第3章 勾股定理 单元检测（A／B双卷）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

八年级上册 第3章 勾股定理 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第3章 勾股定理 单元检测（A／B双卷） 苏科版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第3章 勾股定理） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：苏科版（2024）八年级上册第3章 勾股定理（3.1～3.3）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：勾股定理与正方形面积、已知两边求第三边、勾股定理的证明（拼图与面积）、勾股定理的逆定理、勾股数、数轴与方格中的长度、勾股定理的实际应用、方程思想（折叠与未知边）等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 勾股定理一章的十一个考点列在左栏，右边两栏标出每个考点落在A卷、B卷的哪几道题。同一行里A卷的题偏重直接计算与判定，B卷的题多了分类、展开、翻折与动点；学生订正时对照本表，错题集中在哪一行，就把那一行对应的3.1～3.3中的小节重看一遍。 本章考点 A卷题号 B卷题号 勾股定理与正方形面积 1，10 1，8，13 已知两边求第三边 2，8，11，16，17，20 5，6，7，8，12，16，20 勾股定理的证明（拼图与面积） 5，10 13，17 勾股定理的逆定理 4，12，13，20，21，23 3，4 勾股数 7，9 — 数轴与方格中的长度 13，21 3，15，17 勾股定理的实际应用 3，6，8，18，19，22，23 2，11，18，21 方程思想（折叠与未知边） 14，15，19，22 14，18，20，21，22 最短路径 — 10 分类讨论 15 9，10，22，23 勾股定理与逆定理的综合应用 15，17，23 19，23 本章知识要点速览 勾股定理这一章要记牢的九条结论整理如下，每条后面写了做题时的用法。复习时先读左栏的名称，自己说出结论和典型用法，再与右栏比对，说不全的条目在书上做记号。 序号 知识要点 掌握要求 1 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：若直角边为a，b，斜边为c，则a²＋b²＝c²；用之前先认准直角和斜边 2 勾股定理的证明 用4个全等的直角三角形拼图（赵爽弦图等），同一个图形的面积用“整体”和“分块相加”两种方法表示，化简得a²＋b²＝c² 3 正方形面积与勾股定理 以直角三角形三边为边的正方形，面积分别是a²，b²，c²，斜边上的正方形面积等于另两个的和 4 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角 5 勾股数 满足a²＋b²＝c²的三个正整数叫作勾股数；ka，kb，kc（k为正整数）仍是勾股数；m²－n²，2mn，m²＋n²（m＞n）是勾股数 6 数轴与方格中的长度 格点线段长：横、纵格数作直角边；在数轴上表示：画直角边为整数、斜边平方为n的直角三角形，再用圆规画弧 7 实际应用与方程思想 把实际问题中的竖直与水平、折叠前后相等的线段放进直角三角形；只知道边之间的关系时设未知数列方程 8 最短路径 立体表面的最短路径先展开成平面，再用“两点之间线段最短”，各种展开方式都要比较；点到直线“垂线段最短” 9 分类讨论 只给两边未指明斜边、没有图时高的位置、等腰三角形哪两边相等、动点在哪条边上，都要分情况讨论 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，小区里一块直角三角形花圃ABC中，∠ACB＝90°，以两条直角边AC，BC为边各修了一块正方形花坛，面积分别为27m²和37m²。若以斜边AB为边在外侧再修一块正方形花坛（图中面积记为S），则S（单位：m²）为(____)。 A．10 B．8 C．64 D．32 2．（本题3分）如图，一块直角三角形钢板DEF的直角顶点为E，量得直角边DE＝33cm，EF＝44cm，工人要沿斜边DF切割，切口DF的长为(____)。 A．55cm B．77cm C．11cm D．3025cm 3．（本题3分）如图，操作员站在水平地面上的点C处操控一架无人机，无人机悬停在地面上点A的正上方B处。测得AC＝143m，操作员与无人机之间的距离BC＝145m（操作员身高忽略不计），则无人机离地面的高度AB为(____)。 A．2m B．288m C．576m D．24m 4．（本题3分）木工师傅想钉一个带直角的三角形木条框。下面四种木条搭配中（单位：cm），钉成后一定有一个角是直角的是(____)。 A．40，45，60 B．42，56，70 C．25，60，64 D．70，80，90 5．（本题3分）如图，把四张相同的直角三角形纸片（直角边a，b，斜边c）沿外框摆放，外框围成一个大正方形，里面空出一个斜放的、边长为c的正方形。用两种算法表示外框大正方形的面积来推出勾股定理，应列出的等式是(____)。 A．(a＋b)²＝½ab＋c² B．(a＋b)²＝4ab＋c² C．c²＝4×½ab＋(a＋b)² D．(a＋b)²＝4×½ab＋c² 6．（本题3分）如图，学校的训练场是长方形ABCD，边AB长30m，边BC长72m。体育课上从A角跑向C角，走斜线AC比先跑AB再跑BC少跑(____)。 A．102m B．24m C．78m D．42m 7．（本题3分）已知x是正整数，且19，x，x＋1（x＞19）三个数构成一组勾股数，则这组勾股数中最大的数是(____)。 A．181 B．180 C．361 D．181.5 8．（本题3分）如图，三角形标志牌ABC的两条边AB与AC相等，三边长的和是32.4dm，BC＝11.2dm，从点A向BC作垂线段AD，那么标志牌的面积（单位：dm²）是(____)。 A．100.8 B．59.36 C．50.4 D．28 9．（本题3分）取两个正整数m＞n，把m²-n²，2mn，m²+n²作为三边长，得到的三个数总是一组勾股数。已知按这种办法得到的某组勾股数里，2mn这一项等于24，那么满足条件的勾股数一共有(____)组。 A．1 B．3 C．2 D．6 10．（本题3分）如图，四块一样的直角三角形瓷砖围着一块正方形小瓷砖，恰好铺成一个正方形图案（赵爽“弦图”）。每块直角三角形瓷砖两条直角边的长度和为23，正方形小瓷砖的面积为9，整个大正方形图案的面积为(____)。 A．529 B．538 C．260 D．269 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，一部货运电梯的轿厢底板是长方形ABCD，量得长BC＝4.8m，宽AB＝2m，搬运工想把一根细长的钢管平放在底板上，钢管最长可以是________m（钢管粗细不计）。 12．（本题3分）△DEF的三边长分别为DE＝5.5，EF＝13.2，DF＝14.3，则△DEF中的直角是________。 13．（本题3分）如图，从格点C出发，向左2格、向上3格到格点A，向右6格、向上4格到格点B（每个小方格的边长为1），连成△ABC，则∠ACB＝________°。 14．（本题3分）如图，一座斜拉桥的索塔OA竖直立在桥面上，一根拉索从塔顶A拉到桥面上的点B，拉索AB比塔高OA长6m，点B到塔底O的距离OB＝36m，则塔高OA＝________m。 15．（本题3分）如图，已知△ABC三边的长：AB＝25，BC＝63，AC＝74。从顶点A向BC所在直线作垂线，垂线段的长为________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边，完成下列计算： (1)a＝6.3，b＝8.4，求c； (2)c＝10.2，a＝4.8，求b。 17．（本题9分）如图，两块直角三角形纸板拼成四边形ABCD：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝7；在Rt△ACD中，∠D＝90°，CD＝2，两块纸板的斜边都是AC。 (1)求AD的长； (2)求四边形ABCD的面积。 18．（本题9分）如图，甲、乙两人同时从十字路口O出发，甲骑自行车沿正东方向行驶，速度为210m/min；乙沿正南方向步行，速度为112m/min。 (1)出发5min后，甲到达点A，乙到达点B，求此时两人之间的距离AB； (2)出发多少分钟后，两人相距2.38km？ 19．（本题9分）如图，有一张长方形纸片ABCD，它的边AB长27cm，AD长36cm，BD是它的一条对角线。在边AD上取一点E，沿BE把△ABE翻折过去，点A的对应点F恰好落在对角线BD上。 (1)求BD和DF的长； (2)求AE的长； (3)求△DEF的周长。 20．（本题9分）如图，三角形钢架ABC的底边BC上有一点D，一根钢条AD把顶点A与点D相连，量得AB＝29，AD＝21，BD＝20，AC＝75。 (1)求证：AD⊥BC； (2)求DC的长和△ABC的面积。 21．（本题10分）如图，在方格纸上，点A向右平移3格、再向上平移1格得到点B（每个小正方形的边长为1）。 (1)求线段AB的长（结果用根号表示）； (2)在方格纸中画出所有满足条件的格点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且CA＝CB； (3)用割补法求(2)中一个△ABC的面积，并用勾股定理的逆定理检验∠ACB＝90°。 22．（本题10分）如图，秋千的绳OA固定在点O处，秋千静止时，踏板在点A处，离地面0.5m；把秋千推到踏板位于点B处（绳始终拉直），此时踏板到绳OA的距离BC＝3.3m，踏板离地面1.4m（踏板厚度忽略不计）。 (1)求秋千绳的长； (2)若把踏板推到离绳OA的距离为5.6m处，此时踏板离地面多高？ 23．（本题13分）如图，社区绿地ABC的边界由三段直路围成，测得AC＝66m，BC＝88m，AB＝110m。 (1)求∠ACB的度数； (2)求这块绿地的面积； (3)要从点C修一条通往AB边的小路CE（点E在AB上），使小路最短，求CE的长和AE的长； (4)若修这条小路每米造价250元，求修小路的总造价。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，Rt△ABC的斜边AB＝9（∠C为直角），那么三条边的平方和AB²+BC²+AC²等于(____)。 A．81 B．162 C．243 D．27 2．（本题3分）如图，一段登山缆车的缆索AB长290m，缆索两端的水平距离AC为288m，BC⊥AC，则缆车从A到B上升的高度BC为(____)。 A．2m B．578m C．34m D．1156m 3．（本题3分）如图，A，B，C，D是方格纸上的四个格点（小方格的边长为1），任取其中三点连成三角形，共得到△ABC，△ABD，△ACD，△BCD。其中有一个直角的是(____)。 A．△ABC B．△ABD C．△ACD D．△BCD 4．（本题3分）证明“三边长a，b，c满足a²+b²＝c²的△ABC是直角三角形”时，先画一个直角三角形DEF，使∠F＝90°，EF＝a，DF＝b，由勾股定理得DE＝c，再说明△ABC与△DEF全等。说明全等所依据的判定方法是(____)。 A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 5．（本题3分）如图，一座展棚的正面轮廓是△ABC，AB＝AC＝19.3m，地面宽BC＝33.6m，从棚顶A垂下一根竖直的吊绳，下端D恰好落在BC上，则吊绳AD的长为(____)。 A．2.5m B．90.25m C．9.65m D．9.5m 6．（本题3分）如图，一块直角三角形玻璃ABC的直角边AC＝5.7dm，BC＝7.6dm，要从直角顶点C沿垂直于AB的方向切一刀，切口CD的长为(____)。 A．9.5dm B．21.66dm C．4.56dm D．6.65dm 7．（本题3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB是直角，从点C分别作斜边AB上的高CD和中线CE，量得CD＝9.6，DE＝4，那么斜边AB＝(____)。 A．20.8 B．10.4 C．27.2 D．13.6 8．（本题3分）如图，Rt△ABC的两条直角边AC＝6，BC＝5，在斜边AB的外侧拼接一个以AB为边的正方形ABDE，得到五边形ACBDE，它的面积是(____)。 A．61 B．91 C．121 D．76 9．（本题3分）有一块铁皮，形状是直角三角形ABC（∠ACB为直角），量得AC＝7.2，BC＝4.5。把直角边BC向两端延长成一条直线，在这条直线上找一点D，量得AD＝15.3，那么B，D两点之间的距离为(____)。 A．9 B．18 C．9或18 D．13.5 10．（本题3分）如图是一个长方体包装盒，AB＝6，BC＝4，AE＝6，点M是棱CG的中点。一只甲虫从顶点A沿盒子表面爬到M（六个面都可以爬），爬行路程最短是(____)。 A． B． C． D．13 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，一根竖直的路灯杆用一根拉线AC固定，拉线长11.5m，拉线的下端C到路灯杆底端B的距离为6.9m，则拉线的上端A离地面的高度AB为________m。 12．（本题3分）用一根长6的木棍作斜边，再配两根等长的木棍作直角边，围成等腰直角三角形，它的面积是________。 13．（本题3分）如图是由4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，每个直角三角形较短的直角边长为2，较长的直角边长为7，则大正方形与中间小正方形的面积之差为________。 14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝8，M是BC的中点。将△ABC沿直线DF折叠（点D在AC上，点F在AB上），顶点A恰好落在点M处，则CD的长为________。 15．（本题3分）如图，O为原点，数轴上的点A表示1，点C表示6，在点C处向上作线段CB＝2（CB⊥数轴）。以点A为圆心、AB长为半径画圆，圆与数轴有两个交点P，Q（P在左、Q在右），P，Q表示的数分别是________，________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）下面两个直角三角形中，x表示一条边的长，分别求出x： (1)两条直角边为6.4和12，斜边为x； (2)斜边为7.8，两条直角边为3和x。 17．（本题9分）如图，格点A，B之间横向相距3格、纵向相距2格（每个小方格的边长为1）。 (1)以AB为一边，在AB的左上方画出正方形ABCD，使点C，D都在格点上； (2)用割补法求正方形ABCD的面积，并写出AB²的值； (3)连接AC，求AC²，并验证AB²+BC²＝AC²。 18．（本题9分）如图，小丽在水平地面上放风筝，手握线的点P离地面1.2m，PR是过点P的水平线，点R在风筝Q的正下方，QR⊥PR。量得PR＝40m，放出的风筝线PQ（看作线段）比QR长10m。 (1)求QR的长； (2)求风筝Q离地面的高度和风筝线PQ的长。 19．（本题9分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交成直角，垂足记为O。 (1)求证：AB²+CD²＝AD²+BC²； (2)若AB＝9，BC＝7，CD＝2，求AD的长。 20．（本题9分）如图，△ABC的两条边AB，AC相等，从顶点B向AC作垂线段BD，量得BD＝7，点D离顶点C只有1个单位长度（CD＝1）。 (1)求AB的长； (2)求△ABC的面积； (3)求AB边上的高。 21．（本题10分）如图，苗圃ABC呈三角形，测得三条边AB＝58m，AC＝104m，BC＝138m。为方便浇水，要从顶点A铺一条垂直于BC的水管AD（点D在BC上）。 (1)求BD的长和水管AD的长； (2)求苗圃的面积； (3)水管的价格是每米45元，买够这条水管要花多少元？ 22．（本题10分）如图，△ABC中∠ACB为直角，已知AC＝5，BC＝3，直线AC上另有一点P（P与A不重合）。 (1)求AB的长（结果用根号表示）； (2)当以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形时，求所有可能的AP的长。 23．（本题13分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36cm，AC＝48cm。点P以1cm/s的速度从点B出发，沿B，C，A的顺序依次经过边BC和CA，到达点A停止。设点P运动的时间为t s。 (1)求AB的长； (2)当点P在边CA上且BP＝39cm时，求t的值； (3)t取何值时，S△ABP恰好是S△ABC的四分之一？ 附：A卷命题双向细目表 A卷紧扣苏科版3.1勾股定理的探究、3.2勾股定理的逆定理、3.3勾股定理的简单应用：求边、拼图证明、判定直角、勾股数、格点作图、测量与列方程都设了专门的题，压轴的第23题围绕社区三角形绿地把逆定理、面积和垂线段最短串起来。从第1题到第23题难度逐步上升，勾股计算、判定、建模三类题交替出现，按基础、中档、较难三档依次有11，7，5道，花圃、无人机、秋千等生活情境题共10道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 勾股定理与正方形面积（花圃花坛） 基础 几何直观 2 选择题 3 已知两直角边求斜边 基础 运算能力 3 选择题 3 已知斜边与直角边求高（无人机测高） 基础 应用意识 4 选择题 3 勾股定理的逆定理（三根木条） 基础 推理能力 5 选择题 3 勾股定理的拼图证明（外框正方形） 基础 推理能力 6 选择题 3 长方形对角线的应用（训练场斜跑道） 基础 应用意识 7 选择题 3 勾股数（含字母的一组数） 中档 抽象能力 8 选择题 3 等腰三角形底边上的高与面积 中档 运算能力 9 选择题 3 勾股数的构造与计数 难 抽象能力 10 选择题 3 赵爽弦图中的面积关系 难 推理能力 11 填空题 3 长方形的对角线（电梯底板） 基础 运算能力 12 填空题 3 由三边找直角 基础 推理能力 13 填空题 3 方格纸中的直角判定 基础 几何直观 14 填空题 3 方程思想求高（斜拉桥索塔） 中档 模型观念 15 填空题 3 三边求高（垂足在形外） 难 模型观念 16 解答题 6 勾股定理的直接计算 基础 运算能力 17 解答题 9 四边形中两次用勾股定理 基础 运算能力 18 解答题 9 垂直方向运动的距离问题 中档 应用意识 19 解答题 9 翻折中的勾股定理（长方形纸片） 中档 模型观念 20 解答题 9 逆定理证垂直再求面积 中档 推理能力 21 解答题 10 方格中画等腰直角三角形（作图） 中档 几何直观 22 解答题 10 方程思想建模（秋千绳长） 难 模型观念 23 解答题 13 逆定理与面积的综合应用（社区绿地） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷的知识点与A卷相同，但每道中档题、较难题都要先想清楚再动笔：点在直线上的哪一侧、盒子怎样展开、折痕两侧哪些线段相等、对角线互相垂直时四边的平方怎样联系、等腰三角形哪两边相等，末题让点P沿直角三角形的两边走，分两段求面积。三档题量（基础／中档／较难）依次为11，7，5，与A卷相同，区别在每题要想的步数更多；缆车、风筝、苗圃等联系实际的题有6道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 勾股定理的整体代入 基础 几何直观 2 选择题 3 已知斜边与直角边求高（登山缆车） 基础 应用意识 3 选择题 3 方格中用逆定理找直角三角形 基础 几何直观 4 选择题 3 勾股定理逆定理的证明思路 基础 推理能力 5 选择题 3 等腰三角形底边上的高（展棚吊绳） 基础 运算能力 6 选择题 3 直角三角形斜边上的高（等积法） 基础 运算能力 7 选择题 3 斜边中线与高的综合 中档 运算能力 8 选择题 3 斜边上的正方形与组合面积 中档 几何直观 9 选择题 3 直线上定长点位置的分类讨论 难 推理能力 10 选择题 3 长方体表面的最短路径（到棱中点） 难 空间观念 11 填空题 3 已知斜边与直角边求高（路灯拉线） 基础 应用意识 12 填空题 3 等腰直角三角形的面积 基础 运算能力 13 填空题 3 弦图中的面积之差 基础 推理能力 14 填空题 3 三角形翻折中的方程思想 中档 模型观念 15 填空题 3 数轴上表示无理数（两侧交点） 难 几何直观 16 解答题 6 勾股定理的小数计算 基础 运算能力 17 解答题 9 方格中画正方形与割补法（作图） 基础 推理能力 18 解答题 9 方程思想求高（放风筝） 中档 模型观念 19 解答题 9 对角线垂直的四边形中的平方关系 中档 模型观念 20 解答题 9 等腰三角形腰上的高（方程） 中档 模型观念 21 解答题 10 三边求高的实际应用（三角形苗圃） 中档 应用意识 22 解答题 10 等腰三角形存在性的分类讨论 难 推理能力 23 解答题 13 动点分段中的面积问题 难 模型观念 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B D B A C A卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 B D 5.2 ∠E 90 105 24 B卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A D C A D B卷题号 9 10 11 12 13 14 15 答案 C A 9.2 9 28 7.5 1－，1＋ 　A卷　一、选择题 1．【答案】C 【解析】【分析】三块正方形花坛的面积分别等于BC²，AC²，AB²，由勾股定理，斜边上的正方形面积等于另两块的和。 【详解】以AC，BC，AB为边的正方形面积分别是AC²，BC²，AB²，根据勾股定理，AB²＝AC²+BC²， 所以斜边外侧花坛的面积为27＋37＝64（m²）。 所以选C。 A项把以BC为边的正方形当成了斜边上的正方形，用37－27，按此错法真算得10；B项求成了斜边AB的长，用，按此错法真算得8；D项误以为斜边上的正方形面积是另两块的平均数，用(27＋37)÷2，按此错法真算得32。 【方法点拨】以直角三角形三边为边的正方形面积就是三边的平方，勾股定理说的是“两个小正方形面积之和等于大正方形面积”。 2．【答案】A 【解析】【分析】∠E是直角，DF是斜边，用“两条直角边的平方和等于斜边的平方”。 【详解】由勾股定理，DF²＝DE²+EF²＝33²+44²＝1089＋1936＝3025， 因为55²＝3025，所以DF＝55。 所以选A。 B项把两条直角边直接相加，用33＋44，按此错法真算得77cm；C项用较长直角边减去较短直角边，用44－33，按此错法真算得11cm；D项求出DF²＝33²+44²后忘了开平方，按此错法真算得3025cm。 【方法点拨】先认准直角，直角所对的边是斜边；求斜边用两直角边的平方和，再开平方。 3．【答案】D 【解析】【分析】AB⊥AC，△ABC是直角三角形，BC是斜边，已知斜边和一条直角边求另一条直角边。 【详解】∠BAC＝90°，在直角三角形中，由勾股定理，AB²＝BC²-AC²＝145²-143²＝21025－20449＝576， 因为24²＝576，所以AB＝24m。 所以选D。 A项把两段距离直接相减，用145－143，按此错法真算得2m；B项把两段距离直接相加，用145＋143，按此错法真算得288m；C项求出AB²＝145²-143²后没有开平方，按此错法真算得576m。 【方法点拨】竖直高度与水平距离互相垂直，实际测量中的“直线距离”是斜边，求直角边用斜边的平方减去已知直角边的平方。 4．【答案】B 【解析】【分析】用勾股定理的逆定理：看较短两边的平方和是否等于最长边的平方。 【详解】42²+56²＝1764＋3136＝4900，70²＝4900， 即42²+56²＝70²，根据勾股定理的逆定理，这三根木条能钉成直角三角形框架。 所以选B。 A项“40，45，60”：40²+45²＝3625，60²＝3600，两者接近但不相等，不是直角三角形；C项“25，60，64”：25²+60²＝4225是65²，而最长边是64，64²＝4096≠4225；D项“70，80，90”：三边依次多10cm不能保证是直角三角形：70²+80²＝11300≠90²＝8100。 【方法点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，只算“较短两边的平方和”与“最长边的平方”是否相等。 5．【答案】D 【解析】【分析】大正方形的边长是a＋b；它又由4个直角三角形和中间边长为c的正方形组成。 【详解】大正方形的面积＝(a＋b)²，也等于4×½ab＋c²＝2ab＋c²， 所以(a＋b)²＝2ab＋c²，展开得a²＋2ab＋b²＝2ab＋c²，即a²+b²＝c²。 所以选D。 A项“(a＋b)²＝½ab＋c²”：只加了1个直角三角形的面积；B项“(a＋b)²＝4ab＋c²”：每个直角三角形的面积漏乘了½；C项“c²＝4×½ab＋(a＋b)²”：把大正方形与中间的正方形弄反了。 【方法点拨】拼图证明的关键是“同一个图形的面积用两种方法表示”，整体算一次、分块相加算一次，两式相等。 6．【答案】B 【解析】【分析】∠B＝90°，先用勾股定理求对角线AC，再与两边之和比较。 【详解】根据勾股定理，AC²＝AB²+BC²＝30²+72²＝900＋5184＝6084，AC＝78m， 沿两边跑30＋72＝102（m），少跑102－78＝24（m）。 所以选B。 A项求成了沿AB，BC两边跑的路程30＋72，按此错法真算得102m；C项只求出了对角线AC的长，按此错法真算得78m；D项把少跑的路程算成两边之差72－30，按此错法真算得42m。 【方法点拨】长方形的对角线把它分成两个直角三角形，对角线是斜边；比较路程时先分别算出再相减。 7．【答案】A 【解析】【分析】x＋1是三个数中最大的，它的平方等于另两个数的平方和，列方程时x²可以消去。 【详解】x＋1最大，所以19²+x²＝(x＋1)²，即361＋x²＝x²＋2x＋1， 2x＝360，x＝180，x＋1＝181。 所以选A。 B项求成了x的值，用(19²－1)÷2，按此错法真算得180；C项把(x＋1)²错展开成x²＋x＋1，得x＋1＝19²，按此错法真算得361；D项把(x＋1)²错展开成x²＋2x，得2x＝361，x＋1＝181.5，按此错法真算得181.5。 【方法点拨】勾股数中最大的数是“斜边”，列等式时它单独放在等号一边，展开后二次项常常可以消去。 【易错提醒】(x＋1)²＝x²＋2x＋1，中间项2x和常数项1都不能漏；最大的数是x＋1，不是x。 8．【答案】C 【解析】【分析】先由周长求腰长，等腰三角形底边上的高平分底边，再用勾股定理求高。 【详解】腰AB＝(32.4－11.2)÷2＝10.6，AD⊥BC，BD＝½BC＝5.6， 由勾股定理，AD²＝10.6²－5.6²＝112.36－31.36＝81，AD＝9， S△ABC＝½×11.2×9＝50.4。 所以选C。 A项面积公式漏乘½，用11.2×9，按此错法真算得100.8；B项把腰AB当成了底边上的高，用½×11.2×10.6，按此错法真算得59.36；D项把高算成腰长减去底边的一半，用½×11.2×(10.6－5.6)，按此错法真算得28。 【方法点拨】等腰三角形底边上的高平分底边，把它分成两个全等的直角三角形，在其中一个里用勾股定理。 【易错提醒】腰不是高；高AD要在Rt△ABD中用勾股定理求，且BD只是底边的一半。 9．【答案】B 【解析】【分析】2mn＝24即mn＝12，按n从小到大列出所有满足m＞n的正整数对，再逐组写出勾股数检验。 【详解】2mn＝24，所以mn＝12，满足m＞n的正整数对有(m，n)＝(12，1)，(6，2)，(4，3)， m＝12，n＝1时得143，24，145；m＝6，n＝2时得32，24，40；m＝4，n＝3时得7，24，25， 经检验每组都满足较小两数的平方和等于最大数的平方，共3组。 所以选B。 A项只想到m＝4，n＝3这一组，按此错法真算得1；C项漏掉了m＝12，n＝1这一组，按此错法真算得2；D项把m＜n的(3，4)，(2，6)，(1，12)也算上，共6组，按此错法真算得6。 【方法点拨】用公式构造勾股数时，先由已知的一项得到m，n满足的关系，再有序地列出所有正整数对，做到不重不漏。 【易错提醒】mn＝12的正整数对要列全，且必须满足m＞n；不要只想到常见的7，24，25。 10．【答案】D 【解析】【分析】设直角边为a，b（a＜b），小正方形边长为b－a；用(a＋b)²与(b－a)²的关系先求出4个直角三角形的面积和。 【详解】设直角边为a，b（a＜b），则a＋b＝23，(b－a)²＝9， (a＋b)²－(b－a)²＝4ab，即529－9＝4ab，4ab＝520， 4个直角三角形的面积和为4×½ab＝2ab＝260， 大正方形面积＝260＋9＝269。 所以选D。 A项把两条直角边之和的平方当成大正方形的面积，按此错法真算得529；B项误以为大正方形面积等于(a＋b)²与小正方形面积的和，按此错法真算得538；C项求成了4个直角三角形的面积和，按此错法真算得260。 【方法点拨】弦图里：大正方形＝4个直角三角形＋小正方形；(a＋b)²与(b－a)²相差4ab，由此求出2ab。 【易错提醒】(a＋b)²不是大正方形的面积；大正方形面积＝4个直角三角形面积＋小正方形面积。 　A卷　二、填空题 11．【答案】5.2 【解析】【分析】平放在长方形底板上最长的线段是对角线AC，它是Rt△ABC的斜边。 【详解】∠B＝90°，在直角三角形中，由勾股定理，AC²＝AB²+BC²＝2²＋4.8²＝4＋23.04＝27.04， 因为5.2²＝27.04，所以AC＝5.2m，钢管最长可以是5.2m。 所以答案为5.2。 【方法点拨】长方形的长、宽和对角线构成直角三角形，对角线的平方等于长与宽的平方和。 12．【答案】∠E 【解析】【分析】先找最长边，再看另两边的平方和是否等于最长边的平方；直角是最长边所对的角。 【详解】DE²+EF²＝5.5²＋13.2²＝30.25＋174.24＝204.49，DF²＝14.3²＝204.49， 所以DE²+EF²＝DF²，由勾股定理的逆定理，△DEF是直角三角形， 直角是最长边DF所对的角∠E。 所以答案为∠E。 【方法点拨】三边满足勾股关系时，直角是最长边所对的角；先找最长边，再找它对面的顶点。 13．【答案】90 【解析】【分析】在方格纸中用勾股定理算出三边的平方，再用勾股定理的逆定理判断。 【详解】AC²＝2²+3²＝13，BC²＝6²+4²＝52，AB²＝8²+1²＝65， AC²+BC²＝13＋52＝65＝AB²，由“如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形”，∠ACB＝90°。 所以答案为90。 【方法点拨】格点线段的长度：横向格数与纵向格数作两条直角边；再用逆定理判断角是否为直角。 14．【答案】105 【解析】【分析】塔高未知，设OA＝x m，用x表示拉索长，在Rt△AOB中由勾股定理列方程。 【详解】设OA＝x m，则AB＝(x＋6)m，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，x²+36²＝(x＋6)²，x²＋1296＝x²＋12x＋36， 12x＝1260，x＝105。 所以答案为105。 【方法点拨】直角三角形中只知道一边和另两边的关系时，设未知数表示各边，用勾股定理列方程。 【易错提醒】设塔高为x后，拉索是x＋6，展开(x＋6)²时x²会消去，得到一元一次方程。 15．【答案】24 【解析】【分析】作AD⊥直线BC于点D，在两个直角三角形中分别用勾股定理表示AD²，列方程求CD；再看D的位置。 【详解】作AD⊥直线BC于点D，设CD＝y， 由勾股定理，AD²＝AC²-CD²＝74²-y²，又AD²＝AB²-BD²＝25²－(y－63)²， 所以74²-y²＝25²－(y－63)²，解得y＝70， CD＝70＞63，垂足D在CB的延长线上，BD＝70－63＝7， AD²＝74²-70²＝576，AD＝24。 所以答案为24。 【方法点拨】三边已知求高，设垂足到一个顶点的距离为未知数，用两个直角三角形表示同一条高的平方列方程。 【易错提醒】设CD＝y而不先假定D在边BC上，求出y＞BC就说明垂足在CB的延长线上。 　A卷　三、解答题 16．【答案】（1）c＝10.5；（2）b＝9 【解析】【分析】设直角边为a，b，斜边为c：已知两直角边求斜边用c²＝a²+b²，已知斜边和一条直角边用b²＝c²-a²。 【详解】(1)在直角三角形中，由勾股定理，c²＝a²+b²＝6.3²＋8.4²＝39.69＋70.56＝110.25， 因为10.5²＝110.25，所以c＝10.5。　……3分 (2)b²＝c²-a²＝10.2²－4.8²＝104.04－23.04＝81， 所以b＝9。　……3分 【方法点拨】先写出“谁是斜边”，再套c²＝a²+b²或b²＝c²-a²，最后开平方。 【评分说明】(1)列式1分，算出c²1分，得c 1分；(2)列式1分，算出b²1分，得b 1分。 17．【答案】（1）AD＝9；（2）30 【解析】【分析】对角线AC把四边形分成两个直角三角形，AC是它们的公共斜边：先在Rt△ABC中求AC²，再在Rt△ACD中求AD。 【详解】(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²＝AB²+BC²＝6²+7²＝85， 在Rt△ACD中，AD²＝AC²-CD²＝85－2²＝81， 所以AD＝9。　……5分 (2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝½×6×7＋½×2×9 ＝21＋9＝30。　……4分 【方法点拨】对角线把四边形分成两个直角三角形，公共斜边的平方可以直接代入下一次计算。 【评分说明】(1)求出AC² 2分，列出AD²＝AC²-CD² 2分，得AD 1分；(2)分割正确2分，计算正确2分。 18．【答案】（1）1190m；（2）10min 【解析】【分析】正东与正南方向互相垂直，两人与路口O构成直角三角形，两人间的距离是斜边。 【详解】(1)OA＝210×5＝1050（m），OB＝112×5＝560（m），∠AOB＝90°， 由勾股定理，AB²＝1050²+560²＝1102500＋313600＝1416100， AB＝1190m。　……4分 (2)设出发t min后两人相距2.38km，即2380m，此时两人分别走了210t m和112t m， (210t)²＋(112t)²＝2380²，即56644t²＝2380²， 因为238²＝56644，所以238t＝2380，t＝10。　……4分 答：出发10min后，两人相距2.38km。　……1分 【方法点拨】两个互相垂直方向的运动，出发点与两人的位置构成直角三角形，两人间的距离是斜边。 【评分说明】(1)求出OA，OB 1分，列式2分，结果1分；(2)设未知数并表示两段路程1分，列方程2分，解出t 1分；作答1分。 【易错提醒】两人的距离不是路程之和；单位要统一，2.38km＝2380m。 19．【答案】（1）BD＝45cm，DF＝18cm；（2）13.5cm；（3）54cm 【解析】【分析】翻折前后对应边、对应角相等：BF＝BA，EF＝EA，∠BFE＝∠A＝90°；DF＝BD－BF，再在Rt△DEF中设AE＝x列方程。 【详解】(1)∠BAD＝90°，在直角三角形中，由勾股定理，BD²＝AB²+AD²＝27²+36²＝729＋1296＝2025，BD＝45cm。 由翻折，BF＝BA＝27cm，DF＝BD－BF＝45－27＝18（cm）。　……3分 (2)设AE＝x cm，由翻折，EF＝x cm，∠EFD＝∠A＝90°，ED＝(36－x)cm， 在Rt△DEF中，x²+18²＝(36－x)²， x²＋324＝1296－72x＋x²，72x＝972，x＝13.5，即AE＝13.5cm。　……4分 (3)△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝(36－13.5)＋13.5＋18＝36＋18＝54（cm）。　……2分 【方法点拨】翻折前后对应线段相等，把已知长度“搬”到一个直角三角形里，再设未知数用勾股定理列方程。 【评分说明】(1)求出BD 2分，求出DF 1分；(2)设元并表示EF，ED 1分，列方程2分，求出AE 1分；(3)列式并求出周长2分。 【易错提醒】∠BFE就是翻折前的∠A，所以∠EFD＝90°；DF是BD减去BF，不是BD减去AD。 20．【答案】（1）证明见解析；（2）DC＝72，△ABC的面积为966 【解析】【分析】(1)在△ABD中三边都已知，用勾股定理的逆定理证∠ADB＝90°；(2)在Rt△ADC中用勾股定理求DC，再用底×高÷2。 【详解】(1)在△ABD中，AD²+BD²＝21²+20²＝441＋400＝841，AB²＝29²＝841， ∴AD²+BD²＝AB²，根据勾股定理的逆定理，∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC。　……4分 (2)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，DC²＝AC²-AD²＝75²-21²＝5625－441＝5184， ∴DC＝72。　……3分 BC＝BD＋DC＝20＋72＝92，S△ABC＝½×BC×AD＝½×92×21＝966。　……2分 【方法点拨】“三边关系 → 直角”用逆定理，“直角 → 三边关系”用勾股定理，一道题里两个方向常常接连使用。 【评分说明】(1)计算两边平方和与第三边平方2分，引用逆定理得直角并得垂直2分；(2)求出DC 3分，求出面积2分。 【易错提醒】证垂直要用逆定理（三边关系→直角），求DC才用勾股定理，两者方向相反。 21．【答案】（1）；（2）格点C有两个，分别在AB的左上方与右下方（见答案图）；（3）面积为2.5，检验见解析 【解析】【分析】格点间的线段长用“横向格数、纵向格数”作两条直角边来算；以AB为斜边的等腰直角三角形，顶点C在AB的两侧各有一个。 【详解】(1)点B在点A右方3格、上方1格，AB²＝3²+1²＝10，所以AB＝。　……3分 (2)如答案图，格点C在点A右方1格、上方2格处，格点C′在点A右方2格、下方1格处， CA²＝CB²＝1²+2²＝5，两个点都满足CA＝CB。　……4分 (3)以C为例：△ABC所在的长方格框为3×2，面积6，减去三个直角三角形½×1×2，½×2×1，½×3×1， S＝6－1－1－1.5＝2.5。 检验：CA²+CB²＝5＋5＝10＝AB²，由勾股定理的逆定理，∠ACB＝90°。　……3分 【方法点拨】在方格纸中，把“向右a格、向上b格”旋转90°变成“向左b格、向上a格”，就能画出垂直且等长的线段。 【评分说明】(1)3分；(2)每画对一个点2分；(3)割补求面积2分，逆定理检验1分。 【易错提醒】C要在格点上，且到A，B的距离相等；AB的两侧各有一个，不要漏画。 22．【答案】（1）6.5m；（2）3.7m 【解析】【分析】绳长不变，OB＝OA；B比A高出的部分就是AC，设绳长为x，在Rt△OCB中列方程。 【详解】(1)AC＝1.4－0.5＝0.9（m），设秋千绳长为x m，则OB＝OA＝x m，OC＝(x－0.9)m， 在Rt△OCB中，OC²+BC²＝OB²，即(x－0.9)²＋3.3²＝x²， x²－1.8x＋0.81＋10.89＝x²，1.8x＝11.7，x＝6.5。　……6分 (2)设此时踏板在点P处，作PQ⊥OA于点Q，则PQ＝5.6m，OP＝6.5m， OQ²＝6.5²－5.6²＝42.25－31.36＝10.89，OQ＝3.3m， 踏板离地面的高度为0.5＋6.5－3.3＝3.7（m）。　……4分 【方法点拨】绳长不变是等量关系：画出两个位置，把高度差转化为直角边的一部分，设绳长列方程。 【评分说明】(1)求出AC 1分，设元并表示OC 2分，列方程2分，求出x 1分；(2)求出OQ 2分，求出离地高度2分。 【易错提醒】OC＝绳长－0.9，而不是绳长－1.4；最后求离地高度要加上静止时离地的0.5m。 23．【答案】（1）∠ACB＝90°；（2）2904m²；（3）CE＝52.8m，AE＝39.6m；（4）13200元 【解析】【分析】三边已知时先用逆定理判断是否有直角；“最短的小路”由垂线段最短可知是AB边上的高，用面积相等求高，再用勾股定理求AE。 【详解】(1)AC²+BC²＝66²+88²＝4356＋7744＝12100，AB²＝110²＝12100， ∴AC²+BC²＝AB²，由“如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形”，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°。　……3分 (2)S△ABC＝½×AC×BC＝½×66×88＝2904（m²）。　……2分 (3)由“垂线段最短”，CE⊥AB时小路最短。 ½×AB×CE＝2904，即½×110×CE＝2904，CE＝52.8m； 在Rt△ACE中，AE²＝AC²-CE²＝66²－52.8²＝4356－2787.84＝1568.16，AE＝39.6m。　……5分 (4)52.8×250＝13200（元）。 答：修小路的总造价为13200元。　……3分 【方法点拨】先用逆定理判定直角，面积就能用两直角边算；斜边上的高用“两种方法算面积”求出。 【评分说明】(1)计算2分，结论1分；(2)2分；(3)说明CE⊥AB 1分，求出CE 2分，求出AE 2分；(4)列式2分，结果及作答1分。 【易错提醒】CE是斜边AB上的高，用“两种方法算面积”求CE；AE要在Rt△ACE中求，不能用AB的一半。 　B卷　一、选择题 1．【答案】B 【解析】【分析】由勾股定理，两条直角边的平方和BC²+AC²就等于斜边的平方AB²。 【详解】∠C＝90°，根据勾股定理，BC²+AC²＝AB²＝81， 所以AB²+BC²+AC²＝81＋81＝162。 所以选B。 A项只算了AB²，按此错法真算得81；C项误以为三个平方都等于81，用3×81，按此错法真算得243；D项把平方和当成边长的和，用3×9，按此错法真算得27。 【方法点拨】求含平方的式子时，把两直角边的平方和整体换成斜边的平方，不必分别求出各边。 2．【答案】C 【解析】【分析】缆索AB是Rt△ABC的斜边，已知斜边和一条直角边，用平方差求另一条直角边。 【详解】∠ACB＝90°，由勾股定理，BC²＝AB²-AC²＝290²-288²＝(290＋288)×(290－288)＝578×2＝1156， 因为34²＝1156，所以BC＝34m。 所以选C。 A项把两段长度直接相减，用290－288，按此错法真算得2m；B项把两段长度直接相加，用290＋288，按此错法真算得578m；D项求出BC²后忘了开平方，按此错法真算得1156m。 【方法点拨】缆索、水平距离和上升高度构成直角三角形，缆索是斜边；两数接近时可用平方差简化计算。 3．【答案】B 【解析】【分析】先在方格中用勾股定理算出每条边的平方，再用逆定理逐个检验。 【详解】AB²＝2²+1²＝5，BD²＝2²+4²＝20，AD²＝4²+3²＝25， AB²+BD²＝5＋20＝25＝AD²，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°。 所以选B。 A项“△ABC”：较短两边的平方和不等于最长边的平方：AB²+BC²＝5＋17＝22，AC²＝36，不是直角三角形；C项“△ACD”：较短两边的平方和不等于最长边的平方：CD²+AD²＝13＋25＝38，AC²＝36，不是直角三角形；D项“△BCD”：较短两边的平方和不等于最长边的平方：CD²+BC²＝13＋17＝30，BD²＝20，不是直角三角形。 【方法点拨】在方格中逐个三角形计算三边的平方，只有满足“较短两边平方和等于最长边平方”的才是直角三角形。 4．【答案】A 【解析】【分析】两个三角形的三条边分别是a，b，c，对应相等，用“边边边”。 【详解】△ABC的三边为a，b，c；△DEF中EF＝a，DF＝b，DE²＝a²+b²＝c²，DE＝c， 三边分别相等，由“SSS”得△ABC≌△DEF，所以∠C＝∠F＝90°。 所以选A。 B项“SAS”：两个三角形之间没有已知相等的夹角，不能用“边角边”；C项“ASA”：两个三角形之间没有已知相等的角，不能用“角边角”；D项“HL”：用“斜边、直角边”要先知道△ABC是直角三角形，而这正是要证明的结论。 【方法点拨】逆定理的证法是“构造一个直角三角形，再证全等”，由三边分别相等得到对应角相等。 5．【答案】D 【解析】【分析】吊绳竖直，AD⊥BC；又AB＝AC，所以D是BC的中点，在Rt△ABD中用勾股定理。 【详解】AB＝AC，AD⊥BC，BD＝½BC＝16.8m， 在直角三角形中，由勾股定理，AD²＝AB²-BD²＝19.3²－16.8²＝372.49－282.24＝90.25，AD＝9.5m。 所以选D。 A项把AB减去地面宽的一半当作吊绳长，用19.3－16.8，按此错法真算得2.5m；B项求出AD²后忘了开平方，按此错法真算得90.25m；C项误以为吊绳长是AB的一半，用19.3÷2，按此错法真算得9.65m。 【方法点拨】等腰三角形底边上的高平分底边，直角边是底边的一半，腰是斜边。 6．【答案】C 【解析】【分析】先用勾股定理求斜边AB，再用“两直角边的积＝斜边×斜边上的高”。 【详解】根据勾股定理，AB²＝5.7²＋7.6²＝32.49＋57.76＝90.25，AB＝9.5dm， 由½×AC×BC＝½×AB×CD，得CD＝5.7×7.6÷9.5＝4.56（dm）。 所以选C。 A项求成了斜边AB的长，按此错法真算得9.5dm；B项求成了△ABC的面积，用½×5.7×7.6，按此错法真算得21.66dm；D项误以为斜边上的高等于两条直角边的平均数，按此错法真算得6.65dm。 【方法点拨】直角三角形中，两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这是用面积建立的等式。 7．【答案】A 【解析】【分析】在Rt△CDE中先用勾股定理求中线CE，再用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。 【详解】∠CDE＝90°，由勾股定理，CE²＝9.6²+4²＝92.16＋16＝108.16，CE＝10.4， CE是Rt△ABC斜边上的中线，AB＝2CE＝20.8。 所以选A。 B项求成了中线CE的长，按此错法真算得10.4；C项把CD与DE相加再乘2，按此错法真算得27.2；D项误以为AB＝CD＋DE，按此错法真算得13.6。 【方法点拨】斜边上的中线等于斜边的一半；中线、高与斜边上的一段构成直角三角形，可先求中线。 【易错提醒】CE只是斜边的一半，求AB还要乘2。 8．【答案】D 【解析】【分析】五边形＝Rt△ABC＋正方形ABDE；正方形面积＝AB²，由勾股定理不必求AB。 【详解】S正方形ABDE＝AB²＝AC²+BC²＝36＋25＝61， S△ABC＝½×6×5＝15，五边形ACBDE的面积＝61＋15＝76。 所以选D。 A项只算了正方形ABDE的面积，按此错法真算得61；B项三角形面积漏乘½，用6×5＋61，按此错法真算得91；C项把正方形的边长当成了AC＋BC，按此错法真算得121。 【方法点拨】以斜边为边的正方形面积等于两直角边的平方和，组合图形的面积拆成三角形与正方形相加。 【易错提醒】正方形面积就是AB²，直接用AC²＋BC²，不用开平方。 9．【答案】C 【解析】【分析】AC⊥直线BC，先在Rt△ACD中求CD；点D在直线BC上，可能与点B在点C的同侧，也可能在两侧，要分两种情况。 【详解】AC⊥BC，点D在直线BC上，∠ACD＝90°，在直角三角形中，由勾股定理，CD²＝AD²-AC²＝15.3²－7.2²＝234.09－51.84＝182.25，CD＝13.5； ①点D与点B在点C同侧时，BD＝CD－BC＝13.5－4.5＝9； ②点D与点B在点C两侧时，BD＝CD＋BC＝13.5＋4.5＝18。 所以BD的长为9或18。 所以选C。 A项只考虑了点D与点B在点C同侧的情形，按此错法真算得9；B项只考虑了点D与点B在点C两侧的情形，按此错法真算得18；D项求成了CD的长，没有再与BC合成BD，按此错法真算得13.5。 【方法点拨】题目说“点在直线上”时，点可能在已知点的两侧；先用勾股定理求出到垂足的距离，再按两侧分别相加或相减。 【易错提醒】“点D在直线BC上”不等于在线段BC上，点D可能在点C的左侧或右侧；求出CD后还要和BC合成BD。 10．【答案】A 【解析】【分析】把甲虫经过的两个面展开成一个平面，“两点之间线段最短”；M在竖直棱CG上，要比较三种展开方式。 【详解】CM＝½CG＝3。①经过底面ABCD和后面DCGH，展开后最短路程的平方为6²＋(4＋3)²＝85； ②经过底面ABCD和右侧面BCGF，为(6＋3)²+4²＝97；③经过前面ABFE和右侧面BCGF，为(6＋4)²+3²＝109。 85＜97＜109，所以最短路程为。 所以选A。 B项经过底面和右侧面BCGF，展开后按(6＋3)²+4²计算，不是最短，按此错法真算得；C项经过前面ABFE和右侧面BCGF，展开后按(6＋4)²+3²计算，不是最短，按此错法真算得；D项沿棱AB，BC走到C再沿CG向上走，折线不是最短，按此错法真算得13。 【方法点拨】立体表面的最短路径要展开成平面，用“两点之间线段最短”；可能的展开方式都要算出再比较。 【易错提醒】终点在棱的中点，三种展开方式的结果都不同，要逐一算出再比较。 　B卷　二、填空题 11．【答案】9.2 【解析】【分析】路灯杆与地面垂直，AC是Rt△ABC的斜边。 【详解】∠ABC＝90°，根据勾股定理，AB²＝AC²-BC²＝11.5²－6.9²＝132.25－47.61＝84.64， 因为9.2²＝84.64，所以AB＝9.2m。 所以答案为9.2。 【方法点拨】竖直的杆与地面垂直，拉线是斜边，已知斜边和一条直角边求另一条直角边。 12．【答案】9 【解析】【分析】设直角边为x，由勾股定理求x²，面积＝½x²，不必求出x。 【详解】设直角边为x，由勾股定理，x²+x²＝6²，2x²＝36，x²＝18， 面积＝½x²＝½×18＝9。 所以答案为9。 【方法点拨】等腰直角三角形两条直角边相等，设直角边为x，x²+x²＝c²，面积就是½x²。 13．【答案】28 【解析】【分析】大正方形面积是斜边的平方，小正方形边长是两直角边之差；两者之差恰好是4个直角三角形的面积和。 【详解】大正方形面积＝2²+7²＝53，小正方形边长为7－2＝5，面积为25， 面积之差为53－25＝28，恰好等于4×½×2×7＝28。 所以答案为28。 【方法点拨】弦图中大正方形与小正方形的面积之差就是4个直角三角形的面积和。 14．【答案】7.5 【解析】【分析】折叠后DM＝DA；设CD＝x，用x表示DM，在Rt△DCM中列方程。 【详解】CM＝½BC＝4，设CD＝x，则DM＝DA＝16－x， 在Rt△DCM中，在直角三角形中，由勾股定理，x²+4²＝(16－x)²， x²＋16＝256－32x＋x²，32x＝240，x＝7.5。 所以答案为7.5。 【方法点拨】翻折后对应线段相等，把它们放进一个直角三角形里，设未知数列方程。 【易错提醒】折叠后DM与DA相等，DA＝16－x；CM是BC的一半。 15．【答案】1－，1＋ 【解析】【分析】先在Rt△ACB中求AB，AP＝AQ＝AB；点P在点A左侧，表示的数是1减去AB，点Q在点A右侧，是1加上AB。 【详解】AC＝6－1＝5，CB＝2，∠ACB＝90°，根据勾股定理，AB²＝5²+2²＝29，AB＝， AP＝AQ＝，点P在点A的左侧，表示1－；点Q在点A的右侧，表示1＋。 所以答案为1－，1＋。 【方法点拨】以某点为圆心画弧与数轴相交，交点到圆心的距离等于半径，左侧用减、右侧用加。 【易错提醒】圆心是表示1的点A，不是原点，所以两个交点分别是1－和1＋。 　B卷　三、解答题 16．【答案】（1）x＝13.6；（2）x＝7.2 【解析】【分析】先认准斜边：(1)求斜边用两直角边的平方和；(2)求直角边用斜边的平方减另一直角边的平方。 【详解】(1)由勾股定理，x²＝6.4²+12²＝40.96＋144＝184.96， 因为13.6²＝184.96，所以x＝13.6。　……3分 (2)x²＝7.8²-3²＝60.84－9＝51.84， 因为7.2²＝51.84，所以x＝7.2。　……3分 【方法点拨】小数平方先按整数平方再定小数点；已知斜边求直角边用平方差。 【评分说明】(1)列式1分，算出x² 1分，得x 1分；(2)列式1分，算出x² 1分，得x 1分。 17．【答案】（1）见答案图；（2）面积为13，AB²＝13；（3）AC²＝26，验证见解析 【解析】【分析】从B出发，把“向右3格、向上2格”转90°变成“向左2格、向上3格”得点C，同样得点D；正方形面积用外框大正方形减去四个直角三角形。 【详解】(1)点B在点A右方3格、上方2格处；从点B向左2格、向上3格得点C，从点A向左2格、向上3格得点D，顺次连接得正方形ABCD。　……3分 (2)正方形ABCD外面的格点框是边长为5的正方形，面积25，四个角上各有一个两直角边为3和2的直角三角形， S正方形ABCD＝25－4×½×3×2＝25－12＝13，所以AB²＝13。　……3分 (3)点C在点A右方1格、上方5格处，AC²＝1²+5²＝26； BC＝AB，AB²+BC²＝13＋13＝26＝AC²，等式成立。　……3分 【方法点拨】格点正方形的面积可用“外框正方形减去四个直角三角形”求出，它就是边长的平方。 【评分说明】(1)画对3分（C，D各1分，连线1分）；(2)割补列式2分，得面积与AB² 1分；(3)求出AC² 2分，验证1分。 18．【答案】（1）75m；（2）风筝离地面76.2m，风筝线长85m 【解析】【分析】QR未知，设QR＝x m，风筝线PQ＝(x＋10)m，在Rt△PRQ中由勾股定理列方程。 【详解】(1)设QR＝x m，则PQ＝(x＋10)m，∠PRQ＝90°， 在直角三角形中，由勾股定理，x²+40²＝(x＋10)²， x²＋1600＝x²＋20x＋100，20x＝1500，x＝75，即QR＝75m。　……5分 (2)风筝离地面的高度为75＋1.2＝76.2（m）， 风筝线PQ＝75＋10＝85（m）。　……4分 【方法点拨】线长与高度之差已知时，设高度为x，线长为x加上差，在直角三角形中列方程；最后别忘了加上手离地的高度。 【评分说明】(1)设元表示PQ 1分，列方程2分，解方程2分；(2)求高度2分，求线长2分。 【易错提醒】离地高度要加上手离地面的1.2m；列方程时(x＋10)²要完整展开。 19．【答案】（1）证明见解析；（2）AD＝6 【解析】【分析】对角线把四边形分成四个直角三角形，每条边都是一个直角三角形的斜边，用OA，OB，OC，OD表示四条边的平方。 【详解】(1)∵AC⊥BD，∴△AOB，△BOC，△COD，△DOA都是直角三角形， 根据勾股定理，AB²＝OA²+OB²，CD²＝OC²+OD²，AD²＝OA²+OD²，BC²＝OB²+OC²， ∴AB²+CD²＝OA²+OB²+OC²+OD²＝AD²+BC²。　……5分 (2)由(1)，AD²＝AB²+CD²-BC²＝9²+2²-7² ＝81＋4－49＝36，∴AD＝6。　……4分 【方法点拨】对角线互相垂直时，四条边都是直角三角形的斜边，用对角线被分成的四段表示四条边的平方。 【评分说明】(1)说明四个直角三角形1分，写出四个等式2分，推出结论2分；(2)代入结论2分，求出AD 2分。 【易错提醒】(2)中直接用(1)的结论，不必求OA，OB，OC，OD。 20．【答案】（1）25；（2）87.5；（3）7 【解析】【分析】AB＝AC，设AB＝x，则AD＝x－1，在Rt△ABD中列方程；再用两种底和高表示同一个面积。 【详解】(1)设AB＝x，则AC＝x，AD＝AC－CD＝x－1， 在Rt△ABD中，由勾股定理，x²＝(x－1)²+7²， x²＝x²－2x＋1＋49，2x＝50，x＝25，即AB＝25。　……4分 (2)S△ABC＝½×AC×BD＝½×25×7＝87.5。　……2分 (3)设AB边上的高为h，则½×AB×h＝87.5，即½×25×h＝87.5，h＝7。　……3分 【方法点拨】腰上的高把腰分成两段，其中一段用“腰长－已知段”表示，再在直角三角形中列方程。 【评分说明】(1)设元表示AD 1分，列方程2分，求出AB 1分；(2)2分；(3)列等积式2分，求出高1分。 【易错提醒】AD＝AC－CD＝x－1，不是x＋1；AB，AC相等，所以两腰上的高也相等。 21．【答案】（1）BD＝42m，AD＝40m；（2）2760m²；（3）1800元 【解析】【分析】AD是两个直角三角形的公共直角边，设BD＝x，用两种方法表示AD²列方程。 【详解】(1)设BD＝x m，则DC＝(138－x)m， 在直角三角形中，由勾股定理，AD²＝AB²-BD²＝AC²-DC²，即58²-x²＝104²－(138－x)²， 3364－x²＝10816－19044＋276x－x²，276x＝11592，x＝42， AD²＝58²-42²＝1600，AD＝40m。　……5分 (2)S△ABC＝½×BC×AD＝½×138×40＝2760（m²）。　……2分 (3)40×45＝1800（元）。 答：铺这条水管的总费用为1800元。　……3分 【方法点拨】三边已知求高：设垂足分底边的一段为x，用两个直角三角形分别表示高的平方，列方程求x。 【评分说明】(1)设元1分，列方程2分，求出BD 1分，求出AD 1分；(2)2分；(3)列式2分，作答1分。 【易错提醒】AD²有两种表示，列方程后x²会消去；x＝42在0与138之间，垂足在边BC上。 22．【答案】（1）；（2）AP的长为3.4或或10 【解析】【分析】等腰三角形“哪两边相等”不确定：分PA＝PB，AB＝AP，BA＝BP三种情况；点P在直线AC上，要考虑点A的两侧。 【详解】(1)根据勾股定理，AB²＝AC²+BC²＝5²+3²＝34，AB＝。　……2分 (2)①PA＝PB：设AP＝x，此时点P在线段AC上，PC＝5－x，PB²＝PC²+BC²， 即(5－x)²+3²＝x²，34－10x＝0，x＝3.4，AP＝3.4；　……3分 ②AP＝AB：在直线AC上点A的两侧各有一个点P，AP＝；　……2分 ③BP＝BA：BC⊥AP，BC是等腰三角形底边上的高，C是AP的中点， CP＝CA＝5，AP＝10。 综上，AP的长为3.4或或10。　……3分 【方法点拨】等腰三角形的存在性问题按“哪两边相等”分三类，每类都要画图、计算并检验。 【评分说明】(1)2分；(2)情况①列方程2分、求出1分；情况②2分；情况③说明2分、结论1分。 【易错提醒】三种情况都要讨论；AP＝AB时点P在点A两侧各有一个，但长度相同。 23．【答案】（1）60cm；（2）t＝51；（3）t＝9或t＝72 【解析】【分析】按点P所在的边分段：P在BC上时BP＝t，△ABP以BP为底、AC为高；P在CA上时CP＝t－36，△ABP以AP为底、BC为高。 【详解】(1)由勾股定理，AB²＝BC²+AC²＝36²+48²＝1296＋2304＝3600，AB＝60cm。　……3分 (2)点P在CA上时，△BCP是直角三角形，CP²＝BP²-BC²＝39²-36²＝1521－1296＝225，CP＝15cm， 点P走过的路程为36＋15＝51（cm），t＝51。　……4分 (3)S△ABC＝½×36×48＝864（cm²），四分之一为216cm²。 ①点P在BC上（0＜t≤36）时，BP＝t，S△ABP＝½×t×48＝216，t＝9，符合题意；　……3分 ②点P在CA上（36＜t＜84）时，AP＝36＋48－t＝84－t，S△ABP＝½×(84－t)×36＝216， 84－t＝12，t＝72，符合题意。 综上，t＝9或t＝72。　……3分 【方法点拨】动点在不同的边上，图形的底和高不同，要按所在的边分段列式，求出的t要检验是否在这一段内。 【评分说明】(1)3分；(2)求出CP 3分，求出t 1分；(3)求出总面积及其四分之一1分，每段列式正确各1分、求出t并检验范围各1分，写出综合结论1分。 【易错提醒】点P在不同的边上时△ABP的底和高不同，要分两段列式，并检验t是否在这一段的范围内。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第3章 勾股定理 单元检测·A／B双卷 保密★启用前 第3章 勾股定理 单元检测（A／B双卷） 苏科版数学八年级上册 （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟　测试范围：第3章 勾股定理） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请在规定位置写清学校、姓名、班级和考号。 2．考试范围：苏科版（2024）八年级上册第3章 勾股定理（3.1～3.3）。 3．本卷由A卷（基础达标）与B卷（能力提升）组成，两卷分别编号，满分各120分，可分两次完成。 4．请按题号在对应区域内作答，写在区域外的答案无效。 命题说明本卷考查：勾股定理与正方形面积、已知两边求第三边、勾股定理的证明（拼图与面积）、勾股定理的逆定理、勾股数、数轴与方格中的长度、勾股定理的实际应用、方程思想（折叠与未知边）等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 考点清单 勾股定理一章的十一个考点列在左栏，右边两栏标出每个考点落在A卷、B卷的哪几道题。同一行里A卷的题偏重直接计算与判定，B卷的题多了分类、展开、翻折与动点；学生订正时对照本表，错题集中在哪一行，就把那一行对应的3.1～3.3中的小节重看一遍。 本章考点 A卷题号 B卷题号 勾股定理与正方形面积 1，10 1，8，13 已知两边求第三边 2，8，11，16，17，20 5，6，7，8，12，16，20 勾股定理的证明（拼图与面积） 5，10 13，17 勾股定理的逆定理 4，12，13，20，21，23 3，4 勾股数 7，9 — 数轴与方格中的长度 13，21 3，15，17 勾股定理的实际应用 3，6，8，18，19，22，23 2，11，18，21 方程思想（折叠与未知边） 14，15，19，22 14，18，20，21，22 最短路径 — 10 分类讨论 15 9，10，22，23 勾股定理与逆定理的综合应用 15，17，23 19，23 本章知识要点速览 勾股定理这一章要记牢的九条结论整理如下，每条后面写了做题时的用法。复习时先读左栏的名称，自己说出结论和典型用法，再与右栏比对，说不全的条目在书上做记号。 序号 知识要点 掌握要求 1 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：若直角边为a，b，斜边为c，则a²＋b²＝c²；用之前先认准直角和斜边 2 勾股定理的证明 用4个全等的直角三角形拼图（赵爽弦图等），同一个图形的面积用“整体”和“分块相加”两种方法表示，化简得a²＋b²＝c² 3 正方形面积与勾股定理 以直角三角形三边为边的正方形，面积分别是a²，b²，c²，斜边上的正方形面积等于另两个的和 4 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角 5 勾股数 满足a²＋b²＝c²的三个正整数叫作勾股数；ka，kb，kc（k为正整数）仍是勾股数；m²－n²，2mn，m²＋n²（m＞n）是勾股数 6 数轴与方格中的长度 格点线段长：横、纵格数作直角边；在数轴上表示：画直角边为整数、斜边平方为n的直角三角形，再用圆规画弧 7 实际应用与方程思想 把实际问题中的竖直与水平、折叠前后相等的线段放进直角三角形；只知道边之间的关系时设未知数列方程 8 最短路径 立体表面的最短路径先展开成平面，再用“两点之间线段最短”，各种展开方式都要比较；点到直线“垂线段最短” 9 分类讨论 只给两边未指明斜边、没有图时高的位置、等腰三角形哪两边相等、动点在哪条边上，都要分情况讨论 A 卷　基础达标（满分120分） 评卷人 得分 A卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，小区里一块直角三角形花圃ABC中，∠ACB＝90°，以两条直角边AC，BC为边各修了一块正方形花坛，面积分别为27m²和37m²。若以斜边AB为边在外侧再修一块正方形花坛（图中面积记为S），则S（单位：m²）为(____)。 A．10 B．8 C．64 D．32 2．（本题3分）如图，一块直角三角形钢板DEF的直角顶点为E，量得直角边DE＝33cm，EF＝44cm，工人要沿斜边DF切割，切口DF的长为(____)。 A．55cm B．77cm C．11cm D．3025cm 3．（本题3分）如图，操作员站在水平地面上的点C处操控一架无人机，无人机悬停在地面上点A的正上方B处。测得AC＝143m，操作员与无人机之间的距离BC＝145m（操作员身高忽略不计），则无人机离地面的高度AB为(____)。 A．2m B．288m C．576m D．24m 4．（本题3分）木工师傅想钉一个带直角的三角形木条框。下面四种木条搭配中（单位：cm），钉成后一定有一个角是直角的是(____)。 A．40，45，60 B．42，56，70 C．25，60，64 D．70，80，90 5．（本题3分）如图，把四张相同的直角三角形纸片（直角边a，b，斜边c）沿外框摆放，外框围成一个大正方形，里面空出一个斜放的、边长为c的正方形。用两种算法表示外框大正方形的面积来推出勾股定理，应列出的等式是(____)。 A．(a＋b)²＝½ab＋c² B．(a＋b)²＝4ab＋c² C．c²＝4×½ab＋(a＋b)² D．(a＋b)²＝4×½ab＋c² 6．（本题3分）如图，学校的训练场是长方形ABCD，边AB长30m，边BC长72m。体育课上从A角跑向C角，走斜线AC比先跑AB再跑BC少跑(____)。 A．102m B．24m C．78m D．42m 7．（本题3分）已知x是正整数，且19，x，x＋1（x＞19）三个数构成一组勾股数，则这组勾股数中最大的数是(____)。 A．181 B．180 C．361 D．181.5 8．（本题3分）如图，三角形标志牌ABC的两条边AB与AC相等，三边长的和是32.4dm，BC＝11.2dm，从点A向BC作垂线段AD，那么标志牌的面积（单位：dm²）是(____)。 A．100.8 B．59.36 C．50.4 D．28 9．（本题3分）取两个正整数m＞n，把m²-n²，2mn，m²+n²作为三边长，得到的三个数总是一组勾股数。已知按这种办法得到的某组勾股数里，2mn这一项等于24，那么满足条件的勾股数一共有(____)组。 A．1 B．3 C．2 D．6 10．（本题3分）如图，四块一样的直角三角形瓷砖围着一块正方形小瓷砖，恰好铺成一个正方形图案（赵爽“弦图”）。每块直角三角形瓷砖两条直角边的长度和为23，正方形小瓷砖的面积为9，整个大正方形图案的面积为(____)。 A．529 B．538 C．260 D．269 评卷人 得分 A卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，一部货运电梯的轿厢底板是长方形ABCD，量得长BC＝4.8m，宽AB＝2m，搬运工想把一根细长的钢管平放在底板上，钢管最长可以是________m（钢管粗细不计）。 12．（本题3分）△DEF的三边长分别为DE＝5.5，EF＝13.2，DF＝14.3，则△DEF中的直角是________。 13．（本题3分）如图，从格点C出发，向左2格、向上3格到格点A，向右6格、向上4格到格点B（每个小方格的边长为1），连成△ABC，则∠ACB＝________°。 14．（本题3分）如图，一座斜拉桥的索塔OA竖直立在桥面上，一根拉索从塔顶A拉到桥面上的点B，拉索AB比塔高OA长6m，点B到塔底O的距离OB＝36m，则塔高OA＝________m。 15．（本题3分）如图，已知△ABC三边的长：AB＝25，BC＝63，AC＝74。从顶点A向BC所在直线作垂线，垂线段的长为________。 评卷人 得分 A卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边，完成下列计算： (1)a＝6.3，b＝8.4，求c； (2)c＝10.2，a＝4.8，求b。 17．（本题9分）如图，两块直角三角形纸板拼成四边形ABCD：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝7；在Rt△ACD中，∠D＝90°，CD＝2，两块纸板的斜边都是AC。 (1)求AD的长； (2)求四边形ABCD的面积。 18．（本题9分）如图，甲、乙两人同时从十字路口O出发，甲骑自行车沿正东方向行驶，速度为210m/min；乙沿正南方向步行，速度为112m/min。 (1)出发5min后，甲到达点A，乙到达点B，求此时两人之间的距离AB； (2)出发多少分钟后，两人相距2.38km？ 19．（本题9分）如图，有一张长方形纸片ABCD，它的边AB长27cm，AD长36cm，BD是它的一条对角线。在边AD上取一点E，沿BE把△ABE翻折过去，点A的对应点F恰好落在对角线BD上。 (1)求BD和DF的长； (2)求AE的长； (3)求△DEF的周长。 20．（本题9分）如图，三角形钢架ABC的底边BC上有一点D，一根钢条AD把顶点A与点D相连，量得AB＝29，AD＝21，BD＝20，AC＝75。 (1)求证：AD⊥BC； (2)求DC的长和△ABC的面积。 21．（本题10分）如图，在方格纸上，点A向右平移3格、再向上平移1格得到点B（每个小正方形的边长为1）。 (1)求线段AB的长（结果用根号表示）； (2)在方格纸中画出所有满足条件的格点C，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且CA＝CB； (3)用割补法求(2)中一个△ABC的面积，并用勾股定理的逆定理检验∠ACB＝90°。 22．（本题10分）如图，秋千的绳OA固定在点O处，秋千静止时，踏板在点A处，离地面0.5m；把秋千推到踏板位于点B处（绳始终拉直），此时踏板到绳OA的距离BC＝3.3m，踏板离地面1.4m（踏板厚度忽略不计）。 (1)求秋千绳的长； (2)若把踏板推到离绳OA的距离为5.6m处，此时踏板离地面多高？ 23．（本题13分）如图，社区绿地ABC的边界由三段直路围成，测得AC＝66m，BC＝88m，AB＝110m。 (1)求∠ACB的度数； (2)求这块绿地的面积； (3)要从点C修一条通往AB边的小路CE（点E在AB上），使小路最短，求CE的长和AE的长； (4)若修这条小路每米造价250元，求修小路的总造价。 B 卷　能力提升（满分120分） 评卷人 得分 B卷　一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（本题3分）如图，Rt△ABC的斜边AB＝9（∠C为直角），那么三条边的平方和AB²+BC²+AC²等于(____)。 A．81 B．162 C．243 D．27 2．（本题3分）如图，一段登山缆车的缆索AB长290m，缆索两端的水平距离AC为288m，BC⊥AC，则缆车从A到B上升的高度BC为(____)。 A．2m B．578m C．34m D．1156m 3．（本题3分）如图，A，B，C，D是方格纸上的四个格点（小方格的边长为1），任取其中三点连成三角形，共得到△ABC，△ABD，△ACD，△BCD。其中有一个直角的是(____)。 A．△ABC B．△ABD C．△ACD D．△BCD 4．（本题3分）证明“三边长a，b，c满足a²+b²＝c²的△ABC是直角三角形”时，先画一个直角三角形DEF，使∠F＝90°，EF＝a，DF＝b，由勾股定理得DE＝c，再说明△ABC与△DEF全等。说明全等所依据的判定方法是(____)。 A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 5．（本题3分）如图，一座展棚的正面轮廓是△ABC，AB＝AC＝19.3m，地面宽BC＝33.6m，从棚顶A垂下一根竖直的吊绳，下端D恰好落在BC上，则吊绳AD的长为(____)。 A．2.5m B．90.25m C．9.65m D．9.5m 6．（本题3分）如图，一块直角三角形玻璃ABC的直角边AC＝5.7dm，BC＝7.6dm，要从直角顶点C沿垂直于AB的方向切一刀，切口CD的长为(____)。 A．9.5dm B．21.66dm C．4.56dm D．6.65dm 7．（本题3分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB是直角，从点C分别作斜边AB上的高CD和中线CE，量得CD＝9.6，DE＝4，那么斜边AB＝(____)。 A．20.8 B．10.4 C．27.2 D．13.6 8．（本题3分）如图，Rt△ABC的两条直角边AC＝6，BC＝5，在斜边AB的外侧拼接一个以AB为边的正方形ABDE，得到五边形ACBDE，它的面积是(____)。 A．61 B．91 C．121 D．76 9．（本题3分）有一块铁皮，形状是直角三角形ABC（∠ACB为直角），量得AC＝7.2，BC＝4.5。把直角边BC向两端延长成一条直线，在这条直线上找一点D，量得AD＝15.3，那么B，D两点之间的距离为(____)。 A．9 B．18 C．9或18 D．13.5 10．（本题3分）如图是一个长方体包装盒，AB＝6，BC＝4，AE＝6，点M是棱CG的中点。一只甲虫从顶点A沿盒子表面爬到M（六个面都可以爬），爬行路程最短是(____)。 A． B． C． D．13 评卷人 得分 B卷　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）如图，一根竖直的路灯杆用一根拉线AC固定，拉线长11.5m，拉线的下端C到路灯杆底端B的距离为6.9m，则拉线的上端A离地面的高度AB为________m。 12．（本题3分）用一根长6的木棍作斜边，再配两根等长的木棍作直角边，围成等腰直角三角形，它的面积是________。 13．（本题3分）如图是由4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，每个直角三角形较短的直角边长为2，较长的直角边长为7，则大正方形与中间小正方形的面积之差为________。 14．（本题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝8，M是BC的中点。将△ABC沿直线DF折叠（点D在AC上，点F在AB上），顶点A恰好落在点M处，则CD的长为________。 15．（本题3分）如图，O为原点，数轴上的点A表示1，点C表示6，在点C处向上作线段CB＝2（CB⊥数轴）。以点A为圆心、AB长为半径画圆，圆与数轴有两个交点P，Q（P在左、Q在右），P，Q表示的数分别是________，________。 评卷人 得分 B卷　三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题6分）下面两个直角三角形中，x表示一条边的长，分别求出x： (1)两条直角边为6.4和12，斜边为x； (2)斜边为7.8，两条直角边为3和x。 17．（本题9分）如图，格点A，B之间横向相距3格、纵向相距2格（每个小方格的边长为1）。 (1)以AB为一边，在AB的左上方画出正方形ABCD，使点C，D都在格点上； (2)用割补法求正方形ABCD的面积，并写出AB²的值； (3)连接AC，求AC²，并验证AB²+BC²＝AC²。 18．（本题9分）如图，小丽在水平地面上放风筝，手握线的点P离地面1.2m，PR是过点P的水平线，点R在风筝Q的正下方，QR⊥PR。量得PR＝40m，放出的风筝线PQ（看作线段）比QR长10m。 (1)求QR的长； (2)求风筝Q离地面的高度和风筝线PQ的长。 19．（本题9分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交成直角，垂足记为O。 (1)求证：AB²+CD²＝AD²+BC²； (2)若AB＝9，BC＝7，CD＝2，求AD的长。 20．（本题9分）如图，△ABC的两条边AB，AC相等，从顶点B向AC作垂线段BD，量得BD＝7，点D离顶点C只有1个单位长度（CD＝1）。 (1)求AB的长； (2)求△ABC的面积； (3)求AB边上的高。 21．（本题10分）如图，苗圃ABC呈三角形，测得三条边AB＝58m，AC＝104m，BC＝138m。为方便浇水，要从顶点A铺一条垂直于BC的水管AD（点D在BC上）。 (1)求BD的长和水管AD的长； (2)求苗圃的面积； (3)水管的价格是每米45元，买够这条水管要花多少元？ 22．（本题10分）如图，△ABC中∠ACB为直角，已知AC＝5，BC＝3，直线AC上另有一点P（P与A不重合）。 (1)求AB的长（结果用根号表示）； (2)当以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形时，求所有可能的AP的长。 23．（本题13分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝36cm，AC＝48cm。点P以1cm/s的速度从点B出发，沿B，C，A的顺序依次经过边BC和CA，到达点A停止。设点P运动的时间为t s。 (1)求AB的长； (2)当点P在边CA上且BP＝39cm时，求t的值； (3)t取何值时，S△ABP恰好是S△ABC的四分之一？ 附：A卷命题双向细目表 A卷紧扣苏科版3.1勾股定理的探究、3.2勾股定理的逆定理、3.3勾股定理的简单应用：求边、拼图证明、判定直角、勾股数、格点作图、测量与列方程都设了专门的题，压轴的第23题围绕社区三角形绿地把逆定理、面积和垂线段最短串起来。从第1题到第23题难度逐步上升，勾股计算、判定、建模三类题交替出现，按基础、中档、较难三档依次有11，7，5道，花圃、无人机、秋千等生活情境题共10道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 勾股定理与正方形面积（花圃花坛） 基础 几何直观 2 选择题 3 已知两直角边求斜边 基础 运算能力 3 选择题 3 已知斜边与直角边求高（无人机测高） 基础 应用意识 4 选择题 3 勾股定理的逆定理（三根木条） 基础 推理能力 5 选择题 3 勾股定理的拼图证明（外框正方形） 基础 推理能力 6 选择题 3 长方形对角线的应用（训练场斜跑道） 基础 应用意识 7 选择题 3 勾股数（含字母的一组数） 中档 抽象能力 8 选择题 3 等腰三角形底边上的高与面积 中档 运算能力 9 选择题 3 勾股数的构造与计数 难 抽象能力 10 选择题 3 赵爽弦图中的面积关系 难 推理能力 11 填空题 3 长方形的对角线（电梯底板） 基础 运算能力 12 填空题 3 由三边找直角 基础 推理能力 13 填空题 3 方格纸中的直角判定 基础 几何直观 14 填空题 3 方程思想求高（斜拉桥索塔） 中档 模型观念 15 填空题 3 三边求高（垂足在形外） 难 模型观念 16 解答题 6 勾股定理的直接计算 基础 运算能力 17 解答题 9 四边形中两次用勾股定理 基础 运算能力 18 解答题 9 垂直方向运动的距离问题 中档 应用意识 19 解答题 9 翻折中的勾股定理（长方形纸片） 中档 模型观念 20 解答题 9 逆定理证垂直再求面积 中档 推理能力 21 解答题 10 方格中画等腰直角三角形（作图） 中档 几何直观 22 解答题 10 方程思想建模（秋千绳长） 难 模型观念 23 解答题 13 逆定理与面积的综合应用（社区绿地） 难 模型观念 附：B卷命题双向细目表 B卷的知识点与A卷相同，但每道中档题、较难题都要先想清楚再动笔：点在直线上的哪一侧、盒子怎样展开、折痕两侧哪些线段相等、对角线互相垂直时四边的平方怎样联系、等腰三角形哪两边相等，末题让点P沿直角三角形的两边走，分两段求面积。三档题量（基础／中档／较难）依次为11，7，5，与A卷相同，区别在每题要想的步数更多；缆车、风筝、苗圃等联系实际的题有6道。 题号 题型 分值 考查内容 难度 核心素养 1 选择题 3 勾股定理的整体代入 基础 几何直观 2 选择题 3 已知斜边与直角边求高（登山缆车） 基础 应用意识 3 选择题 3 方格中用逆定理找直角三角形 基础 几何直观 4 选择题 3 勾股定理逆定理的证明思路 基础 推理能力 5 选择题 3 等腰三角形底边上的高（展棚吊绳） 基础 运算能力 6 选择题 3 直角三角形斜边上的高（等积法） 基础 运算能力 7 选择题 3 斜边中线与高的综合 中档 运算能力 8 选择题 3 斜边上的正方形与组合面积 中档 几何直观 9 选择题 3 直线上定长点位置的分类讨论 难 推理能力 10 选择题 3 长方体表面的最短路径（到棱中点） 难 空间观念 11 填空题 3 已知斜边与直角边求高（路灯拉线） 基础 应用意识 12 填空题 3 等腰直角三角形的面积 基础 运算能力 13 填空题 3 弦图中的面积之差 基础 推理能力 14 填空题 3 三角形翻折中的方程思想 中档 模型观念 15 填空题 3 数轴上表示无理数（两侧交点） 难 几何直观 16 解答题 6 勾股定理的小数计算 基础 运算能力 17 解答题 9 方格中画正方形与割补法（作图） 基础 推理能力 18 解答题 9 方程思想求高（放风筝） 中档 模型观念 19 解答题 9 对角线垂直的四边形中的平方关系 中档 模型观念 20 解答题 9 等腰三角形腰上的高（方程） 中档 模型观念 21 解答题 10 三边求高的实际应用（三角形苗圃） 中档 应用意识 22 解答题 10 等腰三角形存在性的分类讨论 难 推理能力 23 解答题 13 动点分段中的面积问题 难 模型观念 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $