湖北省新八校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 答案 B B D C D A 题号 9 10 11 答案 ABC BD ABD 1.B【详解】试题分析：二=i1+)=i+=-1+i,∴共轭复数在复平面内所对应点的坐标为(-1，-1). 2.B【详解】设直线1与平面α所成的角为日，则 sin= cosn,m 2x1+1×2+1×(- 3.D【详解】易知D0:D丽+40=D0+4+网)=4M+0+到- -1b+c。 4.C【详解】该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为：1-×名- 43-6 5.C【详解】若4，乃，乃}不能构成空间的一个基底，∴.，2，共面，.存在九，4，使=m+%,即 -1=m+0 ∫=-1 9=-31+2,解得u=3,若能构成空间的一个基底，则m≠1 1=22+4 6.D【详解】因为事件A所含的样本点为：{2,4,6,8，事件B所含的样本点为：{1,2,3,4}，事件C所含的 样本点为：{2,3,5,7}.因为事件B,C都包含样本点2,3，所以B,C不互斥，故A错误；因为ABC所含的 样本点为：，所以P(4C)日又P(④-P(S)-P(C)号所以P(4BC)-P4P(B)P(C).又事件AC 所合的样本点为：.所以P(aC)8又P(P(C)子所以P(AC)=P(AP(C),所以车 件A,C不独立，即A,B,C两两独立错误，B,C错误.因为AUB所含的样本点为：1,2,3,4,6,8}，所以 P4u助=8号故D对 7.A【详解】因为a+B-b=c2,所以cosC=b。三=，而C为三角形内角，所以c=π 白Sac=及ax+及am,所sm号cwm爱acM.mg化简得到5a-b+a 所以5a=b+a>2西，则助号当月仅当-时，等号成立所以a西c网o骨：号 3 所以C.C死的最小值为 第1页共6页·26-G2-10L 8.A【详解】在半径为1的球面上存在四点，，？，形成边长为1的空间（或平面） 四边形，根据对称性，四点的位置如图所示.由于O=R引=R=1,设OH=x, 则P=PH=x,且x∈ (如果带等号，P和P重合或P和P重合，) 易得：PA=4-4,利用等面积法SPA小x=V- 易得： 2f=4所以RA+RA-44r4-8〔4r+)= 注：当x=巨时，取到最大值4，此时R,B,B2共面 2 9.ABC【详解】依题意，平均数4=24-2026，中位数b2=2b-2026,标准差c=2c1,极差d2=2d 1nD【解120i1oid4ai0s0i证4ac0,则40}亚+号4C,A不编： 若OD=2OA,OE=3OB,OF=4OC,则OD+OE+OF=0,所以O是△DEF的重心，直线AO过EF中点， 而EF与BC不平行，所以直线AO不过BC边的中点，B正确：又SDog=SgOr=SDom,而SDog=6S。4OB, S。gom=12SBoc,所以SA0B:SABOC=2:1,C错误： 若0AH0BH0c=1,且160C2=(20A+30B2=40A+120A.0B+90B2,所以0A.0B-号 而0c.AB-1(20A+30B.@A-08)=220+0A0-30=-3 ,D正确 11.ABD【详解】对AB::PE⊥DE,BE⊥DEDE⊥平面PBE, ZA DE∥BC,.BC⊥平面PBE,因为MEc平面PBE,BC⊥ME,:BE=PE,M 是PB中点，ME⊥PB,'BCO PB=B,BC,PBC平面BMN,ME⊥平面BMN M D 对C:假设存在点N满足题意，·平面PDE⊥平面BCDE,PE⊥DE,平面PDE∩ 平面BCDE=DE,PEc平面PDE,PE⊥平面BCDE,.如图所示建系 9 B E(0,0,0),P(0,0,2),M1,0,1),N(2,m,0)(0<m<2),EM=(1,0,1),EN=(2,m,0) 设平面EMW法向量为元=（化y=),:n:丽=0 x+z=0 元.EN=0 即 2x+m=0’·i=(m-2,-m）, E亚 又平面BCDB的法向量EP=(0,0,2)cos(EP, m√2 6m满足0<m<2. 1 网 V2m2+4 对D:延长CB至点2，使得B2=BC,由(I)可知，DE⊥平面PBE, 又：DEC平面BCDE,.平面PBE⊥平面BCDE,CH=QH M(H) CH+FH=QH+FH≥QF,.当QF⊥CP，,且OF∩PB=H时，CH+FH最小， .CF=2BC.cosLFCB=2BC.BC43 PC 3 第2页共6页·26-G2-10L 12.【详解】将-1+3i代入方程x2+2px+q=0,得(3i-1)2+2p(3i-1)+q=0,得 -9-6i+1+6pi-2p+q=0,.6p-6=0,p=1 13.【详解】因为ā+25=(3,1)，所以a+252+=0,又=2，-1，所以a+2=a+25- 尽+5=®万-而，所以6-所以做-明片 54 14.【详解】由V5 SasinC+=a+b可得，故5sinC-cosC=1→sin c-=号 （62 于c0.妆c-君)因tc君-会c 31 △45c的缅积为5a+b+o,敢（ab-e)bnca+bc=, 2 由于c=ab-a-b>a-b→b>2,c=ab-a-b>b-a-a>2,故a+2b>6,令t=a+2b, 将c=ab-a-b代入a2+b2-c2=ab可得d2+b2-(ab-a-b)=ab,化简得ab+3=2(a+b), 将a=t-2b代入ab+3=2(a+b),且可得2b2-(t+2)b+2t-3=0, 则△=(t2+4t+4)-8(2t-3)≥0，解得t≥6+2，或0<t≤6-22（舍去），故最小值为6+2√2 15.【详解】(1)，(2c-b)cosA-acosB=0,由正弦定理得(2sinC-sinB)cosA-sin AcosB=0, ..2sin CcosA-(sin BcosA+cosB sin A)=0,..2sin CcosA-sin(A+B)=0,................. 3分 1 .2 sin Ccos4=sinC,,C∈(0，π)，.sinC≠0，.cosA= 2’4分 A∈(0，）,5分 ..A= 3.6f （2):亚-c,-正+号Ac,-正+号ac+号4C,9分 M=2,4。C2+4b+4bc.cos,36=C2+4b2+2bc≥4bc+2bc三 c≤6，当且仅当b=c时，等号成立，△ABC的面积g=bcm45x6x5_3y5 1 2 2 12分 即△4BC面积的最大值为3 13分 2 16.【详解】(1)一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05， 平均数=45×0.10+55×0.15+65×0.15+75×0.30+85×0.25+95×0.05=713分 由图可知，众数为75.5分 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分6分 (2)前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.80，前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.80， 第80%分位数落在第5组，设为x,则0.70+(x-80)×0.025=0.80,解得x=84. 第3页共6页·26-G2-10L “防溺水达人”的成绩至少为84分10分 (3)[60,70)的频率为0.15，[70,80)的频率为0.30 所以[60,70)的频率与[60,80)的频率之比为 0.15 .11分 0.15+0.303 [70,80)的频率与[60,80)的频率之比为 0.30_2 .15+0.303 12分 2 设[60,80)内的平均成绩和方差分别为，号，依题意有名=3×67+子×73=71,13分 兮-兮p161-0+号29(73n门-}，所以[00)内的平均废续为71，方发为 15分 17.【详解】(1)方法一：因为M,N分别为棱PB,PD的三等分点， 所以MN∥BD,连接MD,BN,MD交BN于点F, 连接EF,BD,则BD=3MN, 故MD=4MF, 又在△AMD中，AD=4AE,所以EF/1AM, 又因为EFC平面BNE,AM丈平面BNE, 图1 所以AM∥平面BNE. 4分 方法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、二轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 段AB=1,则：M0,4,BG0,02020,N0,24,P0,0O，D0,6.0,所以 AM=00,B旺=(1,0，成=(12 记=(x,y,z)为平面BE的一个法向量，则 B2=-+2=0,令y=2,则应=22，月 jBN=-tx+2y+4z=0 图2 所以L·AM=0,又AMC平面BNB,所以AM/平面BWE4分 (2)因为A8=4W5.所以4m=4y50,,C4W5,60,PC=4N56,-,PD=0,66) 记v=(x',y',z)为平面PCD的一个法向量，则 .PC=45x46y'6z'=0 v.PD=6y'-63'=0 令y'=1,则V=(0,1,1)… 6分 V.AM 6 记直线AM与平面PCD所成角为8，则i8 V2x83 4 .9分 3 第4页共6页·26-G2-10L 因此，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为√ 4 10分 3)由1)2)知五=(52-月为平面MZ的-个法同量，= 4 Q9.W=@20 记w=(a,b,c)为平面AN的一个法向量，则 pA7=4 -a+4c=0 3 ,令a=3,则w=(3,23,-V3) .11分 w.AN=2b+4c=0 w 5v3 534 记平面AMN与平面BNE所成角为x,则cos V6×V17-34 14分 因此，平面4AN与平面BWE所成夹角的余弦值为5V34 34 15分 18.解：三人每局出手，总基本事件数：33=27种，等可能. ①三人手势完全相同（同剪刀、同石头、同布）：共3种，每人+十1分，概率P=3- 27F951分 ②仅两种手势： 乙丙手势相同败于甲、甲乙手势相同胜丙、甲丙手势相同胜乙：共9种，甲+2分，概率P= 32分 3分 乙丙手势相同胜甲、甲乙手势相同败于丙、甲丙手势相同败于乙：共9种，甲-1分，概率P=} ③三种手势全部出现：27-3-9-9=6种，所有人得0分，概率P=」 62 279 …4分 (1)甲得-1，本局只有两种手势，甲为输家，乙丙手势相同且战胜甲，或者甲乙为输家或者甲丙为输家， 共9种情况此时概率B=9=1 2738分 (2)甲两局总分等于4，单局最高得2分，故只能第一局、第二局甲都得2分。…9分 1 1.11 甲单局得2分的概率为了，因此两局甲均得2分的概率为：3？9 当甲单局得2分时，乙、丙的得分有三种等可能情形： ①乙得2分，丙得-1分：②乙得1分，丙得2分：③乙、丙均得-1分，每种概率 要使甲为唯一获胜者，要求乙总分小于4且丙总分小于4 乙总分≥4：两局都是“乙得2分，丙得-1分”，概军 .11分 丙总分≥4：两局都是“乙得-1分，丙得2分”，概 13分 第5页共6页·26-G2-10L 乙、丙均未达到4分的概率：1-11-☑ 999 15分 两事件相互独立，因此B=二×？-7 9981 17分 19.解：(1)设直线11与l2所成角为0.由题意，直线1的方向向量=(2，-1,2)， 直线12的方向向量2=(1,2，-1).cos 12x1+(-1)×2+2×(-1以V6 丙 3×√6 9 ·直线与，所成角的余弦值为6 4分 (2)平面%1：2x+y-2z+3=0的法向量为n=(2,1,-2),直线11平面a1, ∴.直线1的方向向量与平面a1的法向量平行，可取方向向量为n=（2,1,-2) 又：百线1过点21小.设直线方程为号-只号令号2早号 则x=2+2t,y=1+t,2=-1-2t, 代入平面a的方程：22+20）+(1+)-2(-1-24)+3=0，整理得：91+10=0,1=-10 代入可得交点：=2+2(9}=-号=1+(》-古=1-2（9）-号 将t=、10 2111 ∴.直线1与平面a的交点坐标为 939’9 …8分 (3)(i)几何体S是底面圆的半径为2，高为22的圆柱， 故几何体S的体积为π×2×2x2√2=8√2π… 12分 (i)N={x,y,z)儿x+y≤2，y+zK2,:+k卡2}的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时x>0,y>0,z>0,得N={(x,y,z)x+y≤2，y+z≤2，z+x≤2，x>0,y>0,z>0}, 画出第一卦限图象，计算平面x+y=2,y+二=2得二面角，所以两个平面的法向量分 别为m=(1,1,0),i=(0,1,1),则其二面角的夹角余弦值为 m列1 m-网21 所以几何体T相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小为. .17分 第6页共6页·26-G2-10L高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.复数z=1+)(i是虚数单位)的共轭复数在复平面内所对应点的坐标为() A.(1,1) B.(-1,-1) C.1,-10 D.(-1,) 2. 若平面a的一个法向量为”=(2,1,1)，直线1的一个方向向量为m=(1,2,-1),则1与a所成的 角为() A B. C. D. 3. 平行六面体ABCD-AB,CD1中，O为4C与B,D,的交点，设AB=a,AD=五，A4=C,用 a,b,c表示Do,则() A. D0=a-6+8 B.DO-+26- C.DO=-1a+B+c D.D0=1a-16+d 2 2 4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的 3 结果相互不受影响。若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的 概率为；，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为《) A吕 B.月 c.a D. 5. 已知m=（-1,9,1),乃=(m,-3,2),m=(0,2,1),若{，m,乃}能构成空间的一个基底，则m不能 是( A.3 B.5 C.1 D.7 6. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与 地面接触的面上的数字，得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A=“得到的点数为 偶数”，记事件B=“得到的点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说 法正确的是() A.事件B与事件C互斥，事件A与事件C相互对立 B.P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),但事件A,B,C两两独立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C),且事件A,B,C两两相互独立 D.P(UB)- 第1页共4页·26-G2-10L 7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-ab=c2,若角C的内角平分线 CM=1,则CA.CB的最小值为() A. 2 B.1 c.3 D. 8.O是空间中任意一点，若互不相等的单位空间向量o丽(=1,2,3,4)满足P=B= ==1,则+B的取值范围为( A.(3,4 B.[3,4] c.[3,4) D.(3,4) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.有一组样本数据x,x2,,xm,其平均数、中位数、标准差、极差分别记为a,b,C,4,,由这 组数据得到新样本数据为，y2,…,yn,其中y=2x-2026(i=1,2,,n),其平均数、中位数 标准差、极差分别记为a2,b2,c2,d2,则() A.a2=2a1-2026 B.b2=2b-2026 C.C2=2c D.d2=d 10.已知点O为△ABC所在平面内一点，且2OA+3OB+4OC=0,则下列选项正确的有() A.40-丽+号4c B.直线AO不过BC边的中点 C.S△4oB:S△Boc=3:2 D.若1 DAHOBHOC=1,则OC.AB=-3 16 11.如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4,E为AB的中点， 将△ADE沿DE折起，使得点A到达点P的位置， 且平面PDE⊥平面BCDE,如图2，M为PB的 中点，N是BC上的动点（与点B、C不重合）， F是PC上的动点（与点P、C不重合），则() A.EM⊥PC 图1 图2 B.EM⊥平面BMN C.不存在点N,使得平面EMN与平面BCDE的夹角余弦值为V 6 D.若点H在平面PBE内，当CF=45时，CH+FH最小 3 第2页共4页·26-G2-10L 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数-1+3i是关于x的实系数方程x2+2px+q=0的一个根，则实数P的值为 13.已知向量a,6满足同=2，=1，a+25=(3,1),则cos(a,6)= 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若√3 asinC+ccosA=a+b,且△ABC的面积为 2(a+b+©)，则a+2b的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-b)cosA-acosB=0. (1)求A: (2)若点M在BC上，满足BM=2M乙，AM=2,求△ABC面积的最大值」 16.(本小题满分15分) 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知 识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的 频率分布直方图. 频率 0.03 个组距 0.025 0.015 0.01 0.005 0405060708090100成绩/分 (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数： (2)成绩位列前20%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达 人”的成绩至少为多少分： (3)已知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9：落在[70,80)内的平均成绩是73，方 差是29，求落在[60,80)内的平均成绩和方差. (附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,x,s;n,x,s记两组数据总 体的样本平均数为0，则总体样本方差=m[+民-可门+m产[号+（国-可门） 第3页共4页·26-G2-10L 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD是矩形，PA=AD=6, 点M,N分别为棱PB,PD上靠近点P的三等分点，点E在棱AD上，AD=4AE, B (1)求证：直线AM∥平面BNE: (2)若AB=4√5，求直线AM与平面PCD所成角的正弦值： (3)在(2)的条件下，求平面AMN与平面BNE所成的夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每 局计分规则： ①三人手势全部相同：每人各得1分；②三人只出现两种手势：赢的人得2分，输的人负1 分：③三人三种手势都出现：三人均得0分. 当任意一人得分≥4分时游戏结束，得分最高者获胜.已知三人之间及每局游戏之间互不影响· (1)求甲在一局中得-1分的概率乃： (2)求游戏经过两局后甲恰好得4分且为唯一获胜者的概率P· 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系0-z中，已知向量u=(a,b,c),点B(xo,o,zo).若直线1以u为方向 向量且经过点乃，则直线1的标准式方程可表示为x二。=)一=2二0(bc≠0)：若平面&以 a b c 为法向量且经过点R,则平面C的点法式方程表示为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-2o)=0. (1)已知直线4过点A(1,0,-1)且方向向量为元=(2，-1,2)，直线2过点B(0,1,1)且方向向量 为2=(1,2，-1)，求直线4与12所成角的余弦值： (2)已知平面%1：2x+y-2z+3=0,平面外一点P(2,1,-1).若直线1过点P且与平面a1垂 直，求直线1与平面%的交点坐标： (3)(i)若集合M={(x,y,z)川x2+y2≤4，z≤√2}，记集合M中所有点构成的几何体为S, 求几何体S的体积： (i)若集合N={(x,y,z)川+y≤2，y+≤2，z+≤2，记集合N中所有点构成的几何体 为T,求几何体T相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小 第4页共4页·26-G2-10L