专题七03平面向量的数量积导学案-2027届高三数学一轮复习

高考一轮总复习导学案 专题七 平面向量与复数03 平面向量的数量积 1、 考情分析 高考卷中平面向量专题为热点内容，主要考查平面向量基本定理、数量积运算及与基本不等式的融合，题型以填空题为主，分值5分，难度中等。 二、知识梳理 知识点一 平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是 当θ＝时，a与b垂直，记作 ； 当θ＝0时，a与b共线且 ； 当θ＝π时，a与b共线且 ． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ，记为 知识点二 平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标运算 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． （1）数量积：a·b＝ ＝ （2）模：|a|＝ ＝ （3）夹角：cos θ＝ ＝ （4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔ （5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔ 知识点四 常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 2、 类型应用 类型一 求平面向量的数量积 例1：已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 变式训练1-1：已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 变式训练1-2：已知平面向量，，满足，且，则__________． 变式训练1-3：已知，则（   ） A． B． C． D． 例2：矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 变式训练2：四边形是边长为4的菱形，，若，且为的中点，则________． 类型二 平面向量的模长 例3：已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 变式训练3-1：已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式训练3-2：已知平面向量，均为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 变式训练3-3：在中，，，，为中点，则的长度为______ 例4：已知向量，，与的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 变式训练4-1：已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．3 变式训练4-2：已知向量，，若，则______. 类型三 平面向量的夹角 例5：已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-1：已知单位向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 变式训练5-2：已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式训练5-3：已知向量，，且，，则的值为_________． 类型四 平面向量垂直关系的应用 例6：已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 变式训练6-1：已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．5 变式训练6-2：已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 类型五 投影向量 例7：如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式训练7：已知向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 类型六 数学情境 1.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（   ） A． B． C．2 D． 四、素养提升 1.已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． 2.已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在方向上的投影向量为 D．若，则 3.已知向量，均为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 6.设的内角，，所对的边分别为，，，，，且当时，函数取得最大值． (1)求； (2)若为的重心，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题七 平面向量与复数03 平面向量的数量积 1、 考情分析 高考卷中平面向量专题为热点内容，主要考查平面向量基本定理、数量积运算及与基本不等式的融合，题型以填空题为主，分值5分，难度中等。 二、知识梳理 知识点一 平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e. 知识点二 平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识点三 平面向量数量积的性质及其坐标运算 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． （1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. （2）模：|a|＝＝. （3）夹角：cos θ＝＝. （4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. （5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 知识点四 常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 2、 类型应用 类型一 求平面向量的数量积 例1：已知向量，的夹角为，，，则的值为______． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】因为向量，的夹角为，，，则， 所以. 变式训练1-1：已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 故选：B 变式训练1-2：已知平面向量，，满足，且，则__________． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知模求数量积 【详解】由，移项可得. 将等式两边同时平方，根据向量数量积的运算律得： ， 展开得： ， 已知，因此，，， 代入上式： ， 化简得，解得. 变式训练1-3：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量，，再利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知， 两式相减，即，得， 所以， 因此. 例2：矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：C 变式训练2：四边形是边长为4的菱形，，若，且为的中点，则________． 【答案】21 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】选取和为基底，将、用基底线性表示后，利用平面向量数量积的运算规则计算求值 【详解】因为四边形是边长为4的菱形，， 所以 ，且 由菱形性质得，，由，得：， 因为为的中点，所以 所以 所以 方法技巧 计算平面向量数量积的方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 类型二 平面向量的模长 例3：已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，则， 可得，所以. 故选：D. 变式训练3-1：已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积可求. 【详解】，故. 故选: D. 变式训练3-2：已知平面向量，均为单位向量，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零向量与单位向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的数量积运算及单位向量的定义，结合公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，可得， . 变式训练3-3：在中，，，，为中点，则的长度为______ 【答案】 【知识点】几何图形中的计算、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】借助向量的线性运算、模长与数量积的关系计算即可. 【详解】因为为中点，则， 所以 ，所以的长度为. 例4：已知向量，，与的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【详解】由题意得，即， ，， 故，可看出，解得， 故. 变式训练4-1：已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】向量模的坐标表示、坐标计算向量的模 【详解】，得，所以，故. 变式训练4-2：已知向量，，若，则______. 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【详解】若两个非零向量互相垂直，则它们的数量积为0. 因为向量，，， 所以，解得. 将代入得，根据向量加法的坐标运算规则， 得. 根据平面向量模长公式：若向量，则， 代入得：. 类型三 平面向量的夹角 例5：已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，，所以与的夹角为. 故选：C 变式训练5-1：已知单位向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】由垂直的向量表示，结合数量积的运算律可得，进而得到即可． 【详解】， ， 解得，又， 变式训练5-2：已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量，显然，所以. 故选：A 变式训练5-3：已知向量，，且，，则的值为_________． 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、数量积的坐标表示 【详解】因、， 则，即， 整理得 又因，则. 故，解得. 类型四 平面向量垂直关系的应用 例6：已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量垂直求参数、求投影向量 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得. 因为，所以，解得． 变式训练6-1：已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直求得，进而求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 变式训练6-2：已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 类型五 投影向量 例7：如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及余弦定理得，再由投影向量的求法求在上的投影向量. 【详解】由题设，，则，，故， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 变式训练7：已知向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据向量的数量积判断向量垂直即可得解. 【详解】因为，所以． 所以在方向上的投影向量为. 类型六 数学情境 1.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据给定的条件，利用数量积的运算律可得，再利用数量积的定义求解. 【详解】. 2.如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解. 【详解】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 3.（多选）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到，即可求得的取值范围. 【详解】连接、，如图， 由动点关于圆心对称可得，且， 因为点在正六边形的边上运动，且正六边形的边长为， 所以当点位于正六边形各边的中点时，此时取最小值为， 当点位于正六边形的顶点时，此时取最大值为，所以, 所以，因此， 因为、，，，故符合题意的有B、C. 故选：BC 四、素养提升 1.已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标判断向量是否共线、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A选项，因为向量，，可得，故A错误； 对于B选项，因为，所以与不共线，故B错误； 对于C选项，因为，，所以，故C错误； 对于D选项，，故，故D正确. 2.已知向量，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】由平面向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B错误； 对于C，， 所以在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由可得，解得，故D错误． 3.已知向量，均为单位向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量的数量积的运算律将目标向量的模展开，结合向量数量积的定义求出夹角余弦值的范围，继而求出模的范围. 【详解】因， 而， 故. 4.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值. 【详解】由题意知，均为单位向量，故，且， ，得，故， ， 对任意平面向量，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得： ， 当与反向时等号成立，故的最小值为. 5.已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由已知，求出，，由，得，再由，得，即可求得的最大值. 【详解】由已知，，，， 则， 又， 所以， 因为，则， 又，所以， 解得， 所以的最大值为. 6.设的内角，，所对的边分别为，，，，，且当时，函数取得最大值． (1)求； (2)若为的重心，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示 【分析】（1）先根据数量积和射影定理化简，再跟据时取最大值，解即可. （2）先由的值，利用余弦定理得到边的关系，再利用重心的向量性质，将用三角形顶点对应向量表示，展开点积后结合余弦定理和基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）， 由三角形射影定理可得，代入后化简， 已知时取最大值，而正弦函数最大值为1，因此，得； 此时最大值条件满足，又是三角形内角，故. （2）设中点为，由重心性质可知，同时，， 故，结合，， 再由余弦定理，代入得 ， 将其代入， 由基本不等式，代入，得，即，当且仅当时取等号， 因此，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $