2026--2027学年人教版九年级数学上册期中考试知识清单（第25-27章）

人教版九年级数学上册期中考试知识清单 （第25-27章） 标记说明：⭐基础必会；⭐⭐高频重点；⭐⭐⭐难点压轴 第25章 一元二次方程 25.1 一元二次方程定义 ⭐⭐ 知识点：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程一般形式：（），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，一次项系数；是常数项。一定要注意这个条件。 典型例题（选择题） 题目：下列方程是一元二次方程的是（） A. B. C. D. 完整解析： A未知数最高次数是1，一次方程；B含有两个未知数；D最高次数是3；C满足：一个未知数，次数为2，整式方程，属于一元二次方程。 答案： 25.2 一元二次方程的解 ⭐ 知识点：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。将数值直接代入方程左右两边验证即可判断是否为根。 典型例题（填空题） 题目：已知是方程的一个根，则________。 完整解析： 根代入方程，左右两边相等，把代入： ，移项，解得 答案： 25.3 直接开平方法 ⭐⭐⭐ 知识点：适用于形如（）类型的一元二次方程。直接对等式两边开平方，得到或者，再分别解两个一次方程；当时，负数不能开平方，方程无实数根。 典型例题（解答题） 题目：解方程： 完整解析： 方程左边是完全平方形式，可以直接开平方。 两边开平方：，也就是或者 ①，解得 ②，解得 答案： 25.4 配方法 ⭐⭐⭐ 知识点：配方法：通过配方，把一元二次方程化成的形式，再利用直接开平方法求解。 配方核心：对于，加上一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方公式：。 典型例题（解答题） 题目：用配方法解方程 完整解析： 第一步：移项，常数项移到右边 第二步：配方，一次项系数，一半是，平方等于9，左右两边同时加9 左边写成完全平方： 第三步：开平方： 答案： 25.5 公式法 ⭐⭐⭐ 知识点：对于一般形式一元二次方程，先计算判别式；当时，可以直接套用求根公式： 公式法可以解所有有实数根的一元二次方程。 典型例题（填空题） 题目：一元二次方程中，，，___。 完整解析： 先对比标准形式 对应 对应 常数项 答案： 25.6 因式分解法 ⭐⭐⭐ 知识点：因式分解法原理：如果两个因式相乘等于0，那么至少其中一个因式等于0，即若，则或者。 步骤：移项让方程右边等于0；左边因式分解；令每一个因式等于0，得到两个一元一次方程，求解。常用分解方法：提公因式法、十字相乘法。 典型例题（解答题） 题目：解方程（十字相乘法） 完整解析： 十字相乘分解二次三项式：找两个数相乘等于6，相加等于，也就是和 分解得到 根据“乘积为0，则至少一个因式等于0” 或者 答案： 25.7 根的判别式 ⭐⭐⭐ 知识点：叫做一元二次方程根的判别式。 1.：方程有两个不相等的实数根 2.：方程有两个相等的实数根 3.：方程没有实数根 典型例题（选择题） 题目：一元二次方程根的情况是（） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 完整解析： 计算判别式： ，对应结论：有两个相等实数根。 答案： 25.8 根与系数关系（韦达定理）⭐⭐⭐ 知识点：当一元二次方程有两个实数根时，两根之和、两根之积满足： ⚠前提条件：，方程必须存在实数根才能使用韦达定理。 典型例题（填空题） 题目：一元二次方程两根，则____ 完整解析： 韦达定理两根之和： 答案： 第26章 二次函数 26.1 二次函数定义 ⭐⭐ 知识点：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。自变量最高次数是2，不能等于0；当时就不再是二次函数，退化成一次函数或者常数函数。 典型例题（选择题） 题目：若函数是二次函数，则取值范围是（） A. B. C. D. 完整解析： 二次函数要求二次项系数不能等于0：，移项得到。 答案： 26.2 二次函数图像与开口 ⭐⭐⭐ 知识点：二次函数图像是一条抛物线。 决定抛物线开口方向与开口大小： · ，抛物线开口向上 · ，抛物线开口向下 越大，抛物线开口越窄；越小，开口越宽。 典型例题（填空题） 题目：二次函数，开口方向____。 完整解析： 看的值，，，根据知识点，抛物线开口向上。 答案： 26.3 顶点式、对称轴、顶点坐标 ⭐⭐⭐ 知识点：二次函数顶点式： 对称轴：直线 顶点坐标： 顶点式可以直接读出顶点和对称轴，适合用来研究最值、平移问题；一般式可以通过配方转化成顶点式。 典型例题（解答题） 题目：二次函数，写出它的对称轴与顶点坐标。 完整解析： 对比顶点式 对称轴公式：直线，也就是直线 顶点坐标即 答案： 26.4 二次函数增减性 ⭐⭐⭐ 知识点：增减性以对称轴作为分界线： 1.开口向上：在对称轴左侧（），随增大而减小；对称轴右侧（），随增大而增大。 2.开口向下：在对称轴左侧（），随增大而增大；对称轴右侧（），随增大而减小。 典型例题（选择题） 题目：抛物线，当时，随增大如何变化（） A.增大 B.减小 C.不变 D.先增后减 完整解析： ，开口向上；对称轴；题目范围属于对称轴右侧；开口向上，右侧随增大而增大。 答案： 26.5 二次函数最值 ⭐⭐⭐ 知识点：抛物线顶点就是整个抛物线的最高点或者最低点，也就是函数取得最值的位置： 1.开口向上，抛物线有最低点，函数有最小值，最小值就是顶点纵坐标； 2.开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，最大值就是顶点纵坐标。 注意：上面是自变量没有额外范围限制的情况；如果题目给定取值范围，需要另外判断最值。 典型例题（填空题） 题目：二次函数的最大值是____。 完整解析： ，开口向下，抛物线存在最高点，最大值就是顶点纵坐标； 顶点式里面，所以最大值等于7。 答案： 第27章 反比例函数 27.1 反比例函数定义 ⭐⭐ 知识点：一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数。变形形式：，；自变量，函数值。 典型例题（选择题） 题目：下列是反比例函数的是（） A. B. C. D. 完整解析： A正比例函数；C二次函数；D一次函数；B符合，属于反比例函数。 答案： 27.2 反比例函数图像与性质 ⭐⭐⭐ 知识点：反比例函数图像叫做双曲线。 1.：双曲线在第一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小； 2.：双曲线在第二、四象限；在每一个象限内，随的增大而增大； ⚠重点：必须强调在每个象限内，不能直接说整个定义域上y随x增大增大/减小。 典型例题（填空题） 题目：反比例函数图像位于第________象限。 完整解析： ，，根据性质，时双曲线在第二、四象限。 答案： 27.3 的几何意义 ⭐⭐⭐ 知识点：过反比例函数图像上任意一点，向轴或者轴作垂线，这个点、垂足、原点三点围成的矩形面积等于；围成直角三角形面积等于。这个的几何意义是期中高频考点。 典型例题（解答题） 题目：过反比例函数图像上一点作轴垂线，求、垂足、原点构成直角三角形面积。 完整解析： ，直角三角形面积公式 代入： 答案： 27.4 反比例函数实际应用 ⭐⭐ 知识点：很多实际场景两个量成反比例关系：路程固定，速度与时间；面积固定，长与宽；总量固定，工作效率和时间。先设解析式，代入一组数值求出，再进行计算。 典型例题（填空题） 题目：已知与成反比例，当时，，则________。 完整解析： 反比例，变形，直接代入 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $