重难专题01 平面向量中的最值与范围问题（九种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题01 平面向量中的最值与范围问题 题型脑图•重难考法归纳 题型1代数法求数量积的最值（范围） 题型6坐标法求模的最值（范围） 题型2几何法求数量积的最值（范围） 题型7求夹角的最值（范围） 题型3极化恒等式求数量积的最值（范围） 平面向量中的最值与范围问题 题型8求含一个参数的式子的最值（范围） 题型4利用模的性质求模的最值（范围） 题型9求含两个参数的式子的最值（范围） 题型5敖形结合求模的最值（范围） 考法深研•解题技能通关 题型01代数法求数量积的最值（范围） 点方法技巧 代数法求平面向量数量积的最值（范围）主要是把数量积转化为某个变量的函数，再求函数的值域。就 是通过基底法活坐标法，把目标数量积表示成关于某个参数（如角度、线段比例、坐标）的表达式，然 后利用二次函数、基本不等式或三角函数的有界性来求最值。 1. (2026辽宁抚顺一模)已知菱形BCD的边长为2，∠B1D-骨，点p在线段BC上，点Q在线段DC 上，BP=0c,则DPB, 的最大值为() 3 A.-2 B.2 c.2 D.-2 2.(25-26高三下天津红桥开学考试)在等腰梯形ABCD中，已知AB/1DC,AB=2,BC=1, ∠ABC-60动点E和F分别在线段BC和DC上，且丽-BC,DF-g2DC,则征.亦的最小值为 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29 19 29 19 A.9 B.9 c.18 D.18 A.V2 B.2 c.22 D.4 4.(25-26高三上广东深圳阶段检测)在平行四边形ABCD中，已知AB=2,AD=1,∠DAB=60°，P是 BC上一点（包含端点），则 P.BC 的取值范围是() c.,2] 5.(25-26高三上·湖南娄底期末)在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=3,AD=2.点G在边DC上 满足DG-DC,点g为线段B上的动点（不含端点），则G死4C的取值范国为(） A.（11,) B.（-111) c.(6W5,-35 D.(35,65) ABCD,AB=2,AD=6,AB.AD=6 6.(25-26高一下·江苏无锡期中)在平行四边形 中， 6,动点P在边8C上. 则PAPD的取值范围是() A.[-6,-2] B.[-2,10] C.[-2,6] D.[-6,10] 7.(25-26高一下吉林期末)在直角三角形ABC中，CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点，且 MN=2MC.NC ,则 取值范围为() A, B.[4,] C.[2,4) o.[4.?] 8.(2525商-下河北期末)在ABC中，AB=AC-2,∠BC=行若点p满足|P风-1，则P5.PC 的最小值为() 2/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3-2V2 B.2-3V5 c.2-3V2 0.3-25 9.(25-26高一下山东聊城期末)“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”. 某同学用“七巧板”拼作了一个如图所示的正方形，若正方形ABCD的边长为4，点E,F,O,M, N分别是线段AB,BC,AC,EF,OC的中点，点P为△EBF内（包括边界）一动点，则 AE+NM.NP 的取值范围为() A.[22,8] B.[4,8] c.[46] D.[22,62 10.(2526高-下山东日照期末)如图。在。MBC中，AC=5,MB=6,A=受，若P0是以A为园 心的单位圆的一条动直径，则 即C的最大值是 11.(2026高三下·贵州竞赛)设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且BC2+2AC=2AB2,点E满 足-2E,则8c而 的最小值是 题型02几何法求数量积的最值（范围） 点 方法技巧 3/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 几何法求平面向量数量积的最值（范围）主要是利用数量积的几何意义--一个整理在另一个向量方向 上的投影长度与另一个向量模长的乘积，把代数运算转化为图形中的距离、切线或最值问题。 12.(25-26高一下·全国课堂例题)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 PA:(PB+PC） 的最小值为() 3 A.-2 B.-2 c.-3 0.1 ABCD △PQR 13 ,(2026高三上全国专题练习)如图，圆O是边长为4的正方形 的内切圆， 是圆O的内 接正三角形，若△PO 绕着圆心0旋转，则400o丽 的最大值是() B P 2+4v2 B.1+2V2 c.22-1 D.4V2-2 14.(25-26高一下北京期末)在△ABC中，AC=2,BC=4,∠C=60°，点P为△ABC所在平面内的一 个动点，且PC=1,则PA·PB的最大值是(). A.5+2V7 B,3+2V7 c.7+25 D.3+2V5 15.(25-26高一下·湖北武汉·期末)青花瓷(blue and white porcelain),又称白地青花瓷，常简称青花， 是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德 镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，己知图二中正六边形的边长为1， 圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且关 4/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于圆心O对称，则MA·MB的取值可以是() 图二 √2 5 A.4 B.2 C.2 D.1 16,(（25-26商三上江苏月考)P是边长为2的正六边形ABCDEFE的六条边上的一个动点，则B:P 的 最大值是() A.4 8.4V5 C.6 D.65 17.(26-27高三上北京西城阶段检测)《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的 是《易经》中记载的几何图形一一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块 ABCDEFGH 面积相等的图形代表八卦田.己知正八边形 的边长为25，点P是正八边 ABCDEFGH边 上的一点，则AP·AB的最小值是 F E B 18.(26-27高三上广东深圳开学考试)已知A,B,C是边长为1的正六边形边上相异的三点，则 BA.BC 的最小值为 19.(25-26高二下上海奉贤期末)在平面直角坐标系中，0为坐标原点已知点 A(0,2)B(4,0) 5/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(-4,0),若PCPB=0. ②个=1.则向量O0在向量OP方向上的数量投影的取值范围是 题型03极化恒等式求数量积的最值（范围） 点方法技巧 极化恒等式求平面向量数量积的最值（范围）主要是把共起点的向量数量积转化为“中线平方减半底边 平方”，这样就能把球数量积的最值（范围），变成求线段长度的最值（范围）问题，计算量会小很 多。 a6-北a+-6-] 极化恒等式： 20. (25-26高三上安徽月考)在等腰梯形ABCD中，AB1IDC,AB=2BC=2CD=2,P是线段 CD PA·PB 上的动点，则 的最小值为() 3 A.-22 B. 4 C.- D.0 3 21.(26-27高三上北京朝阳开学考试》如图，△48C是边长为V3的等边三角形，P是以C为圆心、1 为半径的圆上的任意一点，则AP·BP的取值范围为」 22.(25-26高三·全国一轮复习)已知A,B,C是半径为1的O0上的三点，AB为⊙0的直径，P为 ⊙0 PA.PB+PB.PC+PC.PA 内一点（含圆周），则 的取值范围为 题型04利用模的性质求模的最值（范围） 6/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点 方法技巧 利用模的性质求模的最值（范围）主要是抓住模的非负性、平方转化和三角不等式这三条主线，把几何 或代数条件转化为可求最值的形式。思路是：遇到模的最值，先想“平方”或“三角不等式”，再结合 几何图形定等号条件。 带用性城与公式：①试=：@元全￥方公式，台+6j=+2a,6+万。 ③三角不等式： a-s±≤+6，@as时l 23. (2026安徽模拟预测)已知平面向量a,i,c均为单位向量，且ac=0,则6+26+d的最小值为 () A.2-V2 8.2+V2 c.2-1 D.2+1 24.(2026山东聊坡一模)在△1BC中，4B=4C=2.孤，C=2,若动点P满足 AP=mAB+(1-m)AC ,则AP的最小值为() A.1 8.2 c v3 D.2 25.(267高三上山东日照开学考试)在。C中，∠84C-否，而-号西，p为线段CD上一点，且 满足2P=2m4C+B.若△ABC的面积为5，则M的最小值为() √6 A.2 B.√2 5 C.2 D.2 26,(2526高一下浙江开学考试)已知a,5满是+-1，且a=1,-),则5在ā上的投影向量的模 的最小值为一 7/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27. 2526高一上湖南衡阳期末)ā，6均为单位向量，且ā16，向景满足F-i-6-,则的取值 范围是 28,(527%三上天津百青份段检)如图，在。Bc中，而-号孤，P为CD上一点.D0P-0C 记AB=a,AC=b,用a和b表示AP=」 ,若∠BAC=60°，△ABC的面积为45，则的最 小值为 P B D 29,(2627高三上：天津滨海新区阶段检测)已知向量a石，6满是1a十3,6十32，位，)=牙 4 (a-c)(6-c)=0 c ,则的最大值为. 30。（2627商三上广东广州阶段检测)己知向量m满足网=问=2，则m+可+m-可 的最小值是 31.(2026高三·全国专题练习)已知点G是△ABC的重心，若∠A=60°，B.4C=2,则4G 的最小值 是 32. (25-26高三全国一轮复习)已知2a+-2,a-6=-4,则同的取值范围是 33. (2026高三下新竞赛)已知m,1为非零向量，且同-+=1，则3丽+小+月的最大值为 题型05数形结合求模的最值（范围） 点 方法技巧 数形结合求模的最值（范围）主要是把整理的模转化为几何图形中的距离问题。 8/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①遇到模的和差结构，先想“共起点减法则连终点，加法则连对称点”，画图比硬算快得多： ②动点轨迹为圆时，定点到圆心的距离加减半径是万能公式；轨迹是直线时，最值就是点到直线的距 离 ③若图形较复杂，建系设点、写出轨迹方程再结合几何意义，也是稳妥的通用做法。 34,(26-27高三上·北京海淀阶段检测)在平面直角坐标系x0中， 4(2cos0,2sin0)B(-4sin0,4cos0) 设C5,5,则2C+丽的取值范围是() A.[5,55] B.[25,10W51 c.[25,45 D.45,8V5 35.(2526高三下安徽开学考试)已知向量°是单位向量，向量“在°上的投影向量为2，向量5在°上 b 的投影向量为3记，则日-列 的最小值为 36.(25-26高一下·湖北裹阳·月考)已知点A是半径为4的圆O内一点，0A=2,B,C为圆0上任意两 点，当AC·BC取得最大值时， AB= 37,(2526商一下浙江温州期未)已知草位向量日，6，c满足a+6+c=0,且1=a+B-06,1eR」 则对于e{-1,1(=1,23,4).a+2,6+2,c+,d 的最小值为 题型06坐标法求模的最值（范围） 方法技巧 坐标法求模的最值（范围）主要是建系、设坐标、把模长转成函数、再用二次函数、三角函数或几何意 义求范围。 38.(2027高三全国专题练习)已知向量a,6满足6-=2，ā=(2,0)，则5的最大值为《) b A.0 B.2 C.4 D.6 39。(2526高三上江苏徐州期末)已知平面向量a6,c满足：a6=0=6-d=6-d店，则 9/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b 的最大值为() A.5 B.6 C.7 D.8 40,(2526高三上江苏徐州期末)已知平面向量a6,c清足：a-6=0,--d-6-d5,则 a-可的最大值为（） A.5 B.6 C.7 D.8 41,(2627商三上浙江开学考试)设向显a6,G清足问--1，a.6=2,且石-6与石-e的夹角为5， 则-6+d的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 42,(25-26高一下河南期末)已知平面向金0,6，G满足同=问-且a1c,向量5满足 (a-)(-6)-0,则l同的最大值是」 43.(26,27高三上黑龙江大庆阶段检测已知向量a,6,G满足2问-6=2-2，且a,6=1,则 a+2d+6-d的取值范国为 题型07求夹角的最值（范围） 点方法枝巧 求向量的夹角的最值（范围）往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为函数的最值 (范围)，要注意变量间的关系。 3√2 4.(26-27高二上黑龙江开学考试)已知两个不共线向量a,万满足同--x+,x32, 则b-ā与b的夹角的取值范围为() 10/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 「2π3π 「3π5π A.3’4 B.4’6 ππ c.4'3 45.(25:26高一下-全国课堂例思)己知同-2，同≠0，且关于x的方程+问x+a6=0有实根，则 8与5的夹角°的取值范用是() π2π 。 A百5的家商同为原 8.存在a,6,使得51(6-2a c isllsi 3 4 D.cos(a,a+b)的最小值为4 47.(25-26高三上河北廊坊阶段检测)已知点G是△ABC的重心，若BG1CG,则siA的最大值为 48.(25-26高一下·安徽安庆阶段检测)己知0为△ABC的外心，且满足3A0.AB=BO.BC+C可.CA,则 sinC的最大值为一： 题型08求含一个参数的式子的最值（范围） 点方法技巧 若题目含有一个参数，则利用已知条件得到关于此参数的不等式，解不等式得到参数的取值范围： 49,(26-27高=上江苏泰州开学考试)已知a,6是平面内的一组基底向量.C与a,6都不共线且 ab c=a+2b,则不能为（） A.-1 B.0 C.1 D.e 11/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 50.(25-26高三上：上海徐汇·期中)在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1,P为AB边上的点且 =A,若C亚.≥PAPB 则入的取值范围是《） A5别 2-V2√2 B 2’2 2-V22+V2 D.22 51.(2526高-上江苏盐城期中)设向量a,万的夹角为0，若-22，且存在0使得 12a+B@tAbl 成立，则实数1的取值范围为 A.[-7,-1] B.[5,7刀 c.[-7,-1U[3,5] D.[-7,-[5,7] 52.(25-26高一-下上海期中)已知向量=L1),6=(21),2eR.若4+6与2a+6的夹角为统角， 则九的取值范围是 53. 2026山西折州模拟预测)已知向量a=6-1),石=，2)，若5(6-as”,则：的取值范围是 54.(26-27高二上山东日照开学考试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,向量 i=(b,c),且mL元，点D为边AB上一点. (1)求角C的大小： (2)若CD是∠ACB的角平分线，C=7,△ABC的周长为15，求CD: (3)若AB=3AD, =而， 求实数t的取值范围. 题型09含两个参数的式子的最值（范围） 12/14 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点 方法技巧 若题目含有两个参数，则根据已知条件得到两个参数的等量关系，然后利用基本不等式求参数的取 值范围。 55.(26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺 术图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花图2中正六边形ABCDEF的边长为2，令AB=a, F=6,圆0的圆心为该正六边形的中心，圆0的半径为1，G是圆O内含边界的动点， AG=xa+yb 则x+y的最大值是() A C D 图1 图2 A.2 B.5 C.4 D.3 56.(25-26高二下·广东广州期末)已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 1 y OA=2xOB+yOC,则x+1y+2的最小值是() 13 B. 17 A.28 D.28 57.(25-26高一下·贵州遵义阶段检测)如图，在△ABC中，点D,E是线段BC上两个动点，且 1.4 AD+AE=xAB+yAC,则xy的最小值为() D 13/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 9 A.2 B.2 C.2 D.9 58.(2026山东济南模拟预测)在△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4,P为△ABC内一点（含边 界)，且AP=l.若P=元B+uAC,则+ “的最大值为() 3 1 √5 5 A.4 B.2 C.4 D.2 59.(26-27高三上贵州毕节开学考试)平面内有共线但不重合的三点B,C，D,对平面内任意点A满 12 足AB=a4C+b4D(其中a>0,b>0),则。+6的最小值为 60.(26-27高二上黑龙江佳木斯开学考试)已知点G为△ABC的重心，D,E分别为AB，AC边上一点， 1.4 D,G,E三点共线，F为BC的中点，若AF=元AD+AAE,则元“的最小值为一 61,(2026高三企国专题练习)已知0是△18C的外心，∠B1C=120°，若40=5+)4C,则+》的 最小值是 62.(25-26高三上广东深圳阶段检测)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为 △ABC 的外心， AO=AAB+uAC ,已知c-36+3 C=0,则osA= 九+4 的最大值为 63.(2026高三下江苏苏州竞赛)已知点M,N分别在△ABC的边AB,AC所在直线上， =孤孤=y4C·D为线段C的中点：G为MN与4D的交点，若4G-D,则宁+手的最小 14 值为一 64.(2026天津高考直股)已知园=五万=1，月>1，记-石+6，当a+6-=0时，2+ ,当a+6-d1时，+严的取值范围为 14/14 重难专题01 平面向量中的最值与范围问题 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 代数法求数量积的最值（范围） 代数法求平面向量数量积的最值（范围）主要是把数量积转化为某个变量的函数，再求函数的值域。就是通过基底法活坐标法，把目标数量积表示成关于某个参数（如角度、线段比例、坐标）的表达式，然后利用二次函数、基本不等式或三角函数的有界性来求最值。 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 2.（25-26高三下·天津红桥·开学考试）在等腰梯形中，已知，，，.动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等腰梯形中，已知，且， 所以，，， 因为，，由题意知， 则，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 3．（26-27高三上·河北·开学考试）已知非零向量，满足，，．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 又，，， 代入得：. 由基本不等式，： 当且仅当即时取等号， 故的最小值为. 4．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么     数量积， 的取值范围是. 5．（25-26高三上·湖南娄底·期末）在平行四边形中，，，.点G在边上满足，点E为线段上的动点（不含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，设， 所以，， 所以，因为，所以， 所以的取值范围为. 故选：A    6．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，动点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为基底表示出，根据向量数量积的运算律可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数值域求法可求得结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以 又，当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 所以. 7．（25-26高一下·吉林·期末）在直角三角形中，，M，N是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则， 直线方程为， 设，，， 由对称性不妨设， ， 所以，，由得，，所以， ， 所以时，取得最小值4，或时，取得最大值6， 所以的取值范围是.    8．（25-26高一下·河北·期末）在中，，，若点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，为等边三角形. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，设， 则，， 所以 . 因为，所以的最小值为. 9．（25-26高一下·山东聊城·期末）“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”．某同学用“七巧板”拼作了一个如图所示的正方形，若正方形的边长为，点，，，，分别是线段，，，，的中点，点为内（包括边界）一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，根据向量加法和数量积坐标运算求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正方形的边长为4， 点，，，，分别是线段，，，，的中点， 可得， 设， 则， 则， 所以. 10．（25-26高一下·山东日照·期末）如图，在中，，，，若是以为圆心的单位圆的一条动直径，则的最大值是__________ 【答案】2 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，，. 因为为圆心为的单位圆的一条动直径， 设，则， 所以，， 所以 ， 其中. 因为，所以， 所以当时，取得最大值， 最大值为. 11．（2026高三下·贵州·竞赛）设点是三边的垂直平分线的交点，且，点满足，则的最小值是_____________________． 【答案】 【分析】利用外心的性质构造垂线化简目标式，利用基底分解向量，展开数量积，代入已知条件，化简消元，进而利用二次函数性质求最小值． 【详解】由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故， 因为， 所以， ，且， 故， 已知，可得， 则， 将代入目标式： ， 当时，为最小值． 题型02 几何法求数量积的最值（范围） 几何法求平面向量数量积的最值（范围）主要是利用数量积的几何意义---一个整理在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量模长的乘积，把代数运算转化为图形中的距离、切线或最值问题。 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 13．（2026高三上·全国·专题练习）如图，圆O是边长为4的正方形的内切圆，是圆O的内接正三角形，若绕着圆心O旋转，则的最大值是（    ） A． B．     C． D． 【答案】D 【分析】由题意，利用两个向量的数量积的定义求得，再求得，又由即可求解. 【详解】由题意，可得， 又由，所以， 又因为, 所以， 当时，取得最大值. 所以的最大值为. 14．（25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 15．（25-26高一下·湖北武汉·期末）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 16．（25-26高三上·江苏·月考）P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 17．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 18．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知，，是边长为1的正六边形边上相异的三点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】一方面，而不重合，所以；另一方面，设中点为，那么，设在六边形的端点上，同理不妨设在六边形的端点上．分四种情况即可得，剩下的只需证明何时取等并且可以取遍中的每一个数． 【详解】首先，，这里是最长的那条对角线的长度， 等号取到当且仅当同向，且，而这意味着重合，矛盾. 所以. 另一方面，我们先舍弃互不重合的条件，然后证明； 设中点为，那么， 然后，设A所在的边的端点为，则， （这是因为，记，其中为原点，确定的， 那么是一次函数，从而t属于时，有） 所以我们可以不妨设A在六边形的端点上. 同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上. 此时分以下四种情况： (1)重合，此时， (2) 为相邻顶点，此时， (3) 相隔一个顶点，此时， (4) 为对径点，此时 综上，， 所以，即使去掉互不重合的条件，我们仍有， 这就说明，互不重合时，有， 然后，取等条件如图所示：    具体说明如下：构造一个到六边形的函数（即从数映射到点）， 使得，并且只沿着最近的轨道， 这样在的情况下，互不重合 同时设，那么，而连续， 所以在的情况下，必定取遍， 这就意味着，的取值范围就是， 因此的最小值为. 19．（25-26高二下·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出点、的轨迹方程，由向量的数量投影可得即求的范围，根据，的范围，结合图象求解即可. 【详解】设，则 又因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 又因为， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 设，则向量在向量方向上的数量投影为：， 因为点在圆上，所以， 又因为，所以， 所以当取最大、取最小值时，此时与反向， 则取最小值，为； 当、同时取最大值时，此时与同向， 取最大值，为； 所以， 即向量在向量方向上的数量投影的取值范围是. 题型03 极化恒等式求数量积的最值（范围） 极化恒等式求平面向量数量积的最值（范围）主要是把共起点的向量数量积转化为“中线平方减半底边平方”，这样就能把球数量积的最值（范围），变成求线段长度的最值（范围）问题，计算量会小很多。 极化恒等式：。 20．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】【解法一：坐标法+二次函数】以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 【解法二：极化恒等式】设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 21．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）如图，△是边长为的等边三角形，P是以C为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】取的中点D，连接，利用向量数量积的运算律有，进而可得，结合几何图形即可求的范围. 【详解】如图，取的中点D，连接. ∵，，则， ∴， ∴，， ∴的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律得，进而有，即可求数量积的范围. 22．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，是半径为1的上的三点，为的直径，为内一点（含圆周），则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】结合向量的线性运算进行化简，得到，建立直角坐标系，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式及三角函数性质求解即可. 【详解】 ． 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，，则， 所以，． 故取值范围为. 题型04 利用模的性质求模的最值（范围） 利用模的性质求模的最值（范围）主要是抓住模的非负性、平方转化和三角不等式这三条主线，把几何或代数条件转化为可求最值的形式。思路是：遇到模的最值，先想“平方”或“三角不等式”，再结合几何图形定等号条件。 常用性质与公式：①；②完全平方公式：； ③三角不等式：；④。 23．（2026·安徽·模拟预测）已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算的模，再利用向量模的三角不等式求解的最小值. 【详解】由题意知，均为单位向量，故，且， ，得，故， ， 对任意平面向量，有，等号成立当且仅当与反向， 令，，，代入得： ， 当与反向时等号成立，故的最小值为. 24．（2026·山东聊城·一模）在中，，，若动点满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用数量积运算性质化简，借助二次函数性质求得最值. 【详解】由， 可得 ， 于是，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 25．（26-27高三上·山东日照·开学考试）在中，，，为线段上一点，且满足．若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设出，根据平面向量共线定理，向量运算法则以及平面向量基本定理求出，从而确定，求得．从中可发现需求得，，再借助的面积求出与的关系，借助基本不等式即可求解． 【详解】因为为线段上一点，设， 所以 ． 又因为，即， 所以，解得，所以， 所以． 由，可得， 故． 因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是． 26．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知，满足，且，则在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】 【详解】解法1：已知，则， 又，满足， 则， 则， 又，即， 即，又， 即， 则在上投影向量为， 所以， 即在上投影向量的模的最小值为. 解法2：由， 又，故， 在上投影向量的模为， 由，得， 故投影向量的模为， 当时，在上的投影向量的模最小，最小值为， 所以在上投影向量的模的最小值为. 27．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意，均为单位向量，且， 则， 由，则，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 28．（26-27高三上·天津西青·阶段检测）如图，在中，，P为上一点，．记，，用和表示__________；若，的面积为，则的最小值为__________． 【答案】 / 【分析】利用向量加法的三角形法则及共线向量定理将用基底 表示，结合三角形面积公式得到的值，最后利用数量积运算及基本不等式求解模的最小值. 【详解】由题意可知，， 因为，所以， 因为， 所以， 将代入上式，得：； 由的面积为，， 得，解得 ， 则， 所以 ， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即即时取等号， 所以， 故，即的最小值为. 29．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】由已知，求出，，由，得，再由，得，即可求得的最大值. 【详解】由已知，，，， 则， 又， 所以， 因为，则， 又，所以， 解得， 所以的最大值为. 30．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知向量满足，则的最小值是______. 【答案】4 【分析】利用向量模的运算性质得到，再结合换元法并构造函数求解即可. 【详解】设向量的夹角为， 由题意得，， 则， 令，则构造，且. 则，令， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，则，则. 所以. 31．（2026高三·全国·专题练习）已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 32．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】解法1：根据题意，得到，结合向量的数量积和余弦函数的值域，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 解法2：设，得到，求得，令，且，目标式为，结合向量不等式，即可求解. 【详解】解法1：将，平方得，即， 因为，且，可得， 即，即，解得，所以， 所以的取值范围是. 解法2：设，因为，可得， 因为，所以，即， 可得，即， 令，且，目标式为， 因为，可得． 所以的取值范围是. 33．（2026高三下·新疆·竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据题意，设，，则，令，则， 法一：令，则，求导，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值； 法二：利用向量不等式求解． 【详解】设，， 则. 令，原式 法一：令，则， 求导得：，得（舍负） 易知在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，最大值为. 法二：原式 当且仅当时，最大值为. 题型05 数形结合求模的最值（范围） 数形结合求模的最值（范围）主要是把整理的模转化为几何图形中的距离问题。 ①遇到模的和差结构，先想“共起点减法则连终点，加法则连对称点”，画图比硬算快得多； ②动点轨迹为圆时，定点到圆心的距离加减半径是万能公式；轨迹是直线时，最值就是点到直线的距离； ③若图形较复杂，建系设点、写出轨迹方程再结合几何意义，也是稳妥的通用做法。 34．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点为的中点，化简，由点的坐标可以判断点在以为圆心，为半径的圆上.结合其几何意义可以求出的取值范围，然后求出的取值范围. 【详解】设点为的中点，则点的坐标为. ，所以. 令，，则， 点在以为圆心，为半径的圆上. 最小值为,最大值为. 又，，. . 35．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】（数形结合法）令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 36．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知点是半径为4的圆内一点，，，为圆上任意两点，当取得最大值时，______. 【答案】2 【详解】如图， 取中点为，连接，则，且， 设为和的夹角，则 ， 且， 当且仅当时，即与反向时等号成立， 因， ，则当时，有最大值， 此时三点共线. 于是共线且点在点与之间，故. 37．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知单位向量，，满足，且，，则对于，的最小值为_________． 【答案】 【分析】先讨论的模，然后根据平面向量加法的几何意义，结合图形分析可得. 【详解】因为，即，所以， 又，，为单位向量，所以，即， 因为，所以，同理， 当同号时，； 当有一个为时，不妨令，则； 当有两个为时，不妨令，则； 综上，，当且仅当不全部同号时等号成立. 如图，记，， 因为，即， 所以点在直线上， 当为的中点时，，即， 记，则， 因为时，取原取值的相反数，则， 所以只需讨论，由上可知，或， 当时，； 当时，由向量加法几何意义可知，当为定值时，越大越小， 当为定值时，越小越小. 由图可知，当，为的中点时，，且取得最小值， 所以，此时取得最小值. 题型06 坐标法求模的最值（范围） 坐标法求模的最值（范围）主要是建系、设坐标、把模长转成函数、再用二次函数、三角函数或几何意义求范围。 38．（2027高三·全国·专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设，则． 由，得，即， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆． 又，点在点的轨迹圆上， 所以的最大值为． 39．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知平面向量满足：，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据可知垂直，为单位向量，设出向量的坐标，借助坐标及三角函数恒等变换求解. 【详解】因为，所以，为单位向量， 故可设， 则， 两式相加得， 即（其中）， 所以，解得， 所以. 40．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知平面向量满足：，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据可知垂直，为单位向量，设出向量的坐标，借助坐标及三角函数恒等变换求解. 【详解】因为，所以，为单位向量， 故可设， 则， 两式相加得， 即（其中）， 所以，解得， 所以. 41．（26-27高三上·浙江·开学考试）设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 42．（25-26高一下·河南·期末）已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【详解】已知平面向量，，满足且， 设，，， ，代入坐标得： ， 可知点在圆心，半径为的圆上， 则的最大值等于原点到圆心的距离加上圆的半径， 即. 43．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知向量，，满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题目所给条件，设出，，的坐标，将所求取值范围转化为单变量三角函数的最值问题，求导找极值即可. 【详解】因为，所以可设向量， 由、得； 因为，所以可设. ， ， 所以设， ， 令，得或， 当时，， 当时，， 所以的取值范围为. 题型07 求夹角的最值（范围） 求向量的夹角的最值（范围）往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为函数的最值（范围），要注意变量间的关系。 44．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知两个不共线向量，满足，，则与的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，与的夹角为，由已知条件，根据平面向量的数量积的相关公式，将表示成关于的函数，根据不等式的性质，求得的取值范围， 从而求得的取值范围. 【详解】设， 由，得， 所以. 设与的夹角为， 则. 由，得， 所以，所以. 即与的夹角的取值范围为. 45．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为关于的方程有实根， 所以， 因为，所以，，所以， 即与的夹角的取值范围是． 故选：B 46．（多选）（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知平面向量，满足，，是在上的投影向量，则（    ） A．的取值范围为 B．存在，，使得 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】已知，， 两边平方得，，， 又，所以，故A选项正确； 若，则，所以， 可得，而，矛盾，故B选项错误； 是在上的投影向量，， 即，故C选项正确； ， 令，，， 函数随增大单调递增，最小值在处， ，故D选项正确. 47．（25-26高三上·河北廊坊·阶段检测）已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 【答案】/0.6 【分析】根据，利用向量的数量积运算可得，再由均值不等式即可求出的最小值，则得到的最大值. 【详解】如图所示，设的中点分别为，,， ,当且仅当 时，等号成立， 的最小值为，则的最大值为. 故答案为：. 48．（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）已知为的外心，且满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】过作，垂足为，由向量数量积几何意义可得，同理可得，，再利用余弦定理结合基本不等式计算可解. 【详解】过作，垂足为， 而为的外心，则是的中点， 所以； 同理，， 又， 所以， 设，，，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 显然，所以. 题型08 求含一个参数的式子的最值（范围） 若题目含有一个参数，则利用已知条件得到关于此参数的不等式，解不等式得到参数的取值范围； 49．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）已知是平面内的一组基底向量.与都不共线且，则不能为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则，此时与共线，矛盾. 当取时，都无法表示为或的数乘形式，与都不共线，符合条件. 因此不能为0. 50．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 51.（25-26高一上·江苏盐城·期中）设向量 ， 的夹角为θ，若 ，且存在θ使得 成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[－7，-1] B．[5，7] C． D． 【答案】C 【详解】∵ 非零向量 ， 的夹角为 ， 若 ， ∵ 存在θ使得 成立， 整理可得 ，即（其中不能为2） ，则， 移项并化简可得 由解得，由 解得 综上所述，所以λ的取值范围为 ． 故选：C 52．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【分析】先计算出与的坐标，利用两向量夹角为锐角等价于两向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式求解后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得， 又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 53．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为，，故； ； 故等价于， 即，即，解得：； 故的取值范围是． 54．（26-27高二上·山东日照·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为15，求； (3)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理实现边化角，化简得到，从而求出角； （2）根据角平分线建立面积等量关系，结合余弦定理求出的长； （3）根据已知条件，结合正弦定理及两角差的正弦公式，化简可得，再结合正弦函数图象，求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1），即， 由正弦定理可得：，， 即，又， ，即， 在中，，则，又，； （2）由（1）知，则由余弦定理得， 的周长为15，则，，，， 又是的角平分线，，即， 则，； （3）由，则点为上靠近点的一个三等分点， ，，， 又，，则，，， 由正弦定理得， ， 化简整理得，又，，则， ，即. 题型09 含两个参数的式子的最值（范围） 若题目含有两个参数，则根据已知条件得到两个参数的等量关系，然后利用基本不等式求参数的取值范围。 55．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为2，令，，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为1，G是圆O内含边界的动点，，则的最大值是（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先对向量表达式变形，判断出P，B，F三点共线，将目标式子转化为相关向量运算；利用向量投影的几何意义，动点G在半径为1的圆O上运动，分析投影取最值的位置，结合正六边形的几何特征，找到取得最大值的临界位置，进而求出目标表达式的最大值. 【详解】由题意知，，所以， 令， 则，. 因为，所以P，B，F三点共线. 当取到最大值时，,，H，Q分别为垂足，如图所示， 所以点A到线段BF的最短距离为AH， 即恰好取到最小值， 所以. 56．（25-26高二下·广东广州·期末）已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 57．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）如图，在中，点，是线段上两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．9 【答案】C 【分析】设， 在上的系数分别为 和，由 共线得每组系数和为1，故合并后，再利用基本不等式求 的最小值． 【详解】解：设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． 则的最小值为． 58．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，，，为内一点（含边界），且．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，以A为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，则， 设， 过点作轴的垂线，垂足为，则，， ，，即， 则，其中， 当时，有最大值为. 59．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）平面内有共线但不重合的三点，，，对平面内任意点满足（其中），则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先根据三点共线的向量性质得到，再通过“1的代换”结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】因为三点共线且不重合，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 60．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为______. 【答案】6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得， 的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以 ，则. 因为三点共线， ， 所以 ， ，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 61．（2026高三·全国·专题练习）已知是的外心，，若，则的最小值是___________． 【答案】2 【分析】将题干条件，转化成，平方后得到，然后结合基本不等式处理. 【详解】由可得， 整理可得， 如图，根据圆内接四边形性质，，于是， 由于（是外接圆半径）， 对两边平方可得， 整理可得， 由基本不等式，整理得， 如图，钝角三角形的外心必在三角形外，设和交于， 根据共线性质，，且， 于是，结合可知， 于是由可得，最小值是，当时取等号. 62．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，，已知，则________ ，的最大值为________________． 【答案】 【分析】利用余弦定理化简可得，利用平面向量的线性运算化简已知得，平方化简得，解不等式即可. 【详解】因为，所以由余弦定理可得， 化简可得，所以， 由得， 两边平方有， 又点为锐角的外心，即，， 化简上式得， 因为 ，得 所以，解得或， 因为为锐角三角形，所以O在三角形内部，即，得， 当且仅当时，. 63．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知点分别在的边所在直线上，，为线段的中点，为与的交点，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题目条件求出的关系后，换元代入得到二次函数，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】因为是中点，所以，由， 代入得：， 又，，因此，， 代入得：， 因为在上，由三点共线的向量性质可得：， 令，则 ，即求的最小值，令， 将代入得： 这是开口向上的二次函数，对称轴为，代入得最小值： ， 故的最小值为. 64．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论； 第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围. 解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可. 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为，    若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $