专题五 一元函数的导数及其应用03导数与函数的极值 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与函数极值专题，涵盖极值定义、图像关系、求极值及参数问题等核心考点，通过问题链和任务驱动引导学生从概念到应用自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于诊断性变式训练和进阶式应用设计，如类型一通过导函数图像题培养数学眼光，类型四参数范围问题发展数学思维。每个类型配有自测题与真题演练，帮助学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，助力因材施教。

高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数 03导数与函数的极值 1、 考情分析 高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题． 2、 知识梳理 知识点一 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 三、类型应用 类型一 函数（导函数）图像与极值（极值点）的关系 例1：已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 变式训练1-1：已知函数的导函数为，若函数的图象如图所示，则的极小值点为（    ） A． B．0 C．或 D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，判断函数的极小值点. 【详解】由图可知，当时，， 当时，，当且仅当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而的极小值点为. 故选：D 变式训练1-2：函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时，， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 变式训练1-3：如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】ABD 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 变式训练1-4：下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数极值的辨析 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 变式训练1-5：函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【知识点】函数极值的辨析 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 变式训练1-6：（2025·全国·模拟预测）设是上的可导函数，甲：“在区间上存在极值”，乙：“，使得”，则（   ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数极值点的辨析 【分析】根据极值点定义或举例判断，再结合充分条件和必要条件的定义即可得答案. 【详解】因为是上的可导函数，根据可导函数取得极值的必要条件可知，若在区间上存在极值， 则，使得，所以甲是乙的充分条件． 若，使得，则在区间上不一定存在极值， 比如，， 则，函数在上单调递增，无极值， 所以甲不是乙的必要条件． 故选：B． 类型二求函数的极值（极值点） 例2：已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数极值的辨析、函数极值点的辨析 【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项. 【详解】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1． 故选：A． 变式训练2-1：函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当或时，可得；当时，， 所以在递增，在递减， 所以是函数的极大值点. 变式训练2-2：函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 变式训练2-3：已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 变式训练2-4：已知函数． 若，求的极值； 【答案】极小值，无极大值 【知识点】求已知函数的极值 【分析】原函数求导，算出单调区间，即可求函数极值 【详解】当时，，， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数只有极小值，为； 变式训练2-5：（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可； 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. 变式训练2-6：已知函数．求函数的极小值； 【答案】 【知识点】利用导数求已知函数的极值 【分析】利用导数研究函数的极小值点，从而求得极小值； 【详解】由，得，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以． 类型三 已知极值（极值点）求参数的值 例3：（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【知识点】求函数值、导数的运算法则、根据极值点求参数 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 变式训练3-1：已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）先通过求导得到切线斜率，再计算切点处的函数值，最后用点斜式写出切线方程即可； (2)求导找到函数的极值点，求出极大值与极小值，由题意列方程，求解方程即得参数值. 【详解】（1）当 时，， 所以，则， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）的定义域为，因， 令，得或，列表如下： 3 0 + 0 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，并且极小值为， 当时，有极大值，并且极大值为， 因为的极大值与极小值之和为16， 所以，解得. 变式训练3-2：已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】先对函数求导，利用极值点的导数等于0求出的可能值，再利用导数分析函数的单调性讨论求出． 【详解】函数求导得， 由题意知， 则，解得或， 当时，， 由或；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值. 当时，， 由或；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 满足条件的是． 变式训练3-3：函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】A 【知识点】导数的加减法、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值的辨析、根据极值求参数 【分析】根据极值点的导数为0和极值点处的函数值条件求出的值，再进行验证即可求解. 【详解】，由题意得， 即，解得或， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 所以时，取得极大值，不符合题意； 所以，. 故选：. 变式训练3-4：若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【详解】由题意可知，， 由，解得. 当时，， 或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 显然是的极小值点，不符合题意； 当时，，同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意， 故是的极小值点，则的极小值为. 类型四 已知函数极值点个数求参数范围 例4：已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】对于函数，先对其求导，因为函数有两个不同的极值点，那么其导数等于零的方程有两个不同的正根，由此可通过二次函数的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 对求导可得：. 因为函数有两个不同的极值点，所以在上有两个不同的实根， 即方程在上有两个不同的实根. 设，此方程为二次方程，要使其在上有两个不同正实根， 需满足以下条件：二次项系数不为零：， 因为若，则，为一次函数，最多有一个零点，不符合题意. 判别式：所以，解不等式得到. 两根均大于零：根据韦达定理，在中， 两根满足，，解得； 综合以上三个条件，的取值范围是.   故选：B. 变式训练4-1：若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】对函数求导，将函数有极大值和极小值问题转化导函数为有两个不相等正根问题，结合判别式和韦达定理求解即可. 【详解】因为，定义域为， 所以， 因为函数既有极大值也有极小值， 所以方程有两个不相等的正根，设两根为， 则有，解得， 所以的取值范围为， 故选：A. 变式训练4-2：已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】利用导数，结合分类讨论研究函数的极值，即可求参数范围. 【详解】因为函数，（） 则，令得或， 当时，不在函数的定义域内，不符合条件； 当时， 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极小值，不符合； 若，在上，单调递增，不存在极值，不符合； 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极大值. 故选：B 变式训练4-3：已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由函数在上有两个极值点， 可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根； 令，则， 由得； 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 即函数在上单调递减，在上单调递增；故； 又由在上有两不等实根， 即与曲线的图像有两不同交点， 结合图像可得. 变式训练4-4：已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根、函数极值点的辨析、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】由题可得，恰有一个零点.求导并分离参数，构造新函数，将问题转化为直线与函数的图象恰有一个交点，利用导数分析函数的取值情况可得. 【详解】函数的定义域为. . 由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根. 即方程恰有一个变号实数根. 令，则直线与函数的图象恰有一个交点. . 当时，，，，函数单调递增； 当时，，，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为. 又当时，，所以；， 所以函数的图象如下： 所以或. 当时，. 令，则，在上单调递减. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立. 所以是减函数，无极值点. 所以实数的取值范围为. 类型五 求含参函数的极值 例5：（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先对函数求导，根据导数几何意义得到曲线在点处的切线斜率，再结合切线与直线垂直的条件，求出的值，进而得到切线方程； （2）先对函数求导，然后根据导数的正负性判断函数的单调性，最后根据单调性求出函数的极值. 【详解】（1）由已知，，定义域为， 则， 因为曲线在处与直线垂直， 所以切线的斜率为1，即， 所以，解得，此时， 故所求的切线方程为． （2）由（1）得，， ①当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，，函数单调递增； 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． ②当时，则， 所以函数在定义域上单调递增，此时没有极值点，故无极值． ③当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． 综上，当时，的极大值是，极小值是； 当时，没有极值； 当时，的极大值是，极小值是． 变式训练5：已知函数. 求的单调区间与极值点； 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值点 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合极值定义分类讨论进行求解即可； 【详解】， 当时，在恒成立， 所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值； 当时，令得，所以的单调增区间是， 得，单调减区间是， 的极大值点是，无极小值点； 类型六 数学情境 1.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则当时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】根据极值求参数、三角函数在生活中的应用 【分析】根据题意先求解出函数f(t)的解析式，再结合函数的极值求解出参数的取值范围. 【详解】根据点A的坐标)可得圆周的半径 又旋转一周用时6秒，所以周期，从而得 ，又点 时，在函数图像上 ，且 ， 根据三角函数的性质，在内恰有两个极大值时， ，解得 故答案为：. 2.阻尼器是一种以提供运动的阻力从而达到减震效果的专业工程装置，从20世纪70年代起，人们逐步地把这种装置运用到建筑、桥梁、铁路等结构工程中．某阻尼器的运动过程可看作简谐运动，其离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为，该函数的部分图象如图所示，其中，，则下列区间包含的极大值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数极值的辨析、求cosx（型）函数的最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】由求出，再求出的取值，结合函数的周期确定的值，即可求出函数解析式，再根据余弦函数的性质求出函数的最大值点，即可判断. 【详解】依题意，则，又点在函数的单调递减区间上， 结合余弦函数图象可知，，， 又，结合图形可知，， 解得，，， 又，即，即，解得，所以， 则，， 化简可得， 令，，解得，， 所以当，时函数取得最大值， 当时. 故选：C 3、 素养提升 1.函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数与导函数图象之间的关系、函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 2.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、求已知函数的极值点 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 3.已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【详解】，由题意且为导函数（二次函数）的唯一零点 所以，联立解得，则. 4.已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数极值的辨析 【分析】若函数有极值，则有变号零点，进而求的取值范围可得结果. 【详解】， 函数的图象关于直线对称， 则有极值的充要条件是，解得. 于是“”是“有极值”的充分不必要条件. 故选：A 5.已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 6.（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 7.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题五 一元函数的导数 03导数与函数的极值 1、 考情分析 高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题． 2、 知识梳理 知识点一 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有 ，右侧有 ，则称为的极 值点，叫做函数的极 值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有 ，右侧有 ，则称为的极 值点，叫做函数的极 值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 三、类型应用 类型一 函数（导函数）图像与极值（极值点）的关系 例1：已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 变式训练1-1：已知函数的导函数为，若函数的图象如图所示，则的极小值点为（    ） A． B．0 C．或 D． 变式训练1-2：函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练1-3：如图是导函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 变式训练1-4：下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 变式训练1-5：函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 变式训练1-6：（2025·全国·模拟预测）设是上的可导函数，甲：“在区间上存在极值”，乙：“，使得”，则（   ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 类型二求函数的极值（极值点） 例2：已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 变式训练2-1：函数的极大值点为（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 变式训练2-3：已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 变式训练2-4：已知函数．若，求的极值； 变式训练2-5：（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； 变式训练2-6：已知函数．求函数的极小值； 类型三 已知极值（极值点）求参数的值 例3：（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 变式训练3-1：已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若的极大值与极小值之和为16，求实数的值. 变式训练3-2：已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 变式训练3-3：函数在处有极小值5，则（   ） A． B． C．或 D．或3 变式训练3-4：若是函数的极大值点，则的极小值为（   ） A． B． C． D．0 类型四 已知函数极值点个数求参数范围 例4：已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-1：若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练4-2：已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式训练4-3：已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练4-4：已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 类型五 求含参函数的极值 例5：（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 变式训练5：已知函数.求的单调区间与极值点； 类型六 数学情境 1.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则当时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是____________． 2.阻尼器是一种以提供运动的阻力从而达到减震效果的专业工程装置，从20世纪70年代起，人们逐步地把这种装置运用到建筑、桥梁、铁路等结构工程中．某阻尼器的运动过程可看作简谐运动，其离开平衡位置的位移（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为，该函数的部分图象如图所示，其中，，则下列区间包含的极大值点的是（    ） A． B． C． D． 3、 素养提升 1.函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 2.已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 3.已知函数若，且不是的极值，则（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 6.（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 7.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $