第4章 第8节 第二课时 三角形中的高线、中线、角平分线问题-【优化探究】2027年高考数学一轮复习高考总复习配套课件（人教版 提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数解三角形中的高线、中线、角平分线问题，依据高考评价体系明确考查要求，结合2023新课标Ⅱ卷等真题分析考点分布，归纳等面积法、中线长定理等常考题型解题策略，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题突破+方法建模+素养提升”，如2025北京卷高线题用等面积法，2023新课标Ⅱ卷中线题结合向量法，培养数学思维与运算能力。含易错点分析和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，高效提升备考质量。

第八节　正弦定理、余弦定理 第二课时　三角形中的高线、中线、角平分线问题 第四章　三角函数、解三角形 掌握三角形中角平分线、中线、高线问题. 学习要求 内容索引 关键能力　重点探究 3 关键能力　重点探究 考点一　三角形中的高线 [例1]　(2025·北京卷)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; [解]　因为cos A=-,A∈(0,π),所以sin A==, 由正弦定理得asin C=csin A=c=4,解得c=6. (2)在以下三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高. ①a=6;②bsin C=;③△ABC面积为10. 注:如果选择的条件不符合要求,不得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. [解]　如图所示,若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD. 若选①,a=6,因为c=6,所以C=A.因为cos A=-<0,这表明此时△ABC有两个钝角, 而这是不可能的,所以此时△ABC不存在,故BC边上的高也不存在. 若选②,bsin C=,由正弦定理得bsin C=csin B=6sin B=,解得sin B=, 此时cos B==,AD=csin B=6×=, 而cos∠DAB=sin B,sin∠DAB=cos B,cos A=-,sin A=, 所以cos∠CAD=cos(∠CAB-∠BAD),sin∠CAD=可以唯一确定, 所以此时CA,CD也可以唯一确定, 这表明此时△ABC是存在的,且BC边上的高AD=. 若选③,△ABC的面积是10, 则S△ABC=bcsin A=b×6×=10, 解得b=5,由余弦定理可得a===9可以唯一确定, 进一步由余弦定理可得cos B,cos C也可以唯一确定,即B,C可以唯一确定, 这表明此时△ABC是存在的,且BC边上的高满足:S△ABC=a·AD=AD=10,即AD=. 方法总结 1.若h1,h2,h3分别为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. 2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边长度. 跟踪训练 1.(原创)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且S=.若b+c=2,且BC边上的高h=,则A=　　　　　.  解析:在△ABC中,S=bcsin A=, 解得a=2sin A, 由正弦定理得△ABC的外接圆的半径R=·=1. 又S=ah=,即bc=1. 又b+c=2,所以b=c=1, 所以sin B=sin C==,所以B=C=,所以A=. 考点二　三角形中的中线 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; [解]　在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4. 在△ABD中,∠ADB=,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即c2=4+1-2×2×1×(-)=7,解得c=,则cos B==, sin B===, 所以tan B==. (2)若b2+c2=8,求b,c. [解]　在△ABD与△ACD中,由余弦定理得 整理得a2+2=b2+c2,而b2+c2=8,则a=2. 又S△ADC=××1×sin∠ADC=,解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π,于是∠ADC=,所以b=c==2. 方法总结 在△ABC中,AD是边BC上的中线, (1)余弦定理法: 在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2BD·AD·cos∠ADB,① 在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,② ①+②得到AB2+AC2=2(BD2+AD2). (2)向量法:=(+),=(b2+c2+2bccos∠BAC). (3)中线公式: 在△ABC中,BC边上的中线和三边有如下关系 AD= 跟踪训练 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=-. (1)求C; 解:由cos B=-,得2ccos B=2a-b, 利用正弦定理得2sin Ccos B=2sin A-sin B,即2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B, 化简得sin B=2sin Bcos C. ∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cos C=. 又∵C∈(0,π),∴C=. (2)已知b=2,设D为边AB的中点,若CD=,求a. 解:∵D为边AB的中点,∴=(+), 则==(++2·)=(4+a2+2×2×a×cos), 化简得a2+2a-24=0,解得a=4或-6(舍). 考点三　三角形中的角平分线 [例3]　(2026·湖南长沙模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a+b=2ccos B. (1)求C; [解]　由2a+b=2ccos B, 根据正弦定理,得2sin A+sin B=2sin Ccos B, 则2sin(B+C)+sin B=2sin Ccos B, 所以2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B=2sin C·cos B,整理得(2cos C+1)sin B=0. 因为B∈(0,π),所以sin B≠0, 因此cos C=-. 又C∈(0,π),所以C=. (2)若角C的平分线CD交AB于点D,AD=3,DB=,求CD的长. [解]　因为CD是角C的平分线,AD=3,DB=, 所以在△ACD和△BCD中,由正弦定理,得=,=, 因此==3,即sin B=3sin A,所以b=3a. 又由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos∠ACB, 即(4)2=a2+9a2+3a2, 解得a=4,所以b=12. 又S△ABC=S△ACD+S△BCD, 即absin∠ACB=b·CD·sin∠ACD+a·CD·sin∠BCD, 所以CD=3. 方法总结 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC,B,C所对的边分别为a,b,c. 因为S△ABD+S△ACD=S△ABC, 所以c·ADsin+b·ADsin=bcsin ∠BAC, 所以(b+c)AD=2bccos, 整理得AD=(角平分线长公式). 跟踪训练 3.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　　.   2 解析:记AB=c,AC=b,BC=a. 法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6, 因为b>0,解得b=1+.由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得, ×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°, 解得AD===2. 法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,解得b=1+. 由正弦定理可得,==,解得sin B=,sin C=. 因为1+>>2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°. 又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2. 角平分线定理和中线长定理 教材延展 角平分线定理 在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则=.   进而得到(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理). (2)==. 张角定理 在△ABC中,D为BC边上的一点,连接AD,若∠BAD=α,∠CAD=β,   则+=. 中线长定理 在△ABC中,AD为BC边上的中线,则 AB2+AC2=2(AD2+DC2).  [例]　(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=7,b=8,c=9,则AC边上的中线长为　　　　　.   7 [解析]　法一:在△ABC中,设BD是AC边上的中线,由中线长定理知, AB2+BC2=2(BD2+DC2), 即c2+a2=2(BD2+b2), 则BD2=-=-=49,所以BD=7, 故AC边上的中线长为7. 法二:因为a=7,b=8,c=9,由余弦定理得cos B===. 设BD是AC边上的中线,则=(+), 两边平方得=(+2·+) =×(81+2×9×7×+49)=49, 所以||=7,即AC边上的中线长为7. (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的平分线.若∠BAC=,AD=2,则2b+c的最小值为　　　　　　　.   6+4 [解析]　∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD =∠BAC=, 由张角定理得=+, 即=+,∴+=, ∴2b+c=(2b+c)(+)×2 =6++≥6+2 =6+4(当且仅当=,且+=,即c=b=2+2时取等号). 跟踪训练 已知AD是△ABC的角平分线,AB=3,AC=5,∠BAC=120°,则AD的长为 　　　　　.   解析:法一:∵AD是△ABC的角平分线,且∠BAC=120°, ∴∠BAD=∠CAD=60°. ∵S△ABD+S△CAD=S△ABC, ∴AB·ADsin∠BAD+AC·ADsin∠CAD=AB·ACsin∠BAC, 即×3AD×+×5AD× =×3×5×, 解得AD=. 法二:由张角定理得+=,即+=,解得AD=. $