第26章 二次函数 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

数学（人教版）九年级上 小结 N,连接BN,DN,求△BDN面积的最 本题是二次函数与几何动态问题的综合题， 小值 求解动态问题时，常要化“动”为“静”，找出图形 在变化过程中不变的量或遵循的数量关系，从而 构建函数解析式求解.若在运动过程中，随着自 变量的改变，函数关系或图形也发生改变，则需 要针对函数关系或图形变化的情况分类讨论.求 解动态问题时，依据图形分析变量间的关系是解 ① ② 题的关键 (第6题) 对应练习 6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1: y=x2+bx+c经过点A(0,2),B(2,2), 顶点为D,抛物线C2:y=x2一2x十 m2一m+2(m≠1)的顶点为Q. (1)求抛物线C1对应的函数解析式及顶 点D的坐标. (2)如图①，连接AD,E是抛物线C1对 称轴右侧图象上一点，F是抛物线C2上 一点.若四边形ADFE是面积为12的平 行四边形，求m的值. (3)如图②，连接BD,DQ,M是抛物线 C,对称轴左侧图象上的动点（不与点A 重合)，过点M作MN∥DQ,交x轴于点 盟综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐 y x=1 标为(3,0)，对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论：①abc>0;②b= 2a;③3a+c=0;④关于x的一元二次方程a.x2十bx十c+k2=0(a≠0)有 0 两个不相等的实数根；⑤若点(m,y1),(一m十2，y2)均在该二次函数图象 上，则y1=y2.其中，正确结论的个数是 ( (第1题) A.4 B.3 C.2 D.1 2.[2025青岛中考]将二次函数y=x2-2x一3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴 翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是() A.图象与y轴的交点坐标是(0，一3) B.当x=1时，函数取得最大值 16 第二十六章二次函数 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4D.当x>1时，y随x的增大而增大 (第2题) (第4题) 3.二次函数y=x2+(a一2)x十3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个 交点，则实数a的取值范围是 () A.a=3±23 B.-1≤a<2 Ca=3+2或2a<2 D.a=3-23或-1≤a<- 4.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图， 在正方形OABC中，点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(2,0)，则“互异二次函数”y= (x一m)2一n的图象与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值分别是() A.4,-1 B.517 2，-1 C.4,0 D.5+17 2，1 5.若二次函数y=x2十2x十m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 6,已知二次函数y=x2一2tx十t2十t,将其图象在直线x=1左侧部分沿x轴翻折，其余部 分保持不变，组成图形G.在图形G上任取一点M,点M的纵坐标y的取值满足y≥m 或y<n,其中m>n.令S=m一n,则S的取值范围是 7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2十x十c经过点A(0,一1)，B(6,yo). (1)若AB∥x轴，求抛物线的对称轴. (2)C(m,n)为抛物线上点A,B之间的任意一点（包含A,B两点），且n≥一1. ①求a的取值范围. ②若a<0,点D(t,y1),E(3t十2，y2)在抛物线上，当1≤t≤2时，都有y1≥y2,求a 的值 17 数学（人教版）九年级上 8.如图，小山坡AB可近似看成抛物线L1:y=一 12x一7)+n的一部分，建立恰当的平面 直角坐标系，点A的坐标为(0,1)，一小球从离点A3米的点C处以一定的方向弹出，小 球的飞行路线为抛物线L2:y=一 十bz十c的一部分，落在山坡的点D处（点D在小 山坡AB的坡顶的右侧). (1)求n的值. (2)若点D到AC的距离为12米。 ①求抛物线L2对应的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）. ②嘉淇认为“当小球运动到小山坡AB的坡顶正上方时，小球到小山坡AB的竖直距离 最大”，你同意嘉淇的观点吗？请说明理由 y/米 小球 0 Bx/米 (第8题) 9.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,B在x轴上，C(2,一3)，D(一1，一3).抛 物线y=ax2-2ax十c(a>0)与x轴交于点E(-2,0)和点F. (1)如图①，若抛物线过点C,求抛物线对应的函数解析式和点F的坐标. (2)如图②，在(1)的条件下，连接CF,作直线CE.若平移线段CF,使点C的对应点P 落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标， (3)若抛物线y=a.x2-2ax十c(a>0)与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围， ② (第9题) 18数学（人教版）九年级上 为12，SAAe=2S.AneE=2 X 12=6..SADE 1 SaGs-SAx=2EG·H'D=6.易知H'D=1BG= 12.∴.t2-t=12,解得t,=4,t2=-3(舍去..E(4,10). 点A先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长 度，得到点D,∴点E先向右平移1个单位长度，再向下 平移1个单位长度，得到点F.∴F(5,9).将F(5,9)代入 y=x2-2m.x+m2-m+2(m≠1)，得m2-11m+18=0, 解得m1=2,m2=9.(3)如图②，过点M作MP⊥x轴， 垂足为P,过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，QK 与DK交于点K.设M(h,h2-2h十2)，N(n,0).:y= x2-2mx十m2-m十2=(x-m)2十2-m,∴.抛物线C2 的顶点Q的坐标为(m,2-m).∴.DK=|1-(2-m)| m-1|,KQ=|m-1.∴.DK=KQ,∠DQK=45. MN∥DQ,KQ∥NP,.∠MNP=∠DQK=45. ∴.∠NMP=45.∴.MP=NP.∴.h2-2h+2=n-h. n=-h+2=(h-)'+子5当方=时n取得 最小值子，即点N横坐标的最小值为子此时点N到直 线BD的距离最短，△BDN的面积最小，最短距离即边 BD上的高.易知直线BD对应的函数解析式为y=x,该 7√2_7 直线过原点，“.易得高为4×？ .又：BD=2, 8 六△BDN面积的最小值为2××，2=名 8 G Q ① ② (第6题) [综合素养提升] ①B抛物线开口向上，∴.a>0.又，对称轴在y轴右 侧，∴.b<0.抛物线与y轴交于负半轴，.c<0. o>0故①正确”-一会-16-2a故②惜 误抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线 x=1,∴.抛物线与x轴的另一个交点为（一1,0）..a一 b十c=0.b=-2a,∴.3a十c=0.故③正确.关于x的一 元二次方程a.x2+bx十c十k2=0(a≠0)的解可看作抛物线 52 y=ax2十br十c(a≠0)与直线y=一k2的交点的横坐标. 一k2≤0，∴.当直线y=一k2过抛物线y=ax2十bx十c (a≠0)顶点时，两图象只有一个交点，即方程a.x2十bx十 c十2=0有两个相等的实数根.故④错误 :m十（二m+2-=1点(my),(-m+2y)关于直 2 线x=1对称.∴y,=y2·故⑤正确.综上所述，正确结论 的个数是3. ②C二次函数为y=x2一2x一3，.当x=0时， y=一3.∴.其图象与y轴交于点(0，一3).又：图象在 x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，∴.新函 数图象与y轴的交点为(0,3).故A选项错误结合函数图 象可以发现，函数没有最大值，故B选项错误令y=x2 2x一3=0，则x=3或x=一1，∴.函数图象与x轴交点为 (一1,0)，(3,0).∴.图象与x轴两个交点之间的距离为 3一（一1）=4.故C选项正确.：'原函数为y=x2一2x一 3=(x一1)2一4，∴.原函数图象在x轴下方的部分翻折后 对应的函数解析式为y=一(x一1)2+4（一1≤x≤3）. ∴.该部分的函数图象的对称轴是直线x=1.∴结合函数 图象可得，当1<x<3时，y随x的增大而减小；当x>3 时，y随x的增大而增大.故D选项错误 ③D由题意，得方程x2+(a-2)x十3=x在1≤x≤2 上只有一个解，即x2+(a-3)x十3=0在1≤x≤2上只有 一个解.当△=0，即(a-3)2-12=0时，a=3±23.当 a=3+2√3时，此时方程的解为x1=x2=一3，不满足题 意；当a=3一2√3时，此时方程的解为x1=x2=3,满足 题意.当△>0时，令y=x2+(a-3)x十3，当x=1时， y=a+1;当x=2时，y=2a+1.由题意，得(a+1)(2a+ 1D<0,解得一1a<-分当a=-1时，此时方程的解为 1或3，满足题意当a=-时，此时方程的解为2或号， 不满足题意.综上所述，a=3一25或-1≤a<-2 1 ④D如图，由题意可得，“互异二次函数”y=(x一m)2一 m图象的顶点(m,一m)在直线y=一x上运动.在正方形 OABC中，A(0,2),C(2,0),∴.B(2,2).从图象可以看出， 当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交 点，则其位置应在第一次经过点A的位置和最后一次经过 点B的位置之间.∴.只需算出当函数图象经过点A及点 B时m的值，即可求出m的最大值及最小值.当“互异二次 函数”y=(x一m)2一m的图象第一次经过点A(0,2)时， m=2(舍去)或m=-1;当“互异二次函数”y=(x一m)2一 m的图象最后一次经过点B(2,2)时，m-5二亚（合去） 2 或m5计平：当互异二次画数)=一m- 的图象与正方形OABC有交点时，m的最大值和最小值分 别是5+7 2 一1 (第4题) ⑤m<1且m≠0：二次函数y=x2+2x十m的图象 与坐标轴有3个交点，∴.方程x2+2x十m=0有两个不相 等的实数根，且m≠0.∴.△=22-4m>0.∴.m<1.∴.m< 1且m≠0. 6S≥2二次函数y=x2-2tx十t2+t图象关于x轴对 称后的图象对应的函数解析式为y=一x2+2tx一t2一t. :点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y<n,∴.t≥1. :y=x2-2tx十t2+t=(x-t)2+t,当x=t时，y=t, ∴.m=t.:y=-x2+2tx-t2-t,当x=1时，y=-t2+ t-1,∴.n=-t2+t-1,∴.S=m-n=t2+1≥2. ⑦(1)：AB∥x轴，∴.点A(0,一1)，B(6,y)关于对称 轴对称..抛物线的对称轴为直线x=0十=3. 2 (2)①：抛物线y=ax2+x十c经过点A(0,一1)，B(6, y6=-1,对称轴为直线=一云当a>0时，抛物 线开口向上，-云<0，点A(0,-10,点B(6毫在对 称轴的右侧.抛物线上点A,B之间的部分，y随x的增 大而增大.∴.n≥一1恒成立.当a<0时，抛物线开口向 下，->0，要使≥-1恒成立，则当x=6时，y≥-1 即十6-1≥-1，解得a≥-行口的取值范固是 一日a<0综上所述a的取值范国是-日<a<0或 a>0.②若a<0,则抛物线开口向下，：点D(t,y1), E(3+2,y)在抛物线上y≥…十3t+2-1 2 ≥2a解 得≥名-：1<4<2名号<1，解得 a<-合，由①，得-名<a<0,a的值是-日 附：答案与解析 1 01)将点(0,1D代入y=一2x-7)2+,得-2X (-7)2+n=1,解得n=12: 61 (2)①当x=12时，y= --7+8=3n12,3.C(0,将点 1 C(0,4),D(12,3)代入y=- x2+c+c,得 1 -日×122+126+c=8 17 8 1b= 解得 2’抛物线L2对应 c=4, c=4. 1 的函数解析式为y=二3x十之x十4.②不同意.理 由：设L,与L:之间的距离为，则A=一日+品： 1 2x+ 4[-+間-u-3+ 1 0,当=3时，一器又当小球运动到小山玻AB 的坡顶正上方时，x=7,此时h= 贺<号嘉淇的观点 不正确. ⑨(1)把E(-2,0),C(2,-3)代人y=ax2-2a.x十c,得 3 f0=4a+4a+c, 解得a 3 -3=4a-4a+c 8'.y= --8 \c=-3. 令y=0,则0=82-星x -x-3,解得=-2，x2=4. ∴.F(4,0).(2)设直线CE对应的函数解析式为y= k.x十b.将E(-2,0),C(2,一3)代入，得 0=一2k十b·解得 -3=2k+b, 3 4 3 3 y= 一4x一2.由平移的性质可知，PQ= b=一2 CF,PQ∥CF,∴.四边形PQFC为平行四边形.∴.FQ∥ 3 CP,即FQ/CE.ko=kcr=-直线FQ对应的 函数解析式为y=一子（一4）= 3 x+3.联立 3 y=-x+3, 解得4， -r- =-4:Q(-4 或 {y=0(y=6. 4x-3 6).(3):四边形ABCD是正方形，C(2,一3)，∴.BC= AB=3,OB=2..OA=AB-OB=1..点A和点D的 横坐标为一1，点B和点C的横坐标为2.将E(一2,0)代入 y=ax2-2a.x+c(a>0),得c=-8a.∴.y=ax2-2a.x十 c=a(a一1)2-9a.∴.顶点坐标为(1，一9a).①当抛物线 顶点在正方形内部时，抛物线与正方形恒有两个交点， 53 数学（人教版）九年级上 :-3<-9u<0.0<a<.@如图，当抛物线与直线 BC交点在点C下方，且与直线AD交点在点D上方时，与 正方形有两个交点， 兽综上所述，u的取值范国是0<a<号或名<a<号。 (第9题) 第二十七章 反比例函数 [高频考点突破] 0C在反比例函数y=6-2k+3-k-1)+2中， (k一1)2十2>0，.反比例函数图象分布在第一、第三象 限.x1<0<x2,∴点M在第三象限的图象上，点N在 第一象限的图象上.∴y,<0<y2 日A:反比例西数y=兰中，k=>0此函数图象的 两个分支分别位于第一第三象限，在每一象限内，y随x的 增大而减小.当t<-4时，t十4<0，∴.点P(t,y),Q(t+4, y2)在第三象限.：t<t十4，∴.y2<y1<0,原结论正确， 选项A符合题意.当一4<t<0时，点P(t,y,)在第三象 限，点Q(t十4，y2)在第一象限，∴.y1<0,y2>0.y1< 0<y2,原结论错误，选项B不符合题意.由B知，当一4< t<0时，y,<0<y2,原结论错误，选项C不符合题意.当 t>0时，t+4>0,∴.点P(t,y1),Q(t十4，y2)在第一象限， tt十4，∴.y>y2>0,原结论错误，选项D不符合题意. ③8过点C作CE LAB,垂足为E,则ODCE.:D是 AC的中点，S△n=3,.S△AsD=3,且易得OE=OA. CSA4三7AB·CE=6.设C(x,y),则OE=x,CE y,k=xy..'AO=2BO,OE=OA,..OE=OA=x,OB= 2·AB=3 13 x.小S△Ax=2·2x·y=6.小k= xy=8. ④3设BC与x轴交于点F,连接DF,OD.:四边形 ABCD为平行四边形，∴.AD=BC..S△Or=S△C, S△ADP=S△Ax..S△ODF一S△ADF=S△E-SAAc,即 Somw-So-3 ⑤(1)将A(2,8),B(8,2)代人y=ax+b,得 2a十b= 8”解得a-一1·：.一次函数的解析式为y 8a+b=2 {b=10. 54 x十10将A(2,8代人=会得8=合解得=16 反比例丽数的解析式为y一只 (2)x>8或0Kx<2. (3)如图，直线AB交x轴于点D.由题意，易得OA=OC, .S△APe=2S△0p.把y=0代入y=-x+10,得0= -x十10，解得x=10..D(10,0).∴.S△40附=S△on 5w=号X10X8-号×10X2=30:5am 1 号5am=号X30=24.25am=24·2X20pX 4 4 4=24,即2X20P×8=24.0P=3.点P的坐标 为(3,0)或(-3,0). (第5题) ⑥(1)加速段：设解析式为y=x+b,将(0,3)，(8,7)代 =3解得='y=x+308》. 1 入，得 1 8k+b=7, b=3. 衰减段：设解析式为y=”,将(8,7)代人，得m=56, 6(8<x≤30).(2)两车的速度差能达到10个单 ∴.y= x 1 位速度的差距由题意，另一辆车的速度函数为y一2x十 3(0≤x≤30).当0≤x≤8时，两车速度相同，速度差为0， 无法达到10当8<<初时，有（号+3）-的-10，解得 x=7+√16I或x=7一√16I(舍去)，经检验，x=7十 √161是原分式方程的解.∴.两车的速度差能达到10个单 位速度的差距，经过(7+√I61)个单位时间达到此速度差。 01)把y=0代入y=-2x十4，得x=8点A的坐 标为8,0，.：Sac0=号A0·1x1=20,1c=5 :点C在第二象限“=5把y=5代人y=一号十 4,得=-2∴C(-2,5.把点C的坐标代入y-冬，得 102)把D(-5,m)代人y三，得m=2 ∴.D(-一5,2).设直线CD对应的函数解析式为y=ax十b, 5=一2十解得a二直线CD对应的函数解析 2=-5a+b, b=7.