微专题四 三角形面积和周长的最值、范围问题导学案-2027届高三数学一轮复习

1 高中数学微专题四 三角形面积和周长的最值、范围问题 一 必备基础知识： 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 5.基本不等式 ① ② 6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。 二 两条主流解法 1. 余弦定理 + 基本不等式 + 三边关系：已知一角及其对边，求出 的上界；再用三角形三边关系写下界。 2.正弦定理全部化为角，三角恒等变换 + 辅助角求值域 三 三角形的周长取值范围或最值易错汇总 1.只用均值不等式算出最大值，漏掉下界，忘记两边之和大于第三边； 2.锐角三角形，只限制一个角，忽略另外两个角必须小于90°； 3.三角函数换元，直接用 作为定义域，区间扩大导致结果错误； 4.区间开闭：锐角三角形，直角状态取不到，用圆括号。 必考题型全归纳： 题型一：正弦定理 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 2．在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 题型二：余弦定理 3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的最大值． 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 题型三：三角形面积公式 5．在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 6．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分． (1)求角A； (2)求面积的最小值． 题型四：三角形内角和定理 7．在中，角、、所对的边分别为、、，. (1)求； (2)若，求面积的最小值. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=. (1)当 时，求的面积; (2)求周长的取值范围. 题型五：基本不等式（均值不等式） 9．已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 10．的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 题型六：正弦定理角化边，三角函数求值域 11．已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，点、在边上，，求面积的最小值. 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求△ABC面积的最大值． 题型七：射影定理 13．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 题型八：三角形几何边界分析（几何法） 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 巩固提升： 1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 3．已知内角所对的边长分别为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求∠C. (2)若，求面积的最小值. 5．在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 6．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 7．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 8．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)点D在边上，且，，求面积的最大值． 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求三角形ABC面积的最大值． 10．在中，. (1)求； (2)若，求周长的最小值. 11．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角A的大小． (2)若，求c的取值范围． 12．已知平面四边形中，，若，的面积为． (1)求的长； (2)求四边形周长的最大值． 13．在锐角三角形中，角，，的对边分别是，，，满足． (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围． 14．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求BC边上的高AD的最大值． 15．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 16．在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围． 17．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求B； (2)若的面积等于，求的周长的最小值． 19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 20．已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值. 21．已知的内角，，的对边分别为，，，若. (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的最大值. 22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知． (1)求B； (2)若为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围． 23．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，求出的值； (2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围． 24．在中,为的角平分线,且. (1)若,,求的面积; (2)若,求边的取值范围. 25．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $1 高中数学微专题四 三角形面积和周长的最值、范围问题 一 必备基础知识： 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 5.基本不等式 ① ② 6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。 二 两条主流解法 1. 余弦定理 + 基本不等式 + 三边关系：已知一角及其对边，求出 的上界；再用三角形三边关系写下界。 2.正弦定理全部化为角，三角恒等变换 + 辅助角求值域 三 三角形的周长取值范围或最值易错汇总 1.只用均值不等式算出最大值，漏掉下界，忘记两边之和大于第三边； 2.锐角三角形，只限制一个角，忽略另外两个角必须小于90°； 3.三角函数换元，直接用 作为定义域，区间扩大导致结果错误； 4.区间开闭：锐角三角形，直角状态取不到，用圆括号。 必考题型全归纳： 题型一：正弦定理 公式 边化角： 角化边： 易错点： 正弦定理只能做比例替换，不能直接把 换成 ，要带上 ； 由 ，不要直接得 ，还存在 的情况； 锐角三角形条件下，角化边后要同步限制三个角全部小于 ，不能只限制一个角。 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得； （2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果. 【解】（1）由正弦定理可得：， ，，. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式 由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]：正弦化角（通性通法） 设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． [方法三]：余弦与三角换元结合 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，所以周长的最大值为． 2．在中，角，，的对边分别是，，，满足. (1)求角； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理边角化即可求解， （2）由面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由可得：， 由余弦定理知，，又，因此.- （2）∵ ，即 ， ∴ ≥ ∴ab≥，当且仅当b=2a，即a=，b=取等号 ∴=≥∴△ABC面积的最小值为 题型二：余弦定理 适用场景： 1.已知一角及其对边，结合基本不等式求 最值，求面积、周长最值 2.边角混合等式，实现角化边，求出某个内角： 易错点： 余弦定理符号易错：，钝角的余弦为负数，等式反而变成加号； 求范围时，只用不等式求出上界，忽略三角形三边关系，漏掉下界（固定一条边的三角形，周长有下限）； 锐角三角形：不仅 ，要保证三个角余弦全部大于0，不能只看一个角。 3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的最大值． 【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得最大值； 方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值. 解：方法一：由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， （当且仅当时取等号），的最大值为； 方法二：由正弦定理得：， ； ，，，， ，的最大值为. 4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系得，根据余弦定理求的余弦值，进而确定其大小； （2）由已知和余弦定理得，再由求面积最大值，注意取值条件. 【解】（1）由已知， 即，由正弦边角关系得， 所以，又，所以. （2）由余弦定理，得，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故的面积的最大值为. 题型三：三角形面积公式 1. 2.（ 内切圆半径，S9(2)） 适用场景 1.求出两边乘积 或一角，直接算面积最值：典例1；S1—S16全部面积题；L5 2.内切圆半径条件求面积最小：S9(2) 易错点 1.角度必须是两条边的夹角，不要随便套角； 2. 在 都是正的，但 ， 最大值为1， 取到； 3.内切圆公式容易记混，是半周长乘 ，不是周长直接乘 。 5．在中，角所对的边分别为. (1)若外接圆的半径为，求面积的最大值； (2)若内切圆的半径为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得角，用面积公式表示出面积，用余弦定理找到、的关系式，然后用基本不等式即可求解； （2）求得角后，由内切圆的半径为，可得边长的关系式，然后用基本不等式化和为积，进而解不等式即可求解. 【解】（1）由得，， 所以，又，所以， 所以，因为，所以； 由外接圆的半径为，则得， 由余弦定理得，，即， 所以，解得 所以，故面积的最大值为. （2）如图，圆是的内切圆，切点分别是、、，   由，内切圆的半径为，所以， 则，， 所以，即得， 而，所以， 所以，解得舍去）， 所以，故面积的最小值为. 6．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，D为边上一点，平分． (1)求角A； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用题给条件和正弦定理余弦定理即可求得角A； （2）利用题给条件求得，再利用均值定理求得最小值，进而求得面积的最小值． 【详解】（1）由，可得， 整理得，则， 又，则. （2）过点D作于E，作于F， 又，则，则， 则，又（当且仅当时等号成立）， 则，则，则（当且仅当时等号成立）， 则面积的最小值为． 题型四：三角形内角和定理 诱导公式： 易错点 1.锐角三角形： 2.换元之后三角函数定义域写错，直接写 ，没有结合题干限制（锐角、已知角）压缩区间。 7．在中，角、、所对的边分别为、、，. (1)求； (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出，即可求得的值； （2）分析可知、均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值. （1）解：， . 由正弦定理得. .因为，则， ，， 则， 所以，，即， 所以，， ，即. （2）解：由（1）得. 若，则、均为钝角，则，矛盾， 所以，，，此时、均为锐角，合乎题意， ， 当且仅当时，等号成立，且为钝角. ，则，且为锐角， 由，解得，即， 当且仅当时，等号成立， ，.因此，面积的最小值为. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=. (1)当 时，求的面积; (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论可求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得出结论； （2）由余弦定理及已知条件可得，利用基本不等式可得，解得，从而可求得周长的最大值. 【解】（1）由，得 ， 即，即， 当 时，，得; 当时，，由正弦定理得， 由余弦定理及已知条件可得， 联立. 解得， 故三角形的面积为. （2）法一：由余弦定理可得:， 由得，当且仅当a=b取等号. 又，即.即周长的取值范围是. 法二:， 中，由正弦定理有， .即周长的取值范围是. 题型五：基本不等式（均值不等式） 等号成立条件： 模式：已知一角（常已知对边），余弦定理出现 ，用 求 范围，进而求面积、周长。 9．已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、弦化切以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可求得的最大值. 【详解】（1）解：因为， 所以， ，且， 由正弦定理可得， 即， 因为，则，则，又因为，故. （2）解：由余弦定理，可得. 当且仅当时取得等号，所以. 所以，面积，所以，面积的最大值为． 10．的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）切化弦，利用正弦定理将已知等式统一用角表示，再利用两角和与差的正、余弦公式整理可得角. （2）把的面积表示为的形式，代入已知量利用正弦定理将面积统一用角、表示，再利用角、的关系消元转化为求一元函数的值域. （1）解：根据题意， 由正弦定理得， ， ，故，. （2）因为是锐角三角形，由（1）知得到， 故，解得. 又由正弦定理得： 又， 故.故的取值范围是 题型六：正弦定理角化边，三角函数求值域 一 思路流程 1.，周长 全部换成角； 2. 消元，只剩一个自变量； 3.根据三角形条件（锐角、已知角）写出角的取值范围； 4.辅助角公式化成 ； 5.根据角的区间求三角函数值域。 二 易错点 1.辅助角公式化简出错； 2.角的范围是本类题型最高频丢分点！ 普通三角形： 锐角三角形：要同时满足三个角小于90°，会压缩区间； 3.求 值域时，要看 完整区间，不要直接写 ，很多时候取不到端点 ； 4.端点能不能取到：对应三角形是否存在。 11．已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，点、在边上，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用余弦定理将用边表示后，再用余弦定理即可求得角； （2），用面积公式将的面积表示为角的函数进行求解. 【详解】（1）因为，由余弦定理，得， 化简整理得：，由余弦定理，得， 因为，所以，即角的大小为. （2）如图： 设， 在中，由正弦定理，得， 由（1）和可知，，， 所以，在中，同理可得， 因为，所以 ， 因为，所以， 所以当，即时面积取得最小值为. 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可得解； 方法二：利用余弦定理化角为边，即可得解； （2）利用余弦定理结合已知及基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）方法一：由， 根据正弦定理边化角得：， 即，所以， 因为，所以，又，所以，又，所以； 方法二：由， 根据余弦定理：得， 即，因为，所以， 所以，又，得； （2）由（1）及余弦定理知，所以， 因为， 所以，化简得， 因为，，所以，， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的面积，所以面积的最大值为 题型七：射影定理 易错点：只做边角化简工具，不能替代正弦、余弦定理，不要死记公式，记不住就直接用余弦定理推导。 13．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可； （2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得. 【详解】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得．可得 所以. （2）在中，由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得，故． 题型八：三角形几何边界分析（几何法） 适用：锐角三角形固定一边，顶点在圆弧上运动，找临界直角位置得到边界； 易错点：临界是直角，题目是锐角三角形，端点（直角）不能取，写成开区间！ 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I）[方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定理，∴， 即， 即，即， 即， ∵为锐角三角形，∴，∴，所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得，即. 结合，得.由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，.即的取值范围是. 巩固提升： 1.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围 【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据可求得的最大值，结合三角形三边关系可求得结果； 方法二：利用正弦定理角化边，可将化为，结合的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果. 解：方法一：由余弦定理得：， 又（当且仅当时取等号），， 解得：（当且仅当时取等号）， 又，，周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理得：， ， ，，，， 即周长的取值范围为. 2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出； （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以，而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 3．已知内角所对的边长分别为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 所以，又，则. （2）法一：为锐角三角形，，则， 所以，可得， 又，则，故 由，即而， 所以，故面积的取值范围为. 法二：由，画出如图所示三角形， 为锐角三角形，点落在线段（端点除外）上， 当时，，当时，， . 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求∠C. (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合正余弦定理分析运算； （2）根据题意利用正弦定理可得，结合基本不等式解得，进而可得结果. 【详解】（1）因为， 即， 整理得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，且，可得 （2）因为，由正弦定理可得， 整理得，当且仅当时，等号成立，解得， 则面积，所以面积的最小值为. 5．在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系将切化弦得到，即可得解； （2）利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由对数的运算性质及诱导公式得到，即可求出的取值范围，在结合三角形面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以． 在中，，所以，则．因为，所以． （2）由及正弦定理得，所以． 由余弦定理得， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为，所以，则， 所以，因为的面积为， 所以面积的取值范围是． 6．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案； （2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围． 【详解】（1）因为，所以． 由余弦定理得．因为，所以． （2）由及正弦定理，得，所以， 由余弦定理得，，所以 当且仅当时，等号成立，因为， 所以，则，所以， 因为的面积为，所以面积的取值范围是． 7．在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可； （2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）解：因为 所以 整理可得， 所以，由正弦定理可得：. 由余弦定理知，，因为，所以 （2）解：由（1）知，，所以，又是锐角三角形， 所以，且，解得， 因为，由正弦定理知：，，所以 所以 因为，所以，所以 所以，面积的取值范围为. 8．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)点D在边上，且，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求得A即可； （2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【解】（1）∵， ∴，即， ∴，∴． （2）根据题意可得， 所以平方可得． 又，所以，当且仅当，时，等号成立， 所以，即面积的最大值为． 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求三角形ABC面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边即可得解； （2）先利用余弦定理求出，再根据平方关系求出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即，所以，所以； （2），故， 则， 则， 当时，， 所以三角形ABC面积的最大值为． 10．在中，. (1)求； (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）利用正弦定理边角互化即可求解； （2）利用余弦定理结合均值不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 又因为，，所以，即有， 又因为，所以. （2）因为，，所以由余弦定理可得， 当时，等号成立，所以，故周长的最小值9. 11．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角A的大小． (2)若，求c的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，结合余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理结合两角和的正弦公式，即可由得，即可求解. 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得， 即．整理得． 由余弦定理，得．又因为，所以． （2）由正弦定理，得． 又，，所以． 因为为锐角三角形，所以 解得． 所以，则，所以，即c的取值范围为 12．已知平面四边形中，，若，的面积为． (1)求的长； (2)求四边形周长的最大值． 【答案】(1) (2)周长的最大值为 【分析】（1）由的面积求得，再由余弦定理求的长； （2）与已知，由余弦定理求的最大值，即可得四边形周长的最大值． 【详解】（1）在中，由题意有，解得， 又由余弦定理得， 所以 ． （2），，设， 四边形周长设为，则，由题可知，， 在中，由余弦定理得( ， 则 所以，即 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ，即四边形周长的最大值为 13．在锐角三角形中，角，，的对边分别是，，，满足． (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再根据三角形内角和定理结合三角函数即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，所以，又因，所以； （2）因为的外接圆半径为，所以， 所以， 则， 由三角形为锐角三角形，，得，则，所以， 所以周长的取值范围为. 14．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求BC边上的高AD的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解； （2）利用余弦定理和基本不等式求出，再求出，即得解. 【详解】（1）根据正弦定理可得， 又，∴．∵,∴． （2），∴， 当且仅当时取等号.∵，∴， ∴，∴，∴AD的最大值为. 15．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角形求出角的范围及正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及余弦定理，得， 由锐角，知，所以． （2）由（1）知，得，故， 由正弦定理，得， 由为锐角三角形得解得，∴， ∴．故的取值范围为. 16．在中，内角A、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)点为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变换化简即可； （2）利用正弦定理将线段比值转化为关于C的三角函数值计算范围即可. 【详解】（1）由，结合正弦定理可得： 因为，所以即，所以，而，所以； （2）   由知:，所以，即     在中，有，， 由正弦定理可得：    所以 由可得，所以. 17．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用正弦定理将边化角，转化为角的三角函数，再由的取值范围，求出的范围. 【详解】（1）由，即， 得，由正弦定理可得， 所以， 所以，因为，所以，所以，又，所以. （2）由正弦定理， 所以 . 因为为锐角三角形，且，所以，解得， 所以，， 所以，，所以的取值范围为. 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． (1)求B； (2)若的面积等于，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解； （2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）解：因为， 所以，因为，所以， 所以，∵，所以，所以，∴； （2）解：依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，所以的周长最小值为． 19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）结合正弦定理以及三角恒等变换的知识将三角形的周长表示为三角函数的形式，通过三角函数值域的求法求得三角形的周长的取值范围. 【详解】（1）由，得， 由正弦定理得， 所以，又因为，所以， 由于，所以角； （2）由（1）知，所以，则， 由正弦定理：得， 所以，． 所以 ．因为，所以． 所以．所以， 所以周长的取值范围为． 20．已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值. 【答案】(1)7 (2)2＋. 【分析】（1）由等差数列的性质把用表示，然后由余弦定理可求得； （2）设B＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把用表示，从而把三角形周长表示为的函数，由三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2， ∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，∵C＝，由余弦定理得 cos ＝＝＝－， 整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7. （2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π， 解得R＝1，由正弦定理可得 ＝＝＝2R＝2，∴＝＝＝2， 可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝， ∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋ ＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋ ＝sin θ＋cos θ＋＝2sin ＋，又θ∈，∴<θ＋， ∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋. 21．已知的内角，，的对边分别为，，，若. (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）法一：设，，由正弦定理得到，利用积化和差公式得到，求出答案； 法二：设，，由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，求出答案； （2）由面积公式得到，由正弦定理结合三角恒等变换得到，结合的范围，求出最值. 【详解】（1）法一：设，， 在中，由正弦定理得，，， 代入已知化简得， 又在中有：，即， ∵， 即，所以，所以. 法二：设，， 在中，由正弦定理得，，， 代入已知化简得， 又在中有：，即， ∵ ， 即，所以，所以. （2）在中有，， 即， 由正弦定理得：，故，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立，周长取得最大值12. 22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知． (1)求B； (2)若为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理分析运算即可； （2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，且，故. （2）由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为，则， 且为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 所以，故周长的取值范围为. 23．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，求出的值； (2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围. 【详解】（1）因为由正弦定理可得， 即，因为，所以， 所以，因为，所以， 由，所以， 所以，所以， 即，所以，所以， 因为，所以， 所以 . （2）因为为锐角三角形，且，所以，所以，解得， 又，由正弦定理， 所以， 因为，所以，所以，所以， 即边长的取值范围为. 24．在中,为的角平分线,且. (1)若,,求的面积; (2)若,求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可; （2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果. 【详解】（1）因为,所以,得:,解得,所以. （2）设,,由得 ,即, 所以,又在中,所以,得, 因为且,得,则,所以, 即边的取值范围为. 25．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【详解】（1），由正弦定理得：， 即，由余弦定理得：，因为， 所以； （2）锐角中，，，由正弦定理得：， 故， 则 ，因为锐角中，， 则，，解得：，故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $