专题03 平面向量中的范围与最值问题7种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题03 平面向量中的范围与最值问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 数量积最值问题 1.核心逻辑 ；或者坐标形式。 动点问题，要么坐标化得到函数，要么用极化恒等式，把数量积转化为距离的最值。 2.解题步骤 ①方法一（建系）：建立坐标系，写出动点坐标，写出数量积表达式；整理成二次/三角函数，结合动点所在线段、圆弧的参数范围求最值。 ②方法二（极化恒等式）：找两个定点的中点，数量积转化为动点到中点距离的平方，快速求最大最小。 ③方法三（基底）：选一组基底，分解向量，展开数量积，利用参数范围求解。 3.易错提醒 极化恒等式记错公式；忽略动点的取值范围（线段端点、圆弧角度）；直接套用公式不看动点轨迹。 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，为的中点，，，是圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解析   ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以．故选：C． 2．（2026高一·全国·专题练习）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解析  连接，，如图所示： ． 根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时， 有最小值为，此时， 当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2， 此时，故， 即的取值范围是．故答案为：． 3．（2026高一·全国·专题练习）在直角梯形中，，点在边上（包含端点），，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解析  以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系， 则，，设（）， 则，， 所以， 则时，有最小值，或4时，有最大值2， 所以的取值范围是．故答案为：． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，，点是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析  如图，以为原点，所在直线为轴，过且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以． 设，，，（注意判断的取值范围，为后续计算做准备） 则，所以，得，所以， 所以，． 所以 ， 所以当时，取得最小值，为．故选：A． 5．（2026·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 6．（2026高三·山西晋城·阶段检测）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 7．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意分点在上时，点在上两种情况进行运算求解即可. 【详解】当点在上时，如图1，，，，为的中点， 所以为等边三角形，即， 所以，又， 所以． 当点在上时，如图2， 此时，所以， 又，所以． 综上，． 故答案为： 题型02 模长最值问题 1.核心逻辑 求，优先模平方：，避开根号运算； 向量三角不等式：； 几何意义：表示两点之间距离；若动点满足向量等式，先判断动点轨迹（圆、线段），再用几何求距离最值。 2.解题步骤 ①求模，先算模的平方，展开数量积运算； ②能看出几何轨迹：确定动点轨迹（圆、直线、线段），利用点到定点距离求模的最值； ③代数：得到二次函数，看自变量范围求值域； ④用三角不等式注意：等号成立条件是向量共线。 3.易错提醒 求出模的平方忘记开根号；乱用三角不等式，忽略等号成立条件；看不出动点是圆轨迹。 8．（2026高一·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________． 【答案】 【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设向量，因为且与的夹角为， 则 ，所以当时，的最小值为. 故答案为：. 9．（2026高一·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义和运算性质，化简条件，用模长表示夹角余弦值的函数，求出模长范围. 【详解】已知，得，变形得， 设，则，变形得， 因为，所以，因为，所以， 解不等式组，当时，解得. 故选：D. 10．（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，满足，且，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据向量加法的几何意义可得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 11．（2026高一·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，由向量的加法公式得，再由模长的性质得到最值. 【详解】，， 所以， 所以， 所以，即， ， 因为，， 根据向量模长的性质，最大值为，最小值为， 故选：D. 12．（2026高一·全国·专题练习）已知单位向量，的夹角为锐角且（）的最小值为，若向量满足，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解析  解法1：由（）的最小值为，知单位向量，的夹角为60°． 设，，， 则， 即，展开得， 即，所以． 解法2：由（）的最小值为，知单位向量，的夹角为60°． 设，，由， 得，即， 从而有即解得． 解法3：极化恒等式 由（）的最小值为，知单位向量，的夹角为60°， 如图，设，，， 则， 其中为的中点，易知， 所以点在以为圆心，为半径的圆上运动． 易知，所以． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知，两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数，的最小值是________． 【答案】 【详解】解析  因为，两个互相垂直的单位向量， 不妨设，，，因为， 所以，，即，，所以， 即， 设，因为时，，时，， 所以或，则有， 所以当时，， 所以的最小值是，故答案为：． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解析  依题意作图并建立坐标系，如图， 可设，， 则，． 由，得，，， 又因为，所以，故． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，满足，，若（），且，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解析  如图：令，， 则，故． 因为，所以，记的中点为， 所以点在以为直径的圆上．设， 连接，因为，所以点在直线上． 因为，所以，即，所以． 结合图形可知，当时，即取得最大值，且．故选：D． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知中，，（），，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析  由， 结合向量加法法则知：到的距离为2， 又，则， 所以，故为等腰直角三角形， 由，则， 所以，，共线，又，则，， 若，为的两个四等分点，为中点，如下图示， 所以在线段上运动，且，，， 由图：若，则，又， 此时，故上述情况， 易知， 由图知：与重合时，， 综上，的取值范围为．故选：D． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是________． 【答案】 【详解】解析  根据题设条件作图如下，其中， ，的半径为1．由图即得． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，且．若，则的最小值为（   ） A． B．26 C． D．24 【答案】B 【详解】解析  用数形结合法求解．作正方形，连结对角线，则向量等于向量（为对角线上一点），向量等于向量，为边上一点，，如图1． 易知， 由几何意义可知的最小值为的长，如图2，求得，故选：B． 19．（2026高一·全国·专题练习）已知是边长为6的等边三角形，若点满足，且，其中，，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解析  如图，令，则， 即，其中，， 由知点在线段上（不含端点，）． 由于在中，，，， 且点在线段上（不含端点，）， 因此，其中是边上的高． 由 可得，由 可得，所以． 再由可知．故答案为 题型03 夹角最值问题 1.核心逻辑 夹角；。 在上单调递减：越大，夹角越小；越小，夹角越大。 锐角：且不共线同向；钝角：且不共线反向。 2.解题步骤 ①写出夹角余弦表达式； ②转化为函数，求的取值范围； ③利用在单调递减，反推夹角范围； ④注意排除同向、反向共线的情况。 3.易错提醒 锐角只写数量积大于0，漏掉排除同向共线；钝角只写数量积小于0，漏掉排除反向共线；忘记余弦在单调递减，搞反大小关系。 20．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是________． 【答案】 【分析】根据题意，有两个不等的实根，求得，再利用向量夹角公式求得，从而求得答案. 【详解】设与的夹角为θ． ∵， ∴， ∵函数在R上有两个极值， ∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又， ∴，即，又， ∴． 故答案为：. 21．【多选】（2026高三·江苏扬州·阶段检测）已知向量．则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．与共线的单位向量为 D．向量与夹角的余弦值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由特殊角的三角函数值与的取值范围可得到，故A正确； 对于B，利用向量的数量积运算由易得，从而得到，故，即说法成立，故B正确； 对于C，利用易求得与共线的单位向量有两个，故C错误； 对于D，利用向量数量积运算求得夹角的余弦值的表达式，结合三角函数的图像即可得到其取值范围是，故D正确. 【详解】对于A，由题意得，又，故，故A正确； 对于B，因为，即，即， 整理得，即， 故，即，得， 又，所以，即存在，使得，故B正确； 对于C，因为，所以，故与共线的单位向量为，故C错误； 对于D，， 又，所以，所以，即向量与夹角的余弦值范围是，故D正确. 故选：ABD. 22．（2026高三·江西·阶段检测）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到，，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到，利用基本不等式可求得，由此可得的最大值. 【详解】， 即，； ， 即，； 设向量与所成夹角为， （当且仅当时取等号）； 又，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值. 23．（2026高二·浙江·开学考试）在中，点为所在平面内一点，且满足，已知，分别为三角形的内心和外心，则当取得最大时，的长度为___________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用余弦定理求出取最大时三角形形状，进而确定位置，利用等面积法求出的长. 【详解】在中，令内角所对边依次为， 由，得， 则，而，则， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，则，即当时，取得最大值， 此时，则是的中点，且，平分， 故点在上，且长为的内切圆半径， 由，可得. 故答案为： 题型04 角度最值问题 1.核心逻辑 图形中角的最值（张角最大问题），两种思路：①坐标+两角差正切；②几何：米勒定理，过两点的圆与直线相切时张角最大。 2.解题步骤 ①建系，写出各点坐标，把目标角拆成两个角的差； ②用正切差角公式，结合基本不等式求最值； ③米勒定理：定点在直线同侧，作过两点且和已知直线相切的圆，切点位置张角最大； ④由正切值范围，结合角的实际范围得到角度最值。 3.易错提醒 张角问题分不清什么时候取最大；直接用余弦忽略角不在完整区间。 24．（2026高二·重庆·竞赛）在中，已知，则最大角的正弦值为__________. 【答案】 【分析】根据条件，先确定三边的数量关系，得到最大的边，再用余弦定理求出最大边所对的角的余弦，根据同角三角函数的关系，可求最大角的正弦. 【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由条件知： ， 由余弦定理，得， 即，解得， 故最大角为角，由余弦定理得. 故答案为： 25．（2026高一·江苏·期末）如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，． (1)如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求的值． (2)若，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值． (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)即存在，且 【分析】（1）由向量的数量积的定义求解即可； （2）建立平面直角坐标系，设，则，由数量积的坐标表示得到S△PAQ，结合基本不等式求解最值即可； （3）建立直角坐标系，假设存在点，使得最大，由，即有最大，设，，由两角差的正切公式结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为P，Q分别是边DC，BC的中点，所以， ， 因为， 所以 . （2）设，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 因为，所以，则， 于是，， 因为， 则△PAQ的面积， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最小值为. 所以△PAQ的面积的最小值为． （3）同（1）问建立相同直角坐标系， 则可得即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，即， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即线段AB上存在一点H，使得∠THQ最大，此时. 26．（2026高三·湖南长沙·开学考试）已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，应用向量夹角余弦值的坐标表示，结合换元法、二次函数性质求最大时取值，最后由向量投影的求法求向量在上的投影向量. 【详解】令，则， 所以， 令，则， 而，故最大，则，，故， 此时，向量在上的投影向量为. 故选：C 题型05 参数最值问题 1.核心逻辑 已知，动点在图形内部/边界，求的取值范围。 方法：①特殊点法：顶点代入得到边界；②建系坐标化；③平行线平移法（等和线）。 等和线：，变化对应一组平行于的直线，的最值出现在图形边界。 2.解题步骤 ①优先使用等和线模型：过，作平行线，平移直线，看与图形交点，得到的最大、最小值； ②建系，把点坐标代入，得到的方程组；由点的约束得到参数范围； ③选择题可以直接代入多边形各个顶点，得到边界值。 3.易错提醒 等和线不会平移；直接用内部点代替边界点，漏掉最值出现在图形边界；分不清和。 27．（2026高三·云南玉溪·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    28．（2026高三·全国·专题练习）设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】根据题意作图，利用平面向量基本定理，结合相似三角形线段长成比例，计算求解. 【详解】 如图，取中点，连接交于，过作，交的延长线于， 过作，交的延长线于， 则， 易知，则，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 当点在内（含边界）时，在线段上（含端点）， 所以， 由，，可得. 则的取值范围是. 故答案为：. 29．（2026高一·四川·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用取特殊位置上的点来分析对应的变量，通过能取到的特殊值，来排除各选项，最后作出正确判断. 【详解】    当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故AC错误； 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故D错误； 故选：B. 题型06 坐标最值问题 1.核心逻辑 建系之后全部转化坐标运算，适合几何图形（矩形、菱形、梯形、多边形）；向量条件翻译为坐标不等式，再求参数范围。高频考：夹角为锐角、钝角求参数。 2.解题步骤 ①合理建系，写出所有点坐标； ②向量条件翻译成坐标等式、不等式； ③锐角：且不同向共线；钝角：且不反向共线； ④解不等式，去掉共线的增根，得到参数范围。 3.易错提醒 锐角、钝角题型忘记排除共线情况；建系坐标写错；解不等式漏掉限制条件。 30．（2026高一·湖北·阶段检测）若，且为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】把为锐角转化为与的夹角为锐角，然后利用数量积列不等式组求解即可. 【详解】因为为锐角，所以与的夹角为锐角， 又，所以， 解得且. 故答案为：. 31．（2026高一·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出, 且不平行，则 即且. 即得. 故答案为： 32．（2026高一·重庆·阶段检测）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围. 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以且不反向共线， 由； 由； 所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：. 故答案为： 33．（2026高一·全国·寒假作业）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算计算参数． 【详解】由题意知，因为， 解得或，由，得，因此. 故选:D. 题型07 面积最值问题 1.核心逻辑 三角形面积：； 四边形拆成两个三角形；结合向量条件，转化边长、夹角；也可以建系，鞋带公式求面积；常搭配基本不等式求最值。 2.解题步骤 ①利用向量条件求出边长、夹角的约束； ②面积公式，转化为函数； ③利用基本不等式或者三角函数求最值； ④几何轨迹题：先判断动点轨迹（圆），再看高、底的最值。 3.易错提醒 面积公式漏系数；基本不等式不检验等号是否可取；不会拆分四边形为两个三角形。 34．【多选】（2026高一·河南洛阳·期末）如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则（   ） A． B． C．面积的最小值是 D．点到的距离为定值 【答案】ABD 【分析】先由向量关系判断为的重心，建立平面直角坐标系，利用推导坐标关系，再逐一验证各选项. 【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，由题意得平行线，， 设，，由得，即， 由可知为的重心，得, 对于A ：由，整理得，即， 得，A正确； 对于B：，因为， 所以，因此，B正确； 对于C ：重心性质得， ， 因此，最小值为，不是，C错误； 对于D：的纵坐标恒为，，因此点到的距离为，是定值，D正确. 35．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据向量等式和外心的性质，转化得出，再根据锐角三角形利用余弦定理得出和的取值范围，最后用面积公式求出面积范围. 【详解】 分别取边，，的中点，，， 因为为锐角的外心，根据中垂线易知， 同理，，， 所以， 同理，． 由题意得，即，于是． 因为为锐角三角形， 所以，所以， 同理，，即． 令，由，得，则且，解得． 又，所以． 又，所以，所以， 又，所以， 又，所以. 36．（2026高一·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标运算及三角恒等变换公式可得，进而可得最小正周期； （2）先由条件可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形面积公式可得面积的最大值. 【详解】（1）因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． （2）由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 37．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】以为原点，所在直线为轴，设，其中，联立直线与求得交点坐标，利用条件推出点坐标满足的方程，从而确定点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），当最大时即可求得面积最大值. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，其中，因为，所以， 由知，所以，所以， 所以直线的方程为， ，所以直线的方程为， 因为为与的交点，所以，解得， 代入计算得，所以， 因为， ，， 由得，化简得， 所以点的轨迹是以为圆心、半径为4的圆（上半部分，），所以 ，因为，所以面积的最大值为.    38．【多选】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．当时，四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积的最大值为2 【答案】BCD 【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：， 因为，所以当时，， 则 ，故A错误； 选项B：的面积， 因为，所以当时，，故B正确； 选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径， 因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为， 则， 所以四边形ABCD面积的， 令，则， 令，则， 令，解得或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当，即时，有最大值， 此时，，故C正确； 选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，， 两弦异侧时，其距离，且， 则四边形ABCD面积 ， 所以当时，有最大值为2，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量中的范围与最值问题7种常见考法归类 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 数量积最值问题 1.核心逻辑 ；或者坐标形式。 动点问题，要么坐标化得到函数，要么用极化恒等式，把数量积转化为距离的最值。 2.解题步骤 ①方法一（建系）：建立坐标系，写出动点坐标，写出数量积表达式；整理成二次/三角函数，结合动点所在线段、圆弧的参数范围求最值。 ②方法二（极化恒等式）：找两个定点的中点，数量积转化为动点到中点距离的平方，快速求最大最小。 ③方法三（基底）：选一组基底，分解向量，展开数量积，利用参数范围求解。 3.易错提醒 极化恒等式记错公式；忽略动点的取值范围（线段端点、圆弧角度）；直接套用公式不看动点轨迹。 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在中，为的中点，，，是圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是________． 3．（2026高一·全国·专题练习）在直角梯形中，，点在边上（包含端点），，则的取值范围是________． 4．（2026高一·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，，，点是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·模拟预测）在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高三·山西晋城·阶段检测）在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，已知，，，为的中点，点在与上运动（包括端点），则的取值范围是______． 题型02 模长最值问题 1.核心逻辑 求，优先模平方：，避开根号运算； 向量三角不等式：； 几何意义：表示两点之间距离；若动点满足向量等式，先判断动点轨迹（圆、线段），再用几何求距离最值。 2.解题步骤 ①求模，先算模的平方，展开数量积运算； ②能看出几何轨迹：确定动点轨迹（圆、直线、线段），利用点到定点距离求模的最值； ③代数：得到二次函数，看自变量范围求值域； ④用三角不等式注意：等号成立条件是向量共线。 3.易错提醒 求出模的平方忘记开根号；乱用三角不等式，忽略等号成立条件；看不出动点是圆轨迹。 8．（2026高一·四川南充·期中）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________． 9．（2026高一·浙江·阶段检测）已知，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西安康·模拟预测）已知向量，满足，且，则的最大值是______. 11．（2026高一·重庆·期末）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·全国·专题练习）已知单位向量，的夹角为锐角且（）的最小值为，若向量满足，则的取值范围是________． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知，两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的实数，的最小值是________． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为________． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，满足，，若（），且，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知中，，（），，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2026高一·全国·专题练习）已知在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值是________． 18．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，且．若，则的最小值为（   ） A． B．26 C． D．24 19．（2026高一·全国·专题练习）已知是边长为6的等边三角形，若点满足，且，其中，，则的取值范围为________． 题型03 夹角最值问题 1.核心逻辑 夹角；。 在上单调递减：越大，夹角越小；越小，夹角越大。 锐角：且不共线同向；钝角：且不共线反向。 2.解题步骤 ①写出夹角余弦表达式； ②转化为函数，求的取值范围； ③利用在单调递减，反推夹角范围； ④注意排除同向、反向共线的情况。 3.易错提醒 锐角只写数量积大于0，漏掉排除同向共线；钝角只写数量积小于0，漏掉排除反向共线；忘记余弦在单调递减，搞反大小关系。 20．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是________． 21．【多选】（2026高三·江苏扬州·阶段检测）已知向量．则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．与共线的单位向量为 D．向量与夹角的余弦值范围是 22．（2026高三·江西·阶段检测）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·浙江·开学考试）在中，点为所在平面内一点，且满足，已知，分别为三角形的内心和外心，则当取得最大时，的长度为___________． 题型04 角度最值问题 1.核心逻辑 图形中角的最值（张角最大问题），两种思路：①坐标+两角差正切；②几何：米勒定理，过两点的圆与直线相切时张角最大。 2.解题步骤 ①建系，写出各点坐标，把目标角拆成两个角的差； ②用正切差角公式，结合基本不等式求最值； ③米勒定理：定点在直线同侧，作过两点且和已知直线相切的圆，切点位置张角最大； ④由正切值范围，结合角的实际范围得到角度最值。 3.易错提醒 张角问题分不清什么时候取最大；直接用余弦忽略角不在完整区间。 24．（2026高二·重庆·竞赛）在中，已知，则最大角的正弦值为__________. 25．（2026高一·江苏·期末）如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边DC，BC上的两点，． (1)如果P，Q分别是边DC，BC的中点，求的值． (2)若，求△PAQ的面积S△PAQ的最小值． (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大．若存在，求BH的长；若不存在，请说明理由． 26．（2026高三·湖南长沙·开学考试）已知在平面直角坐标系xOy中，点，点C在y轴上运动，当最大时，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型05 参数最值问题 1.核心逻辑 已知，动点在图形内部/边界，求的取值范围。 方法：①特殊点法：顶点代入得到边界；②建系坐标化；③平行线平移法（等和线）。 等和线：，变化对应一组平行于的直线，的最值出现在图形边界。 2.解题步骤 ①优先使用等和线模型：过，作平行线，平移直线，看与图形交点，得到的最大、最小值； ②建系，把点坐标代入，得到的方程组；由点的约束得到参数范围； ③选择题可以直接代入多边形各个顶点，得到边界值。 3.易错提醒 等和线不会平移；直接用内部点代替边界点，漏掉最值出现在图形边界；分不清和。 27．（2026高三·云南玉溪·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2026高三·全国·专题练习）设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是_________ 29．（2026高一·四川·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 题型06 坐标最值问题 1.核心逻辑 建系之后全部转化坐标运算，适合几何图形（矩形、菱形、梯形、多边形）；向量条件翻译为坐标不等式，再求参数范围。高频考：夹角为锐角、钝角求参数。 2.解题步骤 ①合理建系，写出所有点坐标； ②向量条件翻译成坐标等式、不等式； ③锐角：且不同向共线；钝角：且不反向共线； ④解不等式，去掉共线的增根，得到参数范围。 3.易错提醒 锐角、钝角题型忘记排除共线情况；建系坐标写错；解不等式漏掉限制条件。 30．（2026高一·湖北·阶段检测）若，且为锐角，则实数的取值范围是______. 31．（2026高一·天津和平·期末）设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为_________． 32．（2026高一·重庆·阶段检测）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为_________． 33．（2026高一·全国·寒假作业）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型07 面积最值问题 1.核心逻辑 三角形面积：； 四边形拆成两个三角形；结合向量条件，转化边长、夹角；也可以建系，鞋带公式求面积；常搭配基本不等式求最值。 2.解题步骤 ①利用向量条件求出边长、夹角的约束； ②面积公式，转化为函数； ③利用基本不等式或者三角函数求最值； ④几何轨迹题：先判断动点轨迹（圆），再看高、底的最值。 3.易错提醒 面积公式漏系数；基本不等式不检验等号是否可取；不会拆分四边形为两个三角形。 34．【多选】（2026高一·河南洛阳·期末）如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，且，则（   ） A． B． C．面积的最小值是 D．点到的距离为定值 35．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 36．（2026高一·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 37．（2026·山东济南·模拟预测）在中，，，为与的交点，且．若，则面积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 38．【多选】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．当时，四边形ABCD面积的最大值为 D．四边形ABCD面积的最大值为2 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $