精品解析：江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

扬大附中2025-2026学年第一学期阶段测试2 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，再利用复数模的定义求解. 【详解】由，得，所以. 故选：D 2. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：A． 3. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可. 【详解】圆：，所以圆心，半径， 所以弦心距为， 所以弦长为. 故选：B 4. 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ） A. 4 B. －4 C. ±4 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值. 【详解】由题意知：，且若令公比为时有， ∴， 故选：A 5. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围. 【详解】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 8. 已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接 ,由条件可证明，说明，利用点到直线的距离求，中，根据勾股定理可得，整理为，再求双曲线的离心率. 【详解】取的中点，连接 ,由条件可知， 是的中点， 又， , 根据双曲线定义可知， ， 直线的方程是： ，即 ， 原点到直线的距离， 中，， 整理为： ， 即 ， 解得： ，或（舍） 故选：C 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，意在考查转化和化归，计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不在轴上，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的短轴长为3 B. 的周长为 C. 的面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据标准方程得出可判断A，应用椭圆的定义得出周长判断B，应用几何特征得出面积判断C，因为点在椭圆上且不在轴上，则可判断D. 【详解】椭圆为：短轴长，故A错误； 的周长为，故B正确； 的面积为，所以最大值为，故C正确； 因为点在椭圆上且不在轴上，则，取值范围是，故D错误． 故选：BC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线，，，则 C. 复数，则在复平面上对应点在第一象限 D. 若，则复数对应的点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系可知A正确；根据两直线垂直可构造方程组求得B正确；根据共轭复数定义和复数对应点的坐标可求得C错误；根据复数模长的几何意义可确定围成的图形，进而求得D正确. 【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角为，A正确； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，，对应复平面上的点为，位于第四象限，C错误； 对于D，若，则复数对应的点的集合构成的图形为以原点为圆心，内半径为，外半径为的圆环， 圆环的面积，D正确. 故选：ABD. 11. 有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，若数列为等比数列，公比为，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，先确定数列的周期，再结合周期计算的值.选项B，结合等比数列定义与斐波那契数列递推关系，推导与公比的关系进行判断.选项C，利用的周期求出一个周期内的和，再结合项数的周期余数计算前2020项和.选项D，通过累加斐波那契数列的递推式，化简得到前项和与的关系. 【详解】由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，．．．， 各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为， 可得数列的各项分别为， 所以数列是周期为6的周期数列．因为， 所以，故正确； 因为，且， 所以 ，故C正确； ，若数列为等比数列，公比为， 则，又， 则，则，且， 则，且，故错误； 因为， 将上面各式相加得， ， 即， 则， 即，故D正确 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则z的虚部为_____________； 【答案】-3 【解析】 【分析】先由除法法则计算出，再写出它的虚部 【详解】，其虚部为-3。 故答案为：-3。 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题。 13. 已知数列满足，，则的前10项和____________. 【答案】75 【解析】 【分析】根据题意分别求，进而求. 【详解】由题意可知：，，，， ，，，， ，， 所以的前10项和. 故答案为：75. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆：与直线交于，两点，过，分别作圆的切线，.若与交于点，且为线段的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据圆的标准方程明确圆心和半径，由（其中为圆心到直线的距离），可求的值，再数形结合进行取舍，可得的值. 【详解】如图： 设，由题意为线段的中点， 所以，半径， 圆心到直线的距离， 因为，所以，解得或. 又为的中点，所以圆心在直线下方，所以，即. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题． 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，进而求得数列的通项公式； （2）由等差数列的求和公式，求得，根据，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为成等比数列，可得，所以， 则，可得，解得或（舍去）， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 因为，可得，整理得，解得． 16. 设抛物线的准线被圆所截得的弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）设点是抛物线的焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）利用代入法，结合抛物线的准线方程进行求解即可； （2）设出直线的方程与抛物线的方程联立，结合三角形面积公式、抛物线的定义进行求解即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 把代入中，得， 因为抛物线的准线被圆所截得的弦长为， 所以， 因此抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的方程为，焦点， 由题意可知该直线存在斜率，因此设直线的方程为， ， 显然， 设，， ， 点到直线的距离为， 因为的面积为， 所以， 所以直线的方程为，或. 17. 已知数列满足． （1）求证：为等比数列，并求出的通项公式； （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 【答案】（1）证明见解析， （2）214 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据分组求和即可求解. 【小问1详解】 因为，则，且，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以． 【小问2详解】 因为与之间插入个1， 所以在中对应的项数为， 当时，， 当时，， 所以，，且． 因此． 18. 已知为数列的前项和，且满足．单调递增的等比数列满足：． （1）计算的值并求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式并求； （3）记为数列的前项和，是否存在正整数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在符合条件的正整数． 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合赋值法可求，的值；利用与的关系，可求数列的通项公式. （2）判断等比数列的前3项，进而得到首项与公比，可得其通项公式. （3）利用等比数列的求和公式，把问题转化为成立，可求的值. 【小问1详解】 当时，由； 当时，由. 又当时，， ， 上两式相减得： 是公差为2，首项为1的等差数列，. 【小问2详解】 由得：， 单调递增等比数列的通项公式为， 所以. 【小问3详解】 由（1）可得：是首项为1，公比为的等比数列，故其前项和， 故不等式等价于，即，也即， 所以， 所以. 由即成立， 又为正整数，故可得，将其代入， 可得：，又为正整数，故． 故存在符合条件的正整数，其中． 19. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． （1）求动点的轨迹； （2）已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】（1）曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①；②是，． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的轨迹方程，再根据方程描述其轨迹. （2）①设直线方程为，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再表示出，，利用表示，化简即可. ②用，表示出，将化简即可. 【小问1详解】 由题意： . 所以曲线的方程为：． 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. 【小问2详解】 ①设直线方程为，，，， 如图： 由得， ， 所以，. 因为，，且成等比数列，， ， 又，所以，解得． ②， ， 为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中2025-2026学年第一学期阶段测试2 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1 已知复数z满足，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ） A. 4 B. －4 C. ±4 D. 不确定 5. 直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 7. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 8. 已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不在轴上，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆短轴长为3 B. 的周长为 C. 的面积的最大值为 D. 的取值范围是 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线，，，则 C. 复数，则在复平面上对应点在第一象限 D. 若，则复数对应的点的集合所构成的图形的面积为 11. 有一列数：1，1，2，3，5，8，．．．，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）．在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的有（ ） A B. ，若数列为等比数列，公比为，则 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则z的虚部为_____________； 13. 已知数列满足，，则的前10项和____________. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆：与直线交于，两点，过，分别作圆的切线，.若与交于点，且为线段的中点，则______. 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求． 16. 设抛物线的准线被圆所截得的弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）设点是抛物线焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程. 17. 已知数列满足． （1）求证：为等比数列，并求出的通项公式； （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 18. 已知为数列的前项和，且满足．单调递增的等比数列满足：． （1）计算的值并求数列的通项公式； （2）求数列通项公式并求； （3）记为数列的前项和，是否存在正整数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． （1）求动点的轨迹； （2）已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $