27.3 第3课时建立函数模型解决实际问题的一般步骤-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十七章反比例函数 第3课时 建立函数模型解决实际问题的一般步骤 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图①，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆的点O左侧固定位置B 处悬挂重物A,右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x(c),观察弹 簧测力计的示数y(N)的变化情况.实验数据记录如下表： x/cm 10 15 20 25 30 y/N 45 30 22.5 18 15 … 下列说法中，不正确的是 A弹簧测力计的示数y(N)与支点O的距离x(cm)之间关系的图象如图②所示 By与x的函数解析式为y=450(>0)】 C.当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5cm D.随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小 1002/℃ 50 30 0510152025303540x7cm ① 0 ② x/min (第1题) (第2题》 2.教室里的饮水机接通电源就自动加热，加热时水温每分钟上升10℃，温度升到100℃时停止加 热，水温开始下降，此时水温y(℃)与时间x(min)成反比例关系.水温降至30℃时，饮水机重复 上述程序开始加热，若从30℃时重新对水进行加热，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所 示.水温从30℃开始加热至100℃然后下降至30℃这一过程中，水温不低于50℃的时间为 min. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 3.如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间 v/(km/h) 抓拍点 抓拍点 的路段（测速区间）上平均速度的方法.小明发现安全驾驶且不 大测速区间 终点B 80-- 超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间AB段的起点A 0 0.3t/h 平均行驶速度w(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系（如 ① ② (第3题) 图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过 120km/h,最低车速不得低于60km/h.若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间 为mh,则m的值可能是 (写出一个即可)： 4.舒青境环境保护为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排 污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0g/L.环保局要求该企业立即 65 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 整改，在15天内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(g/L)与时间 x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为 4.5mg/L.从第3天起，所排污水中疏化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)满足下面表格中的关系： 时间x/天 5 6 9 … 硫化物的浓度y/(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 (1)求在整改过程中，当0≤x<3时，硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的函数解析式， (2)求在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的函数解析式. (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么？ ↑y/(mg/L) 12 4.5-- C 03 x/天 (第4题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 5.小明根据医学检测的相关数据和学习函数的经验，对某位成人喝250毫升低度白酒后，其血液中 酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y(毫克/百毫升)是饮酒后经过的 时间x(小时)的函数.下表记录了饮酒后的6小时以内11个时间点血液中酒精含量y(毫克/百 毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x>O)的变化情况： 饮酒后的时间x/小时 1 1 3 5 3 1 2 3 4 4 2 2 5 6 4 375 血液中酒精含量y/(毫克/百毫升) 175 150 200 375 150 225 225 225 225 2 2 m 3 4 6 下面是小明的探究过程，请你和小明一起探究，并解答下列问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中，小明利用几何画板描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根 据描出的点，可以刻画出血液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)变化的函数 大致图象 (1)请你分析表格中数据，写出m= (2)观察函数图象，写出一条该函数的性质： (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾 驶”，不能驾车上路.参照上述数学模型，假设该人晚上8：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天 早上7：30能否驾车去上班？请说明理由. y/(毫克/百毫升) 2004 20 20H 012345678x/小时 (第5题) 66 >“答案与解析”见P3942设1-食(R>0,≠0.代人1=4，R=9,得4=合 5或1-0令1=8，则R- =12.1≤3. ∴.R≥12.12-10=2(2)，∴.至少应再串联一个22的 电阻才可以保证电路安全， 525:电源电压U一定，∴U一定，：P- 与R之间是反比例函数关系.设U户=k(k为常数，且k≠ 0),则P=合根据题意，得合一奇=20，解得=40， &P与R之间的函数解析武为P-R,当R=16时，P 增-a 6.(1).·400×0.5=200=500X0.4=800×0.25=1000× 0.2=1250×0.16,∴.压强b(Pa)与受力面积S(m)满足 反比例函数关系.设压强p(Pa)关于受力面积S(m)的函 数解析式为力=令，则k=bS=20,b-20 (2)不 安全，理由：由髦图②中的操放方式，得S器×品 0.02(m),∴p=20-100>200.这种摆放方式 不安全 7.(1)由题图③可知，可变电阻R,(单位：k2)与所放置的 物体质量x(单位：kg)之间的关系为一次函数关系，设 R,=mx+b(m≠0).把(0,32)，(3.2,0)代人，得 b=32, k=-10, 解得 ∴.R,=-10x+32.当x= 3.2x+b=0. b=32. 1.2时，R1=-10×1.2+32=20,此时R=R,+R2=20+ 10=30.(2)设电流I(单位：mA)与总电阻R(单位：k2) 的函数解析式为1=食由(1知，把(30,02)代人，得 IR=30×0.2=6,∴.电流I(单位：mA)与总电阻R(单位： n的函数解析式为I一R。(3):1=食…R=月 6 ∴.R随I的增大而减小.：0.15≤I≤0.5，∴.当1=0.15 时，R取得最大值，最大值为40，此时R,取得最大值30； 当I=0.5时，R取得最小值，最小值为12，此时R,取得最 小值2.R,=-10x+32,∴.R,随x的增大而减小. ∴.当R,取得最小值2时，x取得最大值3.∴.该电子秤所 称物品质量的最大值为3kg 3 第3课时建立函数模型解决实际问题的一般步骤 1.C由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数. :设y=飞(k≠0).把x=10,y=45代入，得k=450, y=50将其余备点代人验证均适合y与x之间的 x 函数解析式为y-450(x>0).选项A,B的说法正确 把y=12.5代人y=450,得x=36,当弹簧测力计的示 数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm.∴.选 项C的说法不正确.随着弹簧测力计与O点的距离不断增 大，弹簧测力计上的示数不断减小.∴.选项D的说法正确。 2.12观察图象，可知当x=7时，y=100,当0≤x≤7 时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b, 6=30, k=10, 解得”·当0<x≤1时y关于x {7k+b=100,b=30. 的函数解析式为y=10x十30.当x>7时，设y=g,则 100=号，得a=700..当x>7时y关于x的函数解析 式为y=720将y=50代人y=10r十30，得x=2将y= 50代人y=70,得x=14.:14-2=12(min),水温不 x 低于50℃的时间为12min. 303(答案不唯-）由题意可设-冬，将(0.3,80)代 人，得6=Q3×80=2L0=华：最高车速为120km小， :在最高车速120km小下的行时间为动-Q2,同 理可得，在最低车速60k小下的行驶时间为器 0.4(h).∴.通过AB段限速区间的行驶时间应该在0.2~ 0.4h之间.∴.0.2≤m≤0.4，在此范围内任取一个m的值 即可. 4.(1)当0≤x<3时，设y=kx十b.由题意，得 b=12, b=12, 。。 .∴.y=-2.5x十12(0x3) 3k+b=4.5,k=-2.5. (2).3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=13.5,.y 是x的反比例函数y=135(z≥3).(3)能.当x= x ,=13.5=0.9.13.5>0,y随x的增大而减 15时，y=15 小.0.9<1.0，∴.该企业所排污水中硫化物的浓度能在 15天以内不超过最高允许的1.0mg/L. 5.(1)45.(2)随着x值的增大，y的值先增大后减小 (答案不唯一).(3)能.理由：观察函数图象及表格数据， 发现当≥时，可以用反比例函数描述y与x之间的关 系，设此段函数的解析式为y=(k≠0).当x=2时，y 2罗函数解析式为y=要由该人晚上8：00喝完 250毫升低度白酒至第二天早上7：30，可得x=11.5,把 x=11.5代人y=225,可得y≈19.57.：19.57<20， ∴.该人不属于“酒后驾驶”，能驾车去上班。 综合与实践3从曲线绘制到密度测算 1.1D一.(2)①如图.②如图.究.(3)①(2,2)：8 ②0个交点时，0<m<8;2个交点时，m>8;1个交点时， m=8.(4)m≥4/10. y 4- 7 5 4 3 2 -4321仅123456789x 2 3 (第1题)》 2.(1)如图p=20. h (2)0.8g/m. p/(g/cm') 10 87 6 3 G12345678910h/cm (第2题) 第二十七章拔尖自主测评 1.By1与x成正比例，y2与x2成反比例，∴.可设 y1=kx,y2=品(k,a为常数，k≠0，a≠0)..y=yy2= 红·是但即y是x的反比例国数 2.DAk=一6<0，∴.此函数的图象位于第二、第四 象限，正确，不符合题意B:当x=一2时，y=一6 -2 3,∴.此函数图象必经过点（一2,3），正确，不符合题意. C.当x=1时，y=-6,∴.当x>1时，-6<y<0,正 确，不符合题意.D.k=一6<0，.此函数的图象位于 第二、第四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，原 说法错误，符合题意 3.C一个人完成需12天，∴.一人一天的工作量为 2”m个人共同完成需”天，“一人一天的工作量为 1 ：每人每天完成的工作量相同mm=12心”= m n是m的反比例函数·只有C选项符合题意 m 4B:k>0,.反比例函数y=冬(k>0)的图象在第 一、第三象限点A(x1,一2)，B(x2,4),C(x,6)都在反 比例函数y一空(k>0)的图象上，B,C两点在第一象 限，点A在第三象限.：'4<6，.x2>x3>0.:x1<0, .x1<x3<x2. 5.A连接OA.四边形DEOF,四边形ACOB都是正 方形，.EF∥AO..S△oEr=S△ABP·.S△AP= Szsmme-lal--d. 1 6D设f与T之间的函数解析式为f-宁（快为常数，且 k20.将T=20.1=20代人.得20=2六0：解得= 4100,“了与T之间的函数解析式为/-490当/= 40时，得40=40解得T=10,应该将张力减小 至100N. 3 7.A”A是射线y=之x(x≥0)上一点设点A的 坐标为(2a,3a).∴.OB=2a,AB=3a.又点A在双曲