：复数分别对应复平面上的点，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 变式训练5-3：（2026·北京·高考真题）已知复数，，则（     ） A． B．2 C． D．8 变式训练5-4：已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 变式训练5-5：已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（     ） A． B． C． D． 类型五 复数范围内二次方程的根 例6：若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 变式训练6：若是关于的方程的复数根，则____________． 四、素养提升 1.已知复数（为虚数单位，），则“”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.当时，复数在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 4.若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $