精品解析：上海市浦东新区民办欣竹学校2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题

上海浦东新区民办欣竹中学2025学年第一学期 数学学科九年级试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 相似三角形都是全等三角形 B. 所有的矩形都相似 C. 所有的等腰三角形都相似 D. 所有的等腰直角三角形都相似 2. 在△中，，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 4. 已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. ， C. D. ， 5. 如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. 已知，则________． 8. 二次函数的图像有最______点．（填“高”或“低”） 9. 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 10. 如图，直线，，，那么的值是_______． 11. 如图，是的角平分线，交于点E，若的重心G在上，则的值是____________． 12. 如图，在梯形中，，，若，，用、表示__________． 13. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为__________米．（结果保留根号） 14. 如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点，如果，，那么_______．（用含有字母a的代数式表示） 15. 如图，将一副三角板按如图方式放置，其中，，，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为____________． 16. 如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 17. 如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 18. 在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为____． 三、解答题 19. 计算：． 20. 《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中． （1）观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； （2）探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； （3）拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 21. 如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且． （1）求的半径； （2）求的正切值． 22. 2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：） 23. 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F， （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，连接CD． ①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值； ②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标． 25. 中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． （1）如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； （2）如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海浦东新区民办欣竹中学2025学年第一学期 数学学科九年级试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 相似三角形都是全等三角形 B. 所有的矩形都相似 C. 所有的等腰三角形都相似 D. 所有的等腰直角三角形都相似 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似图形的判定进而判断得出即可． 【详解】解：A、相似三角形不是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有的矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、等腰三角形的顶角不一定相等，所以所有的等腰三角形不一定相似，本选项不符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似图形的判定方法，掌握相似图形的判定定理是解题关键． 2. 在△中，，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，再利用三角函数即可求解. 【详解】在△中，，，， ∴BC= ∴= 故选C. 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知三角函数的定义. 3. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 是中心对称图形 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 最高点是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 4. 已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了向量．根据向量平行向量的定义“方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量”进行逐一判定即可． 【详解】解：A. ，则与方向相同，故，选项不符合题意； B. ，，则与方向相同，与方向相同，则与方向相同，故，选项不符合题意； C. ，不能说明，选项符合题意； D. ，，则，选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程组等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过圆心作于，得到和，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出的值，也就是圆心到弦的距离． 【详解】解：如图：过作于，连接， 根据垂径定理得：， 设，则，，， 在中，， 在中，， 又，，代入中，解方程组得：，， 所以圆心到弦的距离是， 故选：C． 6. 如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为．若，当变化时，正方形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，过作于点交于点，过作于点交于点，根据正方形的性质可证明，，得，，再由勾股定理得即可求解；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点交于点，过作于点交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴, ， ， 当，有最小值，即当变化时，正方形面积的最小值为， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由比例关系设参数表示未知数，代入表达式化简求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 8. 二次函数的图像有最______点．（填“高”或“低”） 【答案】高 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口即可解答． 【详解】解：∵二次函数 ∴二次函数的图象开口向下 ∴二次函数的图像有最高点． 故答案是高． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下． 9. 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 10. 如图，直线，，，那么的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据已知得到 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 11. 如图，是的角平分线，交于点E，若的重心G在上，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质，解决本题关键是掌握三角形重心的性质． 连接，并延长交于点H，根据重心性质得是中线，且，由，得，再证明，设，则，根据平行线分线段成比例，求出，即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点H， ∵G是的重心， ∴是中线，且， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在梯形中，，，若，，用、表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握三角形法则是解题的关键．根据向量的三角形法则表示出，再根据、的关系解答即可． 【详解】解： ，， ， ，，， ． 故答案为：． 13. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为__________米．（结果保留根号） 【答案】##米 【解析】 【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比是解题的关键；由题意得：，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14. 如图，在四边形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点，如果，，那么_______．（用含有字母a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例和等高的两个三角形面积的比等于它们的底之比． 首先根据等高三角形面积的比等于底的比，由，，可得；根据平行线分线段成比例可得，然后根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出，，由此即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将一副三角板按如图方式放置，其中，，，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，利用平行线得到相似三角形是解决问题的关键． 设，分别表示出、 ，然后利用相似三角形的性质得出结果． 【详解】解：设， 在中， ， ∴ ， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 17. 如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 18. 在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出，，，再结合勾股定理得，因为折叠，得，，，，运用勾股定理得出，，，，再证明，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答． 【详解】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵ ∴， 设， ∴在中，， 即， ∴， ∵，的延长线，的延长线， ∴， ∵， ∴ ∴在中，，， 即，， ∴，， 在中，， 则， ∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点， ∴，，，， ∴， 即， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（两个相似三角形的高的比等于相似比）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将特殊角锐角三角函数值代入，再化简即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 20. 《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中． （1）观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； （2）探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； （3）拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 【答案】（1）； （2） 点是的中点，理由如下：由（）得， 设，， 由折叠使得点和点重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点是的中点； （3） 如图，延长相于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴是的黄金分割点． 【解析】 【分析】（）设纸较长边的长为，较短边长为，易求得第一次折痕长为，根据第次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导即可； （）延长相交于点，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明，进而可求得，即可证得结论． 【小问1详解】 设纸较长边的长为，较短边长为，由题意，得第一次折痕长为， ∵第次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质． 21. 如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且． （1）求的半径； （2）求的正切值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得． 【小问1详解】 解：如图，延长，交于点，连接， 由圆周角定理得：， 弦的长为8，且， ， 解得， 的半径为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 的半径为5， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， 则的正切值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 22. 2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：） 【答案】此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米 【解析】 【分析】设此时观测点A到发射塔的水平距离为米，在中根据得到，之后在中根据得到，根据进而得到答案． 【详解】解：设此时观测点A到发射塔的水平距离为米． 由题意，得． 在中，， ∵ ∴ 在中，， ∵ ∴ ∵ ∴，即； （米）． 答：此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 23. 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】 解：（1）∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据得，再由，可以证明，即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明，即可证明，就能得到结论． 【详解】解：（1）略； （2）略． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 24. 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，连接CD． ①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值； ②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据点，的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点、、的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出、、的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot∠DCB的值； ②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，根据平行线的性质推导出，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D的坐标． 【详解】（1）将、代入y＝ax2+bx+2， 得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）①当时，， 当时，， ∴，，， ∴， , , ， 为直角三角形，其中， ∴; ②过作轴的平行线， 过作轴平行线交于， 设点D坐标为,则， ， ∵， ∴， , , ，， , ∴， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线． 25. 中，，分别在上，，连接，作交于M，交于N，交于O． （1）如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； （2）如图2，， ，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①分别过作的垂线，垂足为，首先根据三角形相似的判定得出，再得出，根据平行线的性质得四边形为矩形，结合题意得出，，根据全等三角形的判定得出，得出，再由勾股定理得出，最后由正弦函数的定义即可求得结果； ②过点作的垂线，垂足为点，设，得出，证出，得出，再由锐角三角函数的定义和勾股定理可得，，最后由勾股定理列方程求出，即可得出的值； （2）过于，证明为等腰直角三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理证明，过点分别作的垂线于，得出，再过作交延长线于，求出的值． 【小问1详解】 解：①分别过作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ②过点作的垂线，垂足为点， ， 设， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 当时，，舍去， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过于， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； ， ， 为等腰直角三角形， ； ， ； 设， 则， ； 在中，有， ， 解得， 其中，不符合题意，舍去， ， 当时，有， ； 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ； 过点分别作的垂线于， ， ， ； 设， ； 在中，有， ， ， ； ，， ， ； 设， 又为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ； 过作交延长线于， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； 当时, ， 又， 为等腰直角三角形， 则由以上可知，，， ； 综上可知或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，平行四边形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角函数，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $