第五十九讲 平面向量的应用 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了平面向量应用专题核心考点，以三角形四“心”（重心、内心、外心、垂心）向量形式为核心，按概念、定理（奔驰定理）、推论及常见结论构建知识网络，通过必掌握知识点梳理和分题型任务设计，引导学生自主推导判定规律，形成完整认知体系。 亮点在于诊断性题型训练与分层巩固设计，如必考题型分重心、外心等八类，每类配典型例题，开篇知识点梳理与结尾巩固提升题形成闭环，培养数学思维与数学语言素养。学生可通过题型训练自主诊断薄弱点，教师能依据题型分布精准指导，助力高效备考与因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第五十九讲 平面向量的应用 【学习目标】知道三角形四“心 ”向量形式，并会解决相关问题. 【学习重点】关于三角形的“心 ”的向量问题. 【学习难点】关于三角形的“心 ”的向量问题 必掌握知识点： 1．四心的概念： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 2．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点． 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为． 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 3．三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 4．常见结论 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 必考题型全归纳： 题型一 重心向量判定（轨迹过重心） 1．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．已知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 3．已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 4．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5．（安徽省安庆市怀宁县新安中学2024届高三第二次质检考试数学试题）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 题型二 外心向量判定（垂直平分线） 6．已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 8．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 题型三 内心向量判定（角平分线、单位向量） 9．（上海市延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试卷）已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 10．若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型四 垂心向量判定（高线、数量积垂直） 12．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 13．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 14．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 题型五 奔驰定理（面积比例） 15．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 16．（河南郑州外国语学校等高中2025-2026学年高一下学期月考）在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（   ） A．点G为的重心，若，则 B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C．若点O为内一点，且，则 D．若，则的最大值为 17．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若是△内的一点，且，，分别表示，的面积，则 题型六 三角形形状判断 18．（河南省西华县第一高级中学2016-2017学年高一下学期第二次质量检测数学（文）试题）已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 19．在中， 为边上一点(不含端点)， ， 则（     ） A．1 B． C． D．2 20．已知非等向量与满足，且，则为（    ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．三边均不相等的三角形 题型七 欧拉线综合 21（多选）．（江苏省南通中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 题型八 向量与双曲线离心率综合大题 22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________ 23．（四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测理科数学试题）已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．双曲线，，为左右焦点，P为右支一点，平分线交于H点，且，求双曲线的离心率． 巩固提升： 1．已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（广西南宁市第二中学2019-2020学年高三3月模拟数学（理）试题）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．（广东省广州市广东实验中学越秀学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）设点是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．在中，，若，则为钝角三角形 C．已知点是平面上的一个定点，并且A，B，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心 D．已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是 5．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第五十九讲 平面向量的应用 【学习目标】知道三角形四“心 ”向量形式，并会解决相关问题. 【学习重点】关于三角形的“心 ”的向量问题. 【学习难点】关于三角形的“心 ”的向量问题 必掌握知识点： 1．四心的概念： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 2．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点． 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为． 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故． 3．三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 4．常见结论 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上． 为的内心． （2）外心：为的外心． （3）垂心：为的垂心． （4）重心：为的重心． 必考题型全归纳： 题型一 重心向量判定（轨迹过重心） 1．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】设为的中点，由向量的线性运算可得，代入已知条件计算可知，进而可得答案. 【详解】如图：设为的中点， 因为，由可得，， 所以三点共线，因为，所以点在射线上，所以点的轨迹一定通过的重心，故选：C. 2．已知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】A 【分析】作交与点，不妨设的底边上的中线，由可得答案. 【详解】 作交与点，不妨设的底边上的中线，所以，所以，因为， 则动点的轨迹一定通过的重心，故选：A. 3．已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】设D是BC的中点，由，，知，所以点P的轨迹是射线AD，故点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 【详解】如图，设D是BC的中点，∵，，∴，即∴点P的轨迹是射线AD，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选：A． 【点睛】本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 4．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 5．（安徽省安庆市怀宁县新安中学2024届高三第二次质检考试数学试题）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】结合图形，将题干条件变形为，从而得解. 【详解】记为的中点，连接，作，如图， 则，，因为， 所以， 所以点在三角形的中线上，则动点P的轨迹一定经过的重心.故选：D. 题型二 外心向量判定（垂直平分线） 6．已知是所在平面内的一定点，平面内动点满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】令的中点，利用向量的线性运算及数量积的运算律、数量积的定义计算判断. 【详解】令的中点，则，由， 得，即， 因此 ，则，点在的垂直平分线上， 所以动点的轨迹一定经过的外心.故选：B 7．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案. 【详解】设的中点为，因为， 所以，即，两端同时点乘，所以 ， 所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B. 8．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定等式，利用数量积运算律结合向量减法计算得判断作答. 【详解】由得：，即，则有，由，同理可得，因此，， 所以是的外心.故选：B 题型三 内心向量判定（角平分线、单位向量） 9．（上海市延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试卷）已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由，且为边上的高，及为角平分线上的单位向量，对原式化简可得. 【详解】设边上的高为，则， 由，得. 因为为角平分线上的向量，且， 所以动点P的轨迹一定通过的内心. 10．若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心. 【详解】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线，故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接，则，所以， 故三点共线，且，所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心.故选：B 11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】，，令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上，，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选：B 题型四 垂心向量判定（高线、数量积垂直） 12．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ，则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心.故选：B 13．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可. 【详解】如图所示，过点作，垂足为点． 则，同理， 动点满足，． ，． ， ，因此的轨迹一定通过的垂心．故选：D． 14．在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 【答案】A 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可. 【详解】由，得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心； 延长交于点，因为，，三点共线，则设（）， 且，， 代入，得， 即①， 又因为与共线，与、不共线， 则只能当且时，①成立， 即，则, 由正弦定理得：， 又，则， 即，又，所以， 则是的角平分线，即点在的角平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是内角平分线的交点，故是的内心；故选：A. 题型五 奔驰定理（面积比例） 15．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论． 解：为三角形内一点，且满足， ， ． ，故选：D． 16．（河南郑州外国语学校等高中2025-2026学年高一下学期月考）在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（   ） A．点G为的重心，若，则 B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C．若点O为内一点，且，则 D．若，则的最大值为 【答案】D 【分析】A项，利用重心到顶点和其对边中点的距离之比为 即可得到结果； B项，使用二次方程的性质证明若 有两解则 ，在 的条件下构造出两解即可；C项，利用向量之间的比值 即可求出面积比； 项，直接证明 即可否定结论. 【详解】选项A：点为的重心，设中点为，则， 故，即，，所以，A正确； 选项B：首先，且必有两种可能的取值，而满足，即， 故关于的方程必有两个不同的正数解，从而判别式为正数，且两根之积为正数，即，，结合，得， 另一方面当时，确有两解，所以的取值范围是，B正确； 选项C：若点为内一点，且，延长交于点， 故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而，即，所以，故，C正确； 选项D：由于， 故由数量积定义得， 由余弦定理化为， 整理得，则，当且仅当时等号成立.故，即最大值为，D错误. 17．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则点为的垂心 C．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的内心 D．若是△内的一点，且，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，得出，然后可判断A的正误；根据向量的数量积运算可得出点是中垂线的交点，然后可判断B的正误；先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定，判断与的角平分线的关系，然后可判断C的正误；取的中点，可根据条件得出，且，然后即可判断D的正误． 【详解】对于A：如图，取的中点，连接，则， ，，三点共线，是的中线，且， 为的重心，故A正确； 对于B：，，即 又，，即， 则，是的外心，故B错误； 对于C：、分别表示向量、方向上的单位向量， 的方向与的角平分线重合， 又可得到 向量的方向与的角平分线重合， 一定通过的内心，故C正确； 对于D：如图：，分别是，的中点， ，， ，，， 则，故D正确．故选：ACD． 题型六 三角形形状判断 18．（河南省西华县第一高级中学2016-2017学年高一下学期第二次质量检测数学（文）试题）已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由题可得既是的外心又是重心进而即得. 【详解】由得是的重心， 由得是的外心，故重心与外心重合，所以是等边三角形.故选：D. 19．在中， 为边上一点(不含端点)， ， 则（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先将条件进行化简并得出，进而通过转化法求出平面向量数量积. 【详解】由题意，，即. 因为点D在BC上，所以，于是.故选：C. 20．已知非等向量与满足，且，则为（    ） A．等腰非等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．三边均不相等的三角形 【答案】A 【解析】由的几何意义结合已知可得，即可得出结论. 【详解】不妨设， 即为角平分线所在直线上的向量， 又，，又， 所以为等腰非等边三角形.故选：A. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握向量的几何意义是解题的关键，属于中档题 题型七 欧拉线综合 21（多选）．（江苏省南通中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】对A：由是的重心可得， 所以，故A项错误； 对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确．故选:BCD. 题型八 向量与双曲线离心率综合大题 22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________ 【答案】 【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据双曲线离心率的定义求解即可. 【详解】设直线交轴于点，如图， 设的外接圆半径为，由， 有， 故，所以直线过的内心， 设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、， 由切线长定理可得，，， 所以，， 结合图形可得，所以，， 故的内心的横坐标为，因为点在直线上，所以点为的内心. 由可得， 所以，，记， 设，则，所以，， 所以，点在直线上，又因为，故点与点重合， 且有，由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等， 故，同理可得， 令，则，且， 故.则双曲线的离心率.故答案为：. 【点睛】：解本题的关键在于推导出点为的内心，再结合角平分线定理推导出，以及，再利用双曲线的定义来进行求解. 23．（四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测理科数学试题）已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解. 【详解】因为，所以是的角平分线， 又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点， 则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心， 如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得， ，，可知为的重心， 设，，，由重心性质可得， 即， 又为的内心，所以， 因为，所以，，则， 所以双曲线的离心率.故选：C. 24．双曲线，，为左右焦点，P为右支一点，平分线交于H点，且，求双曲线的离心率． 【答案】5 【分析】首先确定各点坐标的形式，因为是双曲线焦点，所以可写出其坐标为、；设，设，其中，将各向量用坐标表示后，得到、关于的表达式， 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，列出距离相等的等式，结合双曲线的定义以及双曲线方程，同时利用，联立上述所有关系消去，得到关于的等式，进而求解离心率. 【详解】已知双曲线 ，左右焦点 ，（，离心率 ）， 在直线 上，设，（ 在右支，）. 向量关系：， 根据向量定义，，， 代入得： ， 整理得： ， 对横坐标相等： 化简得：(1) 对纵坐标相等： 化简得： (2) 因为是的角平分线，所以角平分线上的点到、的距离相等，记为， 则： ， 因此面积比等于边长比：， 对三点 ，面积， 代入得：， 将(1)(2)代入绝对值内的表达式，详细化简： 因此 同理计算：， 同样代入化简： 取绝对值得： 因此面积比： 即得边长比：(3) 根据双曲线定义， 在右支，所以：(4) 联立(3)(4)，设，，得， 因此： 由双曲线右支焦半径公式：，代入得：， 将 ， 代入上式： 两边乘整理：， 两边除以，令，得一元二次方程： 解得或，根据三角形三边关系：， 即，因此舍去，最终得离心率. 巩固提升： 1．已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】将提取出来, 转化成, 而表示与共线的向量, 点是的中点, 故的轨迹一定通过三角形的重心. 【详解】 设 ， ，，而 表示与共线的向量 而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C 2．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：C. 3．（广西南宁市第二中学2019-2020学年高三3月模拟数学（理）试题）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出的轨迹经过重心. 【详解】设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， 根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线， 此对角线与三角形中线重合，所以在三角形的中线上，也即点的轨迹一定通过三角形的重心.故选：C 【点睛】本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题. 4．（广东省广州市广东实验中学越秀学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题）设点是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．在中，，若，则为钝角三角形 C．已知点是平面上的一个定点，并且A，B，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心 D．已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是 【答案】D 【分析】利用向量减法法则判断A；求出向量夹角判断B；利用向量加法的平行四边形法则推理判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，，则为等边三角形，A正确； 对于B，由，即，得，则为钝角，B正确； 对于C，由分别表示向量方向上的单位向量， 得的方向与的角平分线方向一致，由， 得，又，则向量的方向与的角平分线方向一致， 因此点的轨迹一定通过的内心，C正确； 对于D，当时，，此时与同向，夹角不是锐角，D错误. 故选：D 5．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 【答案】C 【分析】设△ABC的重心为G，则，结合题设，利用平面向量的运算法则可得，即G、P、C三点共线，从而可得结果. 【详解】设△ABC的重心为G，∵， ∴ ， ∴，∴G、P、C三点共线，故选C． 【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $