第4章 第8节 第二课时 三角形中的高线、中线、角平分线问题（课时作业）-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦解三角形专题，覆盖正弦定理、余弦定理、面积公式等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确“边角关系转化”“面积计算”“三角形特殊线段（角平分线、中线等）”等高频考点分布，归纳基础保分、能力提升、创新拓展三类题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+多法突破+素养融合”，如以2023年新课标Ⅰ卷真题为例，用面积法结合正弦定理解决“求AB边上的高”，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。设易错点分析（如忽略三角形内角范围）和解题模板，帮助学生掌握技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A组　基础保分练 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h=(　　) A.　　 B. C. D. 解析:∵a=2,b=3,c=4,∴cos A===.∵A∈(0,π), ∴sin A>0,∴sin A====, 则h=ACsin A=bsin A=3×=. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知在△ABC中,AB=6,AC=2,AD为∠BAC的平分线,AD=,则△ABC的面积为(　　) A.2 B.4 C.3 D.3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设∠BAD=∠CAD=θ, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴AB·AC·sin∠BAC=AB·AD·sin∠BAD+AD·AC·sin∠CAD, 即×6×2×sin 2θ=×6××sin θ+×2××sin θ,可得sin 2θ =2sin θ=2sin θcos θ. ∵sin θ≠0,则cos θ=, ∴sin θ==,则S△ABC=S△ABD+S△ACD=×6××+×2××=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在锐角△ABC中,B=60°,AB=1,则AB边上的高的取值范围是(　　) A.(,1) B.(,) C.(,) D.(,) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则AB边上的高h=asin B =a, 由正弦定理得a====+. 由△ABC为锐角三角形,可知30°<C<90°, 则tan C>,所以a=+∈(,2), 从而h∈(,), 因此AB边上的高的取值范围是(,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2026·山东烟台模拟)在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°, =3,=,AE,CF交于点D,则=(　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由题可建立平面直角坐标系,如图所示, 则A(0,0),B(3,0),C(1,). 又=3,=, 所以F (1,0),E(2,), 故直线AE的方程为y=x,可得D(1,), 所以==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,=,M和N分别是△ABC的重心和内心,且MN∥BC,则a=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由=,可得2sin C=sin Acos C+cos A·sin C.因为sin Acos C+ cos Asin C=sin(A+C)=sin(π-B)=sin B,代入得2sin C=sin B,由正弦定理,得b=2c=4.如图所示,连接AM并延长交BC于点D,连接AN并延长交BC于点E,过点A作AH⊥BC交BC于点H,过点N作NK⊥BC交BC于点K.设△ABC的内切圆半径为r,BC边上的高为h.由S△ABC=ah=(a+2+4)·r,可得ah=(a+6)·r　(*).因为M和N分别是△ABC的重心和内心,且MN∥BC,则===,即h=3r,代入(*)式,可得3a=a+6,解得a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(2026·河北石家庄调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=3,b=2,∠BAC的平分线AD的长为,则BC边上的高线AH的长等于(　　) A. B. C.2 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设∠BAD=∠CAD=α,则∠BAC=2α, 由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得×3×2sin 2α=×3×sin α+×2×sin α, 整理得3sin 2α=2sin α,即sin α(3cos α-)=0. 又因为sin α≠0,所以cos α=, 所以cos 2α=2cos2α-1=, 所以sin 2α==. 在△ABC中,由余弦定理得a2=32+22-2×3×2cos 2α=13-4=9,所以a=3. 由S△ABC=bcsin 2α=a·AH可得,×2×3×=×3AH,解得AH=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,c=,BC边上的高等于a, 则△ABC的面积是　　　　　,sin A=　　　　　.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:在△ABC中,作AD⊥BC,垂足为D, 则AD=a.又B=,c=, 在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2, 即a2+a2=2,解得a=3, 所以S△ABC=AB·BC·sin B=××3×=, 在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=1+4=5,所以b=, 由正弦定理,=,即=, 可得sin A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(2026·广东深圳模拟)已知在△ABC中,AB=2BC=2,AB边上的高与AC边上的中线相等,则tan B=　　　　　.   - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:如图所示,设AB边上的高为CE,AC边上的中线为BF. 在Rt△BCE中,CE=BC·sin∠ABC=sin∠ABC,所以BF=CE=sin∠ABC, 由=(+),平方得=(+2cos∠ABC+), 即4(1-cos2∠ABC)=4+2×2×1×cos∠ABC+1, 化简得,4cos2∠ABC+4cos∠ABC+1=0, 解得cos∠ABC=-. 又因为0<∠ABC<π,所以∠ABC=, 所以tan∠ABC=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sin A; 解:∵A+B=3C,∴π-C=3C,即C=. 又2sin(A-C)=sin B=sin(A+C), ∴2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C, ∴sin Acos C=3cos Asin C,∴sin A=3cos A, 由sin2A+cos2A=1,得sin2A=,又0<A<π, ∴sin A==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设AB=5,求AB边上的高. 解:由(1)知,cos A=, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×(+)=, 由正弦定理=,可得AC==2.设AB边上的高是h,所以AB·h=AB·AC·sin A, ∴h=ACsin A=2×=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠ABC的平分线交AC于点D,E为AC的中点,则下列说法正确的是(　　) A.若BD=,则∠ABC= B.若BD=,则∠ABC= C.若BE=,则∠ABC= D.若BE=,则∠ABC= B组　能力提升练 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:由S△ABC=S△ABD+S△BCD可得, acsin∠ABC=a·BDsin+c·BD sin , 则2acsincos=a·BDsin+c·BD sin. 因为sin≠0, 所以2accos=(a+c)BD,所以cos =. 因为BD=, 则cos=,即∠ABC=,故A正确,B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题可知=(+),所以=(+)2=(++2·)=(c2+a2+2cacos∠ABC). 因为BE=, 所以=(c2+a2+2cacos∠ABC), 整理可得cos∠ABC=-, 所以∠ABC=, 故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2026·湖南长沙模拟)已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,4cos C=b-csin A. (1)求A; 解:根据题意可得acos C+csin A=b, 由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C=sin B. 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 故sin Asin C=cos Asin C. 又sin C≠0,所以sin A=cos A, 则tan A=. 因为A∈(0,π),所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知AM为∠BAC的平分线,且与BC交于点M,若AM=,求△ABC的周长. 解:因为S△ABC=S△ABM+S△ACM, 所以bcsin∠BAC=AM·c·sin∠BAM+AM·b·sin∠CAM. 又AM平分∠BAC, 所以∠BAM=∠CAM=∠BAC=, 所以bc×=×c×+×b×, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则bc=(b+c),即bc=(b+c), 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC, 即16=b2+c2-bc, 所以16=(b+c)2-3bc=(b+c)2-(b+c), 解得b+c=2(负值舍去), 故△ABC的周长为2+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2026·山东青岛模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2bsin A+bsin B=csin 2B. (1)求角C. 解:因为2bsin A+bsin B=csin 2B, 所以2sin Bsin A+sin2B=2sin Csin Bcos B. 因为在△ABC中,sin B>0, 所以2sin A+sin B=2sin Ccos B. C组　创新拓展练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又sin A=sin(B+C), 所以2(sin Bcos C+cos Bsin C)+sin B=2sin Ccos B, 所以2sin Bcos C+sin B=0. 因为在△ABC中,sin B>0, 所以cos C=-. 因为0<C<π,所以C=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若点D在边AB上,b=2,CD=1,请在下列三个条件中任选一个,求边长AB. ①CD为△ABC的一条中线;②CD为△ABC的一条角平分线;③CD为△ABC的一条高线. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:若选①,因为=(+), 所以=(+2·+), 即4=4+a2+2×2×a×(-), 化简得a2-2a=0,解得a=2或a=0(舍去). 所以AB==2. 若选②,因为S△ABC=S△CAD+S△CBD, 所以×2×a×sin=×2×1×sin+×1×a×sin,解得a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以AB==2. 若选③,S△ABC=×2×a×sin=×AB×1, 解得AB=a, 所以AB2=22+a2-2×2×a×(-)=3a2, 即a2-a-2=0, 解得a=2或a=-1(舍去), 所以AB=2. $