精品解析：江苏扬州大学附属中学2026-2027学年高一上学期10月份学情诊断练习数学试题

高一数学10月份学情诊断练习 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点为（ ） A. 1 B. －3 C. 1和－3 D. 和 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 的分数指数幂表示为（　　） A. B. C. D. 都不对 5. 依据《国家学生体质健康标准》，学校规定：体测成绩达到良好及以上，才能参评三好学生．设命题p：某学生体测成绩达到良好及以上；命题q：该学生是三好学生，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 若，对于任意的，则 C. 如果，那么 D. 如果，那么 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：___________． 13. 若实数满足，则的值为__________． 14. 已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 设集合，集合. （1）求集合； （2）若：是：的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 18. 有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 19. 均值不等式的历史可以追溯到世纪，由在年发表的论文中首次提出均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等． （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，解决如下问题：如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ （3）当且时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学10月份学情诊断练习 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】表示集合和集合的交集，是由既属于集合又属于集合的所有元素构成的集合， 又因为集合，，所以. 2. 函数的零点为（ ） A. 1 B. －3 C. 1和－3 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 4. 的分数指数幂表示为（　　） A. B. C. D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】把根式化为分数指数幂运算即可． 【详解】原式，故选A. 【点睛】本题主要考查了指数式的化简，熟练掌握分数指数幂运算性质是解题的关键，属于基础题. 5. 依据《国家学生体质健康标准》，学校规定：体测成绩达到良好及以上，才能参评三好学生．设命题p：某学生体测成绩达到良好及以上；命题q：该学生是三好学生，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题知体测成绩达到良好及以上不一定是三好学生， 三好学生则体测成绩一定达到良好及以上， 即， 故p是q的必要不充分条件． 6. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为6. 8. 关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，，与三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到的取值范围． 【详解】由可得， 当时，无解，不满足题意； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此可得，即； 当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即； 综上所述：或， 所以实数的取值范围为或． 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误； 对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确； 对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误； 对D，因为，，所以，， 所以，所以，故D正确. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 11. 对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 若，对于任意的，则 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的表示法特点，对选项进行一一判断，即可得答案； 【详解】对A，，总是有，则，故A正确； 对B，，若，则存在，使得，因为当一个是偶数，一个是奇数时，是奇数，也是奇数，所以也是奇数，显然是偶数，故，故，故B错误； 对C，若，不妨设，则，故，故C正确；对D，设，则 ，不满足集合的定义，故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查集合描述法特点，数论的有关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：___________． 【答案】 11 【解析】 【详解】. 13. 若实数满足，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知式先判断，再构造，利用平方关系求出其值，最后应用立方和恒等式求． 【详解】因为且，若，则，矛盾，所以． 令则所以． 又因此 14. 已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原不等式变形，根据一次因式在零点两侧符号改变，得到二次式必须在该零点处等于，建立关系式，代入后用基本不等式求最小值． 【详解】由，得是增函数， 且当时，，当时，， 由在时恒成立， 得当时，恒成立，当时，恒成立， 所以当时，，化简得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到集合，再把代入并求出集合B，然后利用补集、并集的定义求解即得. （2）利用并集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得． 【小问1详解】 ，即，解得， 则，或， ，又， ， 或； 【小问2详解】 ，由，得，因此， 所以实数的取值范围是． 16. 设集合，集合. （1）求集合； （2）若：是：的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，直接求出结果即可. （2）根据必要不充分条件的概念，判断集合间的包含关系，列出等式，进而求出结果. 【小问1详解】 由题意得，即，解得或， 所以集合. 【小问2详解】 当：是：的必要不充分条件，可知且， 由题意得，即， 当时，可得，因为， 当时，可得，此时，； 当时，可得，符合条件； 当时，可得，此时符合条件； 综上所述，实数的取值范围为. 17. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）对命题，分（一次不等式恒成立）与（二次函数开口向上且判别式小于）两种情况讨论，求出为真时的取值范围； （2）先由存在性命题求出为真时的范围，再依据 “有且只有一个真命题”，分真假、假真两类求交集，最后合并得到的范围. 【小问1详解】 当时，恒成立，符合； 当时，需且，即. 综上，为真时． 【小问2详解】 命题q为真，等价于存在使，即，即． 所以p真时，q真时．“p、q有且只有一个是真命题”分两种情况： ①p真q假：，且或，得； ②p假q真：或，且，得． 综上，． 18. 有限集合，若，则称集合为“完美集合”． （1）判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求的取值范围； （3）已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 【答案】（1） 是“完美集合”． 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”. （2） （3） 因为，所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”. 【解析】 【分析】（1）直接根据“完美集合”的定义进行判断； （2）根据“完美集合”的定义可得，解不等式即可； （3）根据题意得，再利用重要不等式证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为集合为“完美集合”， 所以， 即. ， 解得或. 又因为，所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 均值不等式的历史可以追溯到世纪，由在年发表的论文中首次提出均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等． （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，解决如下问题：如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ （3）当且时，证明：． 【答案】（1）当时，对正数，， 当且仅当时，等号成立； 证明如下：首先我们证明：对于4个正数,,,，有. 因为,,,是正数， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 借助已经证明的（），当且仅当时，等号成立． 令，代入（）式得， 即，即，即， 则，当且仅当时，等号成立． （2）切去的正方形边长是时，才能使盒子的容积最大； （3）∵，∴，，， ∵， 当且仅当即时等号成立， 同理： 当且仅当时等号成立； 当且仅当时等号成立； ∴， 即， 当且仅当时等号成立； 又∵当且仅当时等号成立； ∴， 即， 此时. 【解析】 【分析】（1）直接根据题意写出相关不等式即可； （2）设小正方形的边长为，得到盒子的容积，利用不等式，即可求解. （3）利用三个数的算术平均数与几何平均数的关系即可证明结论. 【小问1详解】 当时，对正数，， 当且仅当时，等号成立； 【小问2详解】 设小正方形的边长为，则盒子高，底边边长为， 可得盒子的容积，其中， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长是时，才能使盒子的容积最大，最大容积为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $