湖北省武汉市问津教育联合体2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2028届问津联考10月数学参考答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B C D A BD AC ACD 12.2 13.号 14.9 15.【详解】(1)BC=(2,1,-2),设c=1BC,…2 因为=6，而BC=3,所以1=±2：…4 故c=（4,2,-4)或c=（4,-2,4)…6 (2)点P(1,-1,m)在平面ABC上，AP=AB+4AC,…8 (-1,-1,m+2)=(-1,-1,0)+(1,0,-2), [-1=-2+4 -1=-2 …11 m+2=-24 解得：m=-2.…13 若利用0P=x0A+y0B+Z0c(x+y+z=1)一样得分 16.【答案】(1)连接BD,交AC于点G,连接EG,…1 因为ADIBC,AD=3,BC=3 所以A4 DG-&CBG,则4D-DC=2, 又因为DE=2BP,所以D-DC-DE=2,所以EGPB,…4 BC BG EP 又因为PBE平面ACE,而EGC平面ACE,所以PB∥平面ACE.…6 (2)依题意可得AB,AD,AP两两垂直， 则以A为原点，AB,AD,AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-z, ZA 由AB=3,BC=号，AD=AP=3,且DE=2EPy 则4(0,0,0）， c3.0. D(0,3,0),P(0,0,3),E(0,12),…8 则证-(02,4c-（5,20 设DF=2DP,2∈[0,1]，得F(0,3-32,3),AF=(0,3-32,32), 设m=(x,y,z)是平面ACE的一个法向量， m·AE=y+2z=0 mac=5x+y-0 令y=2,则x=-5,2=-1,所以平面4CE的一个法向量为m=（3,2,-…10 设直线AF与平面ACE所成角为O, AF.m 则sin0=cos AF,m= 32-32 √5 ……12 AFm3W-21+22x2√24' 4以+3=4-2-3=0，解得元=4：或元=)（舍去)， 所以AF= 所以线段AF的长为310 …15 4 4 17.【详解】(1)由频率分布直方图性质可得10(2a+0.030+0.016+0.008)=1, 解得a=0.023…2 故x=25×0.23+35×0.23+45×0.30+55×0.16+65×0.08=41.3.…5 (2)第四组人数为100×0.16=16，第五组人数为100×0.08=8，人数比2：1. 因为分层抽样抽取6人，故第四组抽取4人，第五组抽取2人，…7 从6名学生中任意取两人，不同的取法有6X5=15种， 2 两名学生来自不同的组的取法有4×2=8种， 故这2名学生来自不同组的概率为P=8 …10 5 (3)n=16,x=54,s2=4:h2=8,x2=66,s=7, 故z=16×54+8×66 =58,…12 16+8 又%+（医-]+%[号+属-] n+n 16x4+(54-58}2]+8x[7+(66-58) 24 _16×20+8×71=37.…15 24 18.【详解】(1)根据题意可知X的所有可能取值为-2,0,2，…2 nr=0=号片号告 …4 (2)①设两轮得分总差为Y,那么Y的可能取值为-4，-2,0,2,4， 若n=2时乙获得最终胜利的概率，则Y≤0，…5 PY=-49 11)2 司Pg25品 33 P(Y=0)= 4 ,1、4,4124 …11(每个2分) 999981 教Pvs0-PW-4+Pr.2v-0- ……12 ②设三轮总差为变量Z,甲乙分数相同即Z=0,那么 ,P(Z=0) 4 1x4×4x6= 160 9 999 729 所以n=3时甲乙分数相同的概率为0 729 …17 19详解】(1)(i)因为∠BAD=60°，AB=2AD=2√3， 在AABD中，由余弦定理，BD2=AD2+AB2-2AD×ABcos60°=9，BD=3…1 所以AD2+BD2=AB2,即∠ADB=90°，所以AD⊥BD.…2 因为平面PBD⊥平面BDC,平面PBDO平面BDC=BD, PDC平面PBD,PD⊥BD, 所以PD⊥平面BDC.…3 因为BCC平面BDC,所以BC⊥PD;…4 (ii)因为CD∥a,CDc平面BCD,平面BCDna=EF, 所以EF/CD.…6 因为PE平分∠BPD,所以BE=PB_2 ED PD 1 所以瓷子R0-子45 …7 3 3 3 由(1)知，BC⊥BD,BD=3,BC=V5,PDL⊥平面BDC. 法1： 以B为原点，BC,BD及垂直平面BCD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B-灯z, 则E(0,2,0) 因为EF EP=(0,13),Pc=(5,-3,-5) 设平面PEF(即a)的一个法向量为i=(x,y,z), [7.EF=0 2 所以 即{3 1.EP=0 2x-2y=0,令x=3,则y=5,2=-l y+3z=0 所以i=(3,5,-, …9 设C到平面a的距离是d, 所以d= 7.PC35-33+3_39 13’ …10 13 所以点C到平面a的距离是V39 13 B 法2： 由BEBF2 DfC斤，得BE=2CF- 3 所以ACFE的面积为二xCF×BE= *2 x5 ……8 23 3 由(1)知PD⊥平面BDC,BCc平面BDC,所以PD⊥BC 又BC⊥BD,BDOPD=D,BD,PDc平面BDP,所以BC⊥平面BDP, 因为PBC平面BDP,所以BC⊥PB, 所以R=F+-9即PF2 3 4+1640 在aPEF中，由余弦定理得cos∠PEF=33-3 4V3=-4,所以sin∠PEF= V13 2×2× 4 3 设C到平面PEF的距离为h, 因为防=am,所议g号x-xx2x小33h,9 32 34 所以h=V3 13 ,所以点C到平面a的距离是v39 13 …10 (2)以B为原点，BC,BD及垂直平面BCD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系B-xz, 因为PD=5,设PV3cos0,33sin0,…11 因为C3,0,0,E(02,0), 所以BE=(0,2,0),BP=V3cos0,3V3sin0): 设平面BEP的一个法向量为m=(x,,名)， m.BE=0 2y1=0 则 所以 mBP=0 x×V3cos0+3y+z×V3sin0=0' 解得y=0,令x=sin0,则z1=-cos0, 所以m=(sin0,0,-cos0),…12 又因为CE-（-v3,2,0）,C乎-(V3cos0-V5,3v3sin0), 设平面PCE的一个法向量为i=(x2,y2,22), n.CE=0 -5x,+2y2=0 所以 n.Cp=0 ，所以 ,2×(V5cos0-V5)+3y2+22×v3sin0=0' 得i=(2sin0,3sin0,-(（1+2cos0),…14(两个法向量共3分，只对任一个得2分) 所以cos(m,= m 2+cos0l 2+cos0 3sin20+4cos0+5 3cos20+4cos0+8 令2+cos0=t,则1∈[1,3]， …15 所以es(m训=3r+16-2 2 -312+161-12 设f0=3+160-12 1 因为 0b6312127,1e3l …16 t2+ t 气3+3 所以当！子即cas0=-时，f0取得装小 71 所以os佩明上马设装=面角及-PE-C的大水为a, 因为sina=-cos2<mi>,所以sina≤2y7, 7 所以锐二面角的正弦值的最大值为2y7 由正弦函数的单调性知角存在最大 7 角…17高二10月数学训练卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1.已知7,J,E是空间两两垂直的单位向量,空间向量 =7-2]+2k,则向量 的模为() A.1 .B.3 C.9 D.(1-2.2) 2.事件A和事件B为独立随机事件,事件C表示为事件A和B至少一个发生,则c=() .AOB B.AUB C.B D.40B 3.甲袋中有1个白球和1个红球,乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球 放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为() A吉 B.名 C. 2 D. 3 4三个元件,飞工正常工作的概率分别为子,且是相互独 立的、如图,将工,工,两个元件并联后再与T元件串联接入电路, 则电路不发生故障的概率是() A月 23 B 24 c贵 32 5.如图,一个直四棱柱形容器中盛有水,底面ABCD为梯形, AB=2CD=4,侧棱4=8,若侧面4BB水平放置时,水面恰好过 B AD的中点,那么当底面ABCD水平放置时,水面的高度为() A.4 B.6 C. D. 6.在四面体OMBC中,点M满足OM=3,N在BC上,若MN=xAB+yOC,则x-y=() A.0 B. 3 C. D. D C 1 \ A 人P 、B1 7.如图,在平行六面体ABCD-AB,CD,中,底面ABCD是菱形,侧面 D A,ADD,是正方形,且∠A,AB=120 ,∠DAB=60 ,AB=2,若P B 是CD与CD,的交点,则异面直线AP与DC的夹角的余弦值为() A B. c. D. 14 高二数学卷共(6)页第1页 8.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多 边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体 切截而成的(在8个顶点处切掉8个小三棱锥),它由八个正三角形和六个正方形构成(如 图所示),点K满足EK=EB+EN,4∈(O,1],则直线BK与平面ABE所成角的正弦值() M A.为定值1 B.存在最大值,且最大值为1 G C.为定值y6 D.存在最小值,且最小值为 6 B 二.多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分, 9在以下命题中,不正确的命题是( ) A.对于空间向量元,五,"a 五>0"是“a与五的夹角为锐角”的必要不充分条件。 B.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”,指的是:该市气象台专家中,有70%认 为明天会降水,30%认为不降水, C.连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点,可以认为这枚骰子质地不均匀: D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zO元(其中x,y,z∈R), 则P,A,B,C四点共面 10如图,一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它 与地面接触的面上的数字,得到样本空间为2=1,2,3,4,5,6,7,8},记事件A=“得到的点 数为奇数”,记事件B=“得到的点数不大于4”,记事件C=“得到的点数为质数”,则下 列说法正确的是() (质数,又称素数,是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自 然数.) A.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) B.事件A与C相互独立 c.P() D.P(A-B)= 11如图,已知正方体ABCD-AB,CGD,的棱长为2,P为底面ABCD内(不包括边界)的动点, 高二数学卷共(6)页第2页 则下列结论正确的是( ). A.三棱锥B-CDP的体积为定值 D B.存在点P,使得DP⊥AC B C.若DP⊥B,D,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 2W5 D.若点P是AD的中点,点2是BB的中点,过P,2作平面a⊥平面ACCA,则平面a截 正方体ABCD-AB,CD的截面面积为3√5 二、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知0A1AB,若0A=(11,0),则o40丽=一 13.已知集合M=(1,2,3),在M中可重复的依次取出三个数a,b,c,则“以a,b,c为边 长恰好构成三角形”的概率是一 4已知空间中有三点A、BC满足AB=BC=CA=1,再取两个点,使得这两点与点A,B,C可 以组成正四棱锥,则不同的取法有 种.。 三、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,4),设 =AB,6=AC. (1)若=6,且c∥BC,求向量c: (2)若点P(L,-1,m)在平面ABC上,求m的值. 16.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, AD//BC,AD=AP=3,DE=2EP,AB=5,BC=3 2 (1)求证:PB∥平面ACB: B ②)已知点F在棱PD上,且直线AR与平面4CE所成角的正弦值为5 求线段AF的长 4 高二数学卷共(6)页第3页 的实验结 17.(15分)某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查(单位:分钟), 随机抽取了100名学生并将其时长分成五组:第一组[20,30),第二组[30,40),第三组[40,50), 第四组[50,60),第五组[60,70],绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求第一组[20,30)的频率,并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表): (2)从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生,再从这6名学生中随 机选出2名学生,求这2名学生来自不同组的概率; (3)若第四组的时长的平均数为54,方差为4,第五组的时长的平均数为66,方差为7,求 这两组时长的总平均数z和总方差2 个频率/组距 0.030 0 0.016 0.008 0203040506070时长(分钟) 18.(17分)现有A、B两个箱子,里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球.A箱有2 19 个红球,1个白球;B箱有1个红球,2个白球.现有甲、乙两人进行摸球游戏,每轮游戏 5 甲从A箱取一球,乙从B箱取一球,每次取球后放回原来箱子(即每次取球时箱中球的总 ( 数和颜色保持不变,各轮取球相互独立).每轮取球得分规则如下: 若两人取出的球颜色相同:各得2分 若一人取红球,一人取白球:取红球者得3分,取白球者得1分 (1)设第一轮游戏甲与乙得分之差为X,求X的所有可能值及X=0时对应的概率P(X=0): (2)若规定游戏进行n轮结束(n≥2),n轮游戏结束后若甲累计得分高于乙,则甲获得最终 胜利:若乙累计得分不低于甲,则乙获得最终胜利: ①求n=2时乙获得最终胜利的概率: ②求n=3时甲乙分数相同的概率. 19.(17分)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60 ,AB=2AD=2√5,E为BD上一点,且AB平 分∠BAD,将 BDA沿BD翻折至 BDP, (I)若平面PBD⊥平面BDC. (i)求证:BC⊥PD; (ii)设PEc平面a,且anBC=F,若CD/Ia,求点C到平面a的距离; (2)试判断锐二面角B-PE-C是否存在最大角,若存在,求出其正弦值,若不存在,说明理 由 D E B D