精品解析：江苏省泰州中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

江苏省泰州中学2026—2027学年度上学期第一次质量检测 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上皆有可能 5. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l与圆C截得弦长的最小值为 C. 当时，圆C上有且仅有3点到直线l的距离为 D. 是圆C上的点，则的最大值为 11. 已知圆，点，则下列说法正确的有（ ） A. 圆上有且只有两点到点的距离为 B. 圆上存在点，使得 C. 若为圆上一动点，则的取值范围为 D. 过点可作直线与圆交于两点、，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程表示圆，则的取值范围为__________． 13. 曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范围是______． 14. 一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若与直线：平行，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 16. 在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 17. 已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 18. 已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动； （1）求线段AB中点M的轨迹方程； （2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值. （3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2026—2027学年度上学期第一次质量检测 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1. 直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 2. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率为，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果． 【详解】解：由题意可得直线的斜率为， 则过点且垂直于直线的直线斜率为， 直线方程为， 化为一般式为． 故选：A． 3. 若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B 4. 若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上皆有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可得，从而确定点与圆的位置关系. 【详解】若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即， 又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内． 故选：C. 5. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆相减先求出公共弦方程，再设出圆心到直线的距离并结合弦长公式得到在直线上，最后将代入直线方程求解出即可. 【详解】由题意得圆，圆， 两圆相减可得， 故直线的方程为，由题意得， 设到直线的距离为，由弦长公式得， 解得，则在直线上，可得，解得，故C正确. 故选：C 6. 圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得到两个圆的位置关系，从而求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为两圆有三条公切线，所以两圆相外切， 圆，即，圆心坐标，半径为， 圆，即，圆心坐标，半径为， 所以圆心距为， 所以， 当且仅当，，时等号成立. 故选：A 7. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为M，关于直线的对称点为N，当最大时，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定，，，当M，N，P三点共线时的值最大，计算，根据余弦定理得到，计算面积即可. 【详解】由椭圆的方程可得，，连接PM，PN， 则，所以当M，N，P三点共线时的值最大， 此时，， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以， 故选：D 8. 已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出中点M的轨迹方程为圆，所求式子可转化为M到直线的距离，利用圆的性质即可得出最大值. 【详解】如图， 圆，圆心为点，设线段的中点为， 得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 即为可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 因此可看作点到直线的距离， 于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；面积，结合的范围判断C；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D． 【详解】在椭圆C的方程中，长短半轴长及半焦距分别为， 对于A，由椭圆的定义，得，A正确； 对于B，离心率，B正确； 对于C，面积，而，因此面积最大值为，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆的方程， 其圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为， 因此以线段为直径的圆与直线相离，D错误． 故选：ABC 10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l与圆C截得弦长的最小值为 C. 当时，圆C上有且仅有3点到直线l的距离为 D. 是圆C上的点，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将直线化为点斜式即可解. 对于B，，当圆C的圆心到直线的距离最大时弦长最小，而，代入即可求解； 对于C，圆心到直线的距离为，又，故圆C上有且仅有3点到直线l的距离为.故C正确； 对于D，利用的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】如图： 对于A，可化为，故直线过定点，故A正确； 对于B，圆C：，的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则. 直线l与圆C截得弦长，故直线l与圆C截得弦长的最小值为，故B错误； 对于C，当时，直线为，圆心到直线的距离为， 又，故圆C上有且仅有3点到直线l的距离为.故C正确； 对于D，表示圆C上的点与点连线的斜率， 由图可知，当过的直线与圆C相切且斜率为正时斜率最大，即最大. 设切点为则，则， 所以该切线斜率为，的最大值为.故D错误. 故选：AC 11. 已知圆，点，则下列说法正确的有（ ） A. 圆上有且只有两点到点的距离为 B. 圆上存在点，使得 C. 若为圆上一动点，则的取值范围为 D. 过点可作直线与圆交于两点、，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用原与圆的位置关系可判断A选项；过点作圆的切线，切点为点，连接，则，求出的值，可判断B选项；设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及直线与圆的位置关系可判断C选项；利用切割线定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，以点为圆心，半径为的圆的方程为， 则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为， 所以，圆与圆外切，故圆上有且只有一点到点的距离为，A错； 对于B选项，过点作圆的切线，切点为点，连接，则， 所以，，故当直线与圆相切时，，B对； 对于C选项，设点，则，， 所以，， 令，即， 则直线与圆有公共点， 所以，，解得，C对； 对于D选项，若，设，则， 过点作圆的切线，则切线长为， 由切割线定理可得，解得， 所以，，则， 所以，过点可作直线与圆交于两点、，使得，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知方程表示圆，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示圆需满足的条件列出方程，即可求得答案. 【详解】若方程表示圆，则， 解得，故的取值范围为， 故答案为:. 13. 曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线有两个交点的情况分类讨论求解即可. 【详解】曲线，即. 直线过定点， 如图：， 当直线与曲线有两个交点时， 则直线夹在了直线与直线之间，而， 当直线与曲线相切时也只有一个交点， 则圆心到直线的距离为： ，解得，所以， 故直线与曲线有两个交点时， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线是直线族的包络线，则上的点到直线的最小距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将切线方程转化为关于的方程为.根据一个解对应一条切线可知该方程仅有一解，利用可得曲线的方程，结合直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】曲线上任一点对应的切线方程为， 将其整理为关于的方程为. 由题意知，一个解对应一条切线，即关于的方程仅有一解， 所以，整理，得， 即曲线的方程为， 故上的点到直线的最小距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若与直线：平行，求的方程； （2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由两直线平行的性质即可得到直线方程； （2）截距相等需要分类讨论截距是否为0，解决不为0时用直线方程的截距式即可得到直线方程. 【小问1详解】 由题可知，的斜率为，因为平行， 的斜率为，所以的方程，即； 【小问2详解】 若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为， 将代入解析式得，解得， 故的方程为， 若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为， 由，得， 故的方程为， 综上，的方程为或 16. 在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为：，且边上的中线所在直线的方程为：． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设点的坐标为， 由已知点在直线上，所以， 又线段的中点为， 点在直线上，所以， 解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 由已知点关于直线的对称点在直线上， 所以，解得，， 所以点的坐标为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 17. 已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 【答案】（1） （2）当时，最短距离为；当时，最短距离为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及特征求解即可. （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意知，故， 椭圆经过点，则，即，解得，. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆上的点为，则， 又点（）， 所以 若，即时，的最小值为； 若，即时，当时，取最小值为， 综上所述，当时，最短距离为；当时，最短距离为. 18. 已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动； （1）求线段AB中点M的轨迹方程； （2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值. （3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）设出A，M坐标，利用M为线段AB中点，确定A，M坐标之间的关系，根据点A在圆上运动，可得线段AB中点M的轨迹方程；（2）令，则，即时面积最大为2，从而得到直线m的方程；（3）设点，则，令，由直线与圆的位置关系得到的取值范围. 【详解】（1）解：设点 由中点坐标公式有 又点在圆上，将点坐标代入圆方程得： 点的轨迹方程为： （2）令，则 当，即时面积最大为2 又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令 故直线的方程为： （3）设点，由于点 则，令 有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程. 当直线与圆相切时，取得最大或最小 故有 所以 【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查最值与范围问题，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $