微专题五 三角形的中线与角平分线导学案-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题五 三角形的中线与角平分线 一、知识点梳理 1、三角形中线问题 如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！ 2、角平分线问题 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①等面积法 （常用） ②内角平分线定理： 或 ③边与面积的比值： 二、易错点总结 （一）中线问题易错 1. 向量平方计算错误 ，平方后一定要乘 ，很多同学漏掉系数 ，直接写成 。 2. 双余弦定理符号错误 ∠ADB与∠ADC互补，，容易忘记负号，直接写相等，方程直接算错。 3. 求中线取值范围漏约束 要记住三角形三边约束条件！不能只靠基本不等式，锐角三角形还要额外限制角的范围，如训练1-12、1-15，只使用基本不等式会扩大取值范围。 4. 中线公式边对应混淆 ，注意a是中线所对底边，不要把边搞混。 （二）角平分线问题易错 1. 等面积拆分角度错误 角度是 ，不是A，容易直接写sin A导致结果错误。 2. 内角平分线定理比例方向错误 ，分清哪条线段对应哪条边，不要写反比例。 3. 大题直接用二级结论扣分 大题不要直接默写斯特瓦尔特定理、角平分线长二级公式，高考需要写推导（优先用等面积法），直接用二级结论可能扣分。 4. 基本不等式等号成立条件不检验 角平分线结合基本不等式求面积最值，注意"一正二定三相等"，检验等号成立条件，很多题目等号成立时要验证三角形是否存在。 （三）两类题型通用易错 1. 忽略三角形内角范围 解出边长之后，忽略三角形内角范围，出现钝角/锐角不符合题意，没有舍去增根。 2. 面积公式混用 ，角必须是两边夹角。 3. 向量数量积夹角错误 ，A是两向量夹角，是三角形内角，不要写成补角。 4. 求范围题约束不全 同时要满足余弦定理 + 三角形三边关系 + 锐角限制，不能只靠不等式。 三 做题策略总结 看到中线，优先向量平方 看到角平分线，优先拆成两个小三角形面积相加 求最值：求出等式后，再用基本不等式；有锐角条件，再用三角函数约束范围 必考题型全归纳： 题型一：三角形中线向量法（最常用） 1．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求边上的中线的最大值． 2.记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求边中线的取值范围． 题型二：三角形中线阿波罗尼斯中线公式（中线长公式） 3．在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的值； （2）若边上的中线，求的面积． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积. 题型三：三角形中线双余弦定理法 5．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线，求的面积. 6.在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点. (1)若BD为AC边上的中线，求BD； (2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD. 题型四：三角形角平分线内角平分线定理（比例） 7．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为， (1)求c的值； (2)设是的角平分线，求的长. 8．在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 题型五：三角形角平分线等面积法（求角平分线长度首选） 9．已知的内角的对边分别为 ，且. (1)求角B； (2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值. 10．在中，角的对边分别为，已知， (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于点，且，求的最小值， 题型六：三角形角平分线斯特瓦尔特定理（拓展，选择填空提速） 11．记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值. 12．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小， (2)若，角的角平分线交于，且，求的面积． 巩固提升： 1.在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 2．在中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若边上的中线的长为，求面积的最大值． 3．已知为的内角所对的边，向量,，且． (1)求； (2)若，的面积为，且，求线段的长． 4．已知的三个内角、、所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求的周长． 5．已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 6．在△ABC中，角所对的边分别为，已知. (1)求的大小； (2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A； (2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长. 8．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的值； (2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围． 9．在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （I）求△ABC的面积； （II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长． 11．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 12．已知的内角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)若，点满足，点满足，求. 13．在中， (1)求角A的大小 (2)若BC边上的中线，且，求的周长 14．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 15．在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，． (1)求角的大小； (2)求线段的长． 16．已知的内角，，所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长. 17．已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为. (1)求； (2)若为角的角平分线，交于点，求的长. 18．在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 19．中，，，，. (1)若，，求的长度； (2)若为角平分线，且，求的面积. 20．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB (1)若，求tanC的值： (2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积． 21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若， ①的角平分线交于M，求线段的长； ②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围． 22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0. (1)求角C的大小； (2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值. 23．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知． (1)求； (2)若外接圆面积为，求的最大值； (3)若，且的角平分线，求． 24．已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题五 三角形的中线与角平分线 一、知识点梳理 1、三角形中线问题 如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！ 2、角平分线问题 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①等面积法 （常用） ②内角平分线定理： 或 ③边与面积的比值： 二、易错点总结 （一）中线问题易错 1. 向量平方计算错误 ，平方后一定要乘 ，很多同学漏掉系数 ，直接写成 。 2. 双余弦定理符号错误 ∠ADB与∠ADC互补，，容易忘记负号，直接写相等，方程直接算错。 3. 求中线取值范围漏约束 要记住三角形三边约束条件！不能只靠基本不等式，锐角三角形还要额外限制角的范围，如训练1-12、1-15，只使用基本不等式会扩大取值范围。 4. 中线公式边对应混淆 ，注意a是中线所对底边，不要把边搞混。 （二）角平分线问题易错 1. 等面积拆分角度错误 角度是 ，不是A，容易直接写sin A导致结果错误。 2. 内角平分线定理比例方向错误 ，分清哪条线段对应哪条边，不要写反比例。 3. 大题直接用二级结论扣分 大题不要直接默写斯特瓦尔特定理、角平分线长二级公式，高考需要写推导（优先用等面积法），直接用二级结论可能扣分。 4. 基本不等式等号成立条件不检验 角平分线结合基本不等式求面积最值，注意"一正二定三相等"，检验等号成立条件，很多题目等号成立时要验证三角形是否存在。 （三）两类题型通用易错 1. 忽略三角形内角范围 解出边长之后，忽略三角形内角范围，出现钝角/锐角不符合题意，没有舍去增根。 2. 面积公式混用 ，角必须是两边夹角。 3. 向量数量积夹角错误 ，A是两向量夹角，是三角形内角，不要写成补角。 4. 求范围题约束不全 同时要满足余弦定理 + 三角形三边关系 + 锐角限制，不能只靠不等式。 三 做题策略总结 看到中线，优先向量平方 看到角平分线，优先拆成两个小三角形面积相加 求最值：求出等式后，再用基本不等式；有锐角条件，再用三角函数约束范围 必考题型全归纳： 题型一：三角形中线向量法（最常用） 公式推导： 两边平方： 本质：把中线长度转化为两边及夹角，无需拆分两个小三角形。 1．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求边上的中线的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）切化弦后，结合两角和差公式和诱导公式可求得，进而得到； （2）利用余弦定理和基本不等式可求得范围，根据，平方后，结合向量数量积定义和运算律可求得结果. 【详解】（1），， ，又，. （2）由余弦定理得：（当其仅当时取等号）， ，，，，，即的最大值为. 2.记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求边中线的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可得角； （2）根据中线性质可得，在左右两侧平方，应用向量的数量积公式求值即可. 【详解】（1）由已知可得， 由余弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，又，所以． （2）因为M为的中点，所以， 则， 即． 因为，所以． 所以，所以． 题型二：三角形中线阿波罗尼斯中线公式（中线长公式） 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，AD是BC边上中线： 由向量平方直接得到，直接知三求一。 3．在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的值； （2）若边上的中线，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得 （2）结合（1）可得为等腰三角形，在中利用余弦定理可求，从而可求的面积. 【解】（1）由正弦定理可得， 整理得到， 因为，故，故，因为，故. （2）因为，，故，故为等腰三角形且. 设，则， 由余弦定理可得，故， 所以，故. 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再用三角恒等变换即可求解； （2）利用，分别在△和△运用余弦定理可得 ，再在△运用余弦定理得，两式联立即可求得，最后直接用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， ∴，∴, ∴，∵，∴，又∵, ∴, （2）由已知得，， 在△中，由余弦定理得， 在△中，由余弦定理得， 又∵,∴，在△中，由余弦定理得，以上两式消去得, 解得或（舍去）， 则. 题型三：三角形中线双余弦定理法 分别在△ABD、△ADC写余弦定理，利用∠ADB + ∠ADC = π，联立方程。适合题目给中线、不给夹角的题型。 5．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解； （2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解. （1）解；因为，所以， 所以，即 ， 因为 ，所以 ，所以； （2）在中，由余弦定理得，即①， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，两式相加得②， 由①②得，所以. 6.在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点. (1)若BD为AC边上的中线，求BD； (2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD. 【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得. （2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得. 【详解】（1）在中，， 因为BD为AC边上的中线，所以， 在中，，所以（活用两次余弦定理） （2）在中，， 由于，所以. 因为BD为的角平分线，所以.由，得（等面积法） 即，解得. 题型四：三角形角平分线内角平分线定理（比例） 图形：AD平分∠BAC，D在BC上， ① 作用：得到底边被分割两段的比例，求线段长度。 7．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为， (1)求c的值； (2)设是的角平分线，求的长. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意结合三角形面积公式运算求解； （2）根据题意可得，结合三角形面积公式运算求解. 【详解】（1）由的面积，则， 且，解得，故c的值为3. （2）由（1）可得：，由题意可得：， ∵，则， 即，解得，故的长. 8．在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； （2）由， 得，解得，所以的面积为. 题型五：三角形角平分线等面积法（求角平分线长度首选） 由，得 化简得到角平分线长公式： 考试中不要直接背公式，直接写面积拆分等式，现场推导。 9．已知的内角的对边分别为 ，且. (1)求角B； (2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案. （2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由已知及正弦定理得：， 又在中，, ∴，即， 又，∴, 又，∴，即角B的大小为. （2）∵.是的角平分线，而， ∴， 即，∴. ∵，∴， ∵，∴，即, 当且仅当时取等号，则， 即的面积的最小值为. 10．在中，角的对边分别为，已知， (1)求角的大小； (2)若的角平分线交于点，且，求的最小值， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到，由此得解； （2）利用三角面积公式推得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，由于，则，所以，即，又，所以. （2）因为的角平分线交于点，且，，    根据三角形面积公式可得， 等式两边同除以可得，则， 则， 当且仅当，即时，等式成立，故的最小值为. 题型六：三角形角平分线斯特瓦尔特定理（拓展，选择填空提速） 1.设AD为角平分线，，可得 代入可解AD；大题尽量用等面积法，不直接写斯特瓦尔特定理。 2.角平分线常见考法 求角平分线线段长 角平分线已知，求三角形面积 角平分线条件下求面积最小值（结合基本不等式） 11．记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根据面积得，整理分析． 【详解】（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即. （2）因为，所以. 由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即. 因为，所以. 因为，所以. 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即.故的最小值为. 12．在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小， (2)若，角的角平分线交于，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意和三角函数的基本关系式化简得，利用正弦定理和余弦定理，得到，即可求解； （2）由的角平分线将分为和，得到，化简得到，又由余弦定理得到，联立求得的值，结合面积公式，即可求解. （1）解：因为，由三角函数的基本关系式，可得 由正弦定理和， 即，又由正弦定理得， 由余弦定理得，因为，所以. （2）解：由的角平分线将分为和，如图所示， 可得，因为，可得，且， 所以， 即，整理得，即， 又由，可得，即， 又由， 即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 巩固提升： 1.在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长. 【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果； （2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即，所以， 由余弦定理及得： ，又， 所以，即，所以， 所以. （2）由，所以， 由（1），所以，因为为边上的中线， 所以，所以（通过平方，将向量转化为数量），所以， 所以边上的中线的长为：. 2．在中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）求； （2）若边上的中线的长为，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由正弦定理化角为边，结合余弦定理可得，即可求出； （2）由平方可得，利用基本不等式可得，即可求出面积最值. 解：（1）因为， 所以由正弦定理可得，即． 再由余弦定理可得，即． 因为，所以．因为，所以． （2）因为，所以， 即． 因为，所以，当且仅当时取等， 故，则的最大值为． 3．已知为的内角所对的边，向量,，且． (1)求； (2)若，的面积为，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理、余弦定理可求出； （2）根据三角形面积公式求出，根据平面向量运算律可求出结果. 【详解】（1）因为，所以． 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得，因为，所以. （2），解得， 因为，则， 所以，. 4．已知的三个内角、、所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求的周长． 【答案】（1）；（2）6． 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简可求得结果； （2）根据两边平方可得，根据余弦定理可得，联立求出和，由此可求出，则可得三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 根据正弦定理得， 所以， 所以， 所以，因为、、是的三个内角， 所以，，，因为，所以． （2）因为是边上的中线，所以， 所以， 所以， 所以， 所以①， 又因为，所以，即②， 由①②，解得，，， 则，所以， ∴，故的周长为6． 5．已知中，，， (1)求； (2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由商数关系、和角正弦公式及三角形内角和性质可得，进而有，由和差角余弦公式得，同角平方关系及三角形内角性质求各角大小，即可得结果； （2）取，应用余弦定理求，进而求的余弦值. 【解】（1）由题意， 又，故，而， 且，所以， ，所以或（舍）， 故，且，则，，故. （2）不妨取，则，，    . 6．在△ABC中，角所对的边分别为，已知. (1)求的大小； (2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）可得，化简可求出，从而得到的大小； （2）由的面积等于可得，利用余弦定理和基本不等式可求出中线AD长最短时AB的边长. (1)可得， 即，因为 从而，而，所以. (2)， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，故. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A； (2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合,可得可得角； （2）根据余弦定理及的面积，求得，再根据向量关系平方应用数量积公式求解即可. 【解】（1）因为,所以, 可得, 又由两角和差正弦公式可得, ,，所以,. （2）因为,所以, 因为余弦定理得,又已知, 可得,即得. 因为BC的中线AD,可得, ，. 8．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的值； (2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果； （2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解 【解】（1）由， ， ，，，． （2），，， 由余弦定理有：，， 所以，， 由正弦定理，，，， ， ，因为为锐角三角形，所以且， 则，,则，． 9．在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可； （2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即，且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得， 又因为，所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为，则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （I）求△ABC的面积； （II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）首先根据正弦定理，将原等式中的边化为角，再利用两角和的正弦公式化简，求出,再根据，得到，最后代入面积公式 （Ⅱ）由,得，根据上一问的结果可求，再根据中线表示向量为，两边平方后得到结果. 【详解】（Ⅰ）,由正弦定理可化为： ,,即, ,,又, 得,,即， 的面积 （Ⅱ）由,得， ，又，解得：，又, , ,即边上的中线的长为. 11．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果； （2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案. 【解】（1）已知， 由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以． （2）由余弦定理可得， 又，，由正弦定理可得， 所以，， 所以， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以中线CD长的取值范围为． 12．已知的内角的对边分别为，且，. (1)求角的大小； (2)若，点满足，点满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得到，因为，求得，进而求得，即可求得的大小； （2）在中，由余弦定理求得，再由，根据向量的数量积的运算公式，求得，再在中，求得，得到，进而得到，分别在和中，求得，，利用余弦定理求得，进而求得的值. （1）解：因为，可得， 由正弦定理得，可得， 又因为，可得，则， 因为，所以，可得，所以， 又因为，可得，所以. （2）解：在中，因为且， 由余弦定理得，即， 即，解得或（舍去）， 设，因为，可得， 所以， 所以，即，又因为，所以，所以， 在中，可得，可得， 因为，所以， 在中，可得， 所以，在中，可得，所以， 在中，可得， 所以 13．在中， (1)求角A的大小 (2)若BC边上的中线，且，求的周长 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理可求角的大小； （2）由面积公式可得，再在和中，由余弦定理可得，最后用完全平方公式可求的值，即可求得三角形的周长. 【详解】（1）由已知， 由正弦定理得：，由余弦定理得：， 在中，因为，所以； （2）由，得①， 由（1）知，即②， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以③， 由①②③，得， 所以， 所以的周长. 14．在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角； （2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围 【解】（1）由余弦定理得， 即， 由正弦定理得 ，，即， . （2）由余弦定理得：，则. 由正弦定理得，所以， 因为是锐角三角形，所以，即， 则.中线长的取值范围是. 15．在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，． (1)求角的大小； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可； （2）利用面积公式列方程解出线段的长． 【详解】（1）在中，由已知，可得： 则有：，即 又，即有，而，所以． （2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线， 则有，由得： 解得， 所以线段的长为． 16．已知的内角，，所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得. （2）利用三角形面积公式，先求，再利用余弦定理求即可. 【详解】（1）， ，由正弦定理得， ，又，. （2） ，，， 由题意知， ， ，， ， ，故. 的周长为. 17．已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为. (1)求； (2)若为角的角平分线，交于点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，角化边可得与的关系，由和外接圆半径可得，再由余弦定理即可解得； （2）使用等面积法建立方程，求解即可. 【解】（1）由已知，∵， ∴由正弦定理得，∴， ∵，，∴，即. 设外接圆半径为，则外接圆面积，∴， ∴由正弦定理，得，， ∵，∴或. 当时，由余弦定理，∴， 解得，∴（舍）； 当时，由余弦定理，∴， 解得，∴.综上所述，. （2） 由第（1）问知，，若为角的角平分线，则， 如图，设，，的面积分别为，，， 则， ∴ ∴，∴解得，. 18．在 中，已知. (1)求的值； (2)若是的角平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案 【详解】（1）在中，由余弦定理 整理得解得或 由于，所以 因为，所以，所以 由正弦定理得：，故 （2）设， 由及三角形的面积公式可得： 整理得 在中，由余弦定理 由得则 19．中，，，，. (1)若，，求的长度； (2)若为角平分线，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从向量角度，以为基底，表示出，再用向量法计算的模长，即的长度； （2）用正弦定理的面积公式分别A表示出，，面积，列出等式计算即可求出A的正弦值，继而求出面积. 【详解】（1）∵，，∴， 又∵在中，，，， ∴，∴，即：. （2）在中，， 又∵， ∴，∴，∴， ∴，∴. 20．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB (1)若，求tanC的值： (2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用同角关系式可得或sin，然后利用和角公式即得； （2）由题可得，利用角平分线定理及条件可得，进而可得，，即得. 【详解】（1）因为，所以， 解得或sin,当时，，， 所以，； 当时，因为，所以，又，所以． （2）∵， ∴，， ∴，即，∴， 由角平分线定理可知，，又， 所以， 由，可得，∴，， 所以． 21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若， ①的角平分线交于M，求线段的长； ②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可； （2）①法一：在与中根据正弦定理可得，再根据结合数量积运算求解即可； 法二：根据，结合面积公式列式求解即可； ②法一：根据平面向量基本定理可得，进而求得范围； 法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可 【解】（1），则，故，所以，因为， 可得，由，所以． （2）①法一：在与中， 由正弦定理得， 即，故， 所以，所以 法二：在中，由是的角平分线 所以由知： 即，解得 ②法一：由，得 又 所以． 的取值范围为； 法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则 因为， 所以． 所以 由，得的取值范围为 22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0. (1)求角C的大小； (2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案； （2）在和中，分别运用正弦定理，进而求出，然后在中再次运用正弦定理得到，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案. 【详解】（1）根据题意，由正弦定理可知：，则，因为，所以，则，而，于是. （2）由（1）可知，，在中，设，则， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 所以.在中，由正弦定理得：， 所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时取“=”. 于是，.即△ABC的面积的最小值为. 23．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知． (1)求； (2)若外接圆面积为，求的最大值； (3)若，且的角平分线，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知得，由余弦边角关系即可求值； （2）由正弦定理求外接圆半径，由（1）得，进而求得，应用余弦定理、基本不等式求最值，注意等号成立条件. （3）利用等面积法得，由二倍角余弦公式求，即可求结果. 【详解】（1）由题知，即， 由，解得． （2）由外接圆面积为得外接圆半径， 由（1），所以，由正弦定理得，解得， 由余弦定理得，即， 化简得，当且仅当a＝c时等号成立． 所以ac的最大值为． （3）因为BD是的角平分线，则， 所以的面积， 所以，则， 由，所以，解得（负值舍去）， 综上，． 24．已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得； （2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可. 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得： ，又， 所以，整理得． 又，则，即. （2）因为为的平分线，且， 所以，则， 所以，可得，因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得，所以， 由正弦定理得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $