云南省昆明市高二数学上学期单元整合作业（人教A版选择性必修第一册第二章 直线和圆）

昆明高二数学上学期单元整合作业 人教A版选择性必修一 第二章《直线和圆的方程》·“春城坐标·滇池绿道”项目式单元整合作业 【应用场景】本作业适用于云南省昆明市高二年级上学期（2026—2027学年第一学期）人教A版高中数学选择性必修一第二章《直线和圆的方程》单元教学全过程，可作为单元起始课发布的总任务、单元推进中的阶段任务，也可作为单元结束后2课时的整合复习与素养展示任务。基础层（A层）用于课前预习诊断与课中3分钟检测，提高层（B层）用于课后巩固，拓展层（C层）与项目输出层（D层）以4人小组合作的方式在课内1课时+课余完成，最终以《坐标建模报告》＋“小讲师”微视频／思维导图的形式公开展示。 项目 内容 适用地区 云南省昆明市（市域高中，兼顾城区与县区学情） 年级学科 高中二年级·数学 学期进度 2026—2027学年上学期（不超前、不超标） 版本册别 人教A版 普通高中教科书·数学 选择性必修第一册 考查范围 第二章《直线和圆的方程》全章（2.1—2.5） 作业类型 单元整合作业（基础诊断＋能力提升＋拓展探究＋项目输出四层结构，D层为项目式学习任务） 建议时长 学生独立书写部分合计约55分钟（未超过60分钟上限），随课分4次完成；C、D层为小组合作，主要安排在课内1课时完成，课余补充约30分钟，分2次提交 设计理念 任务驱动下的输出式合作学习：以真实情境任务驱动，以“讲、画、写、评”四类输出倒逼深度理解；D层按项目式学习（PBL）要素设计，以公开成果收束 一、作业目标 （一）政策与课标依据 本作业依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》“几何与代数”主题中平面解析几何的内容要求设计：掌握直线与圆的方程，能用代数方法研究几何问题，体会数形结合思想与坐标法的力量；同时落实《教育强国建设规划纲要（2024—2035年）》关于夯实基础教育基点、提升教育教学质量的部署，《基础教育课程教学改革深化行动方案》关于深化教学改革、强化实践与综合性学习的要求，以及《关于进一步加强中小学日常考试管理的通知》关于严格规范日常考试、提升命题质量、强化结果运用的导向，努力做到：总量可控、分层可选、情境真实、评价可见。 （二）核心素养发展目标 核心素养 本单元中的具体表现 主要承载任务 数学抽象 把滇池绿道、观景平台等真实对象抽象为点、直线、圆，用方程刻画空间关系 A2、A5、D① 逻辑推理 由平行、垂直、相切等几何条件推出代数关系，再由代数结果反推几何结论 A3、A12、C3 数学建模 建立平面直角坐标系，把“选址、覆盖、路线”问题转化为方程与不等式问题 B4、C2、D全任务 直观想象 借助图形与GeoGebra验证代数运算，实现“以形助数、以数解形” B1、B3、C1 数学运算 熟练、准确地完成配方、点到直线距离、联立方程组、弦长等运算 A4、A8、B2、B6 数据分析 对两个选址方案的量化指标进行比较，作出有依据的决策 C2、D③ （三）分层达成目标 层级 目标定位 完成方式 预计时长 A层 基础诊断 全覆盖、无遗漏：倾斜角与斜率、五种直线方程、距离公式、圆的两种方程、直线与圆的位置关系 独立完成＋同桌互批 随课分次，合计约20分钟 B层 能力提升 综合与迁移：交点与三角形、对称、圆上点的最值、弦长、跨学科光学反射 独立完成＋组内互助 随课分次，合计约35分钟（B5、B6二选一） C层 拓展探究 探究与开放：弦中点轨迹、两圆位置与公切线、开放性选址设计 4人小组合作，至少完成1题 课内约15分钟 D层 项目输出（PBL） 输出与迁移：围绕驱动性问题持续探究，撰写《坐标建模报告》、录制“小讲师”微视频或绘制思维导图，并向全班与家长群公开发布 4人小组合作＋1课时展示 课余约30分钟＋课内1课时 二、作业内容设计 （一）单元知识结构与任务总览 课节 核心知识 对应题号 素养指向 2.1 直线的倾斜角与斜率 倾斜角范围、斜率公式、平行与垂直判定 A1、A7、B1 直观想象、数学运算 2.2 直线的方程 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 A2、A11、A12（1）、B6、C2 数学抽象、逻辑推理 2.3 直线的交点坐标与距离公式 交点、两点距离、点到直线距离、两平行线距离 A4、A8、B4、D② 数学运算、数学建模 2.4 圆的方程 标准方程、一般方程、待定系数法与几何法求方程 A5、A9、A12、B1、C1 数学抽象、逻辑推理 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 代数法与几何法判断、弦长、切线、圆圆位置 A6、A10、B3、B4、C1、C3 直观想象、数学建模 （二）驱动性总任务：春城坐标·滇池绿道智慧导览 以昆明市滇池绿道真实场景为背景，建立如图所示的平面直角坐标系：以海埂驿站为原点 ，正东方向为 轴正方向，正北方向为 轴正方向，单位长度代表 米。图中给出主骑行绿道、两处圆形休息区与若干观景台，请你和你的小组充当“绿道智慧导览设计师”，用本章知识完成建模、计算、设计与表达。 图1 滇池绿道（局部）平面坐标示意图 已知信息（全卷通用）： · 主骑行绿道 ：（图中线段 ，、）； · 圆形休息区 ：，：； · 观景台 、、； · 拟建观景平台 ：半径为 ，圆心在直线 上，且与主绿道 相切。 （三）A层·基础诊断（必做，随课分次独立完成） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） A1． 已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的斜率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． A2． 过点 且斜率不存在的直线方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． A3． 已知直线 与 平行，则 的值为（　　） A．　　B．　　C． 或 　　D． A4． 点 到直线 的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． A5． 圆 的圆心和半径分别为（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， A6． 直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．无法确定 二、填空题（每小题4分，共16分） A7． 已知 ，，则直线 的斜率 ______，倾斜角 ______。 A8． 两条平行线 与 之间的距离为 ______。 A9． 圆心为 ，且与直线 相切的圆的方程为 ________________。 A10． 直线 被圆 截得的弦长为 ______。 三、解答题（共16分，请写出必要的文字说明与演算步骤） A11． 已知直线 ，点 。 （1）求过点 且与 平行的直线方程；（2）求过点 且与 垂直的直线方程；（3）求（1）中所求直线与 的距离。 A12． 已知 、。 （1）用两点式写出直线 的方程，并化为一般式；（2）求经过 、 两点，且圆心在直线 上的圆的方程。 （四）B层·能力提升（必做，随课分次完成后组内互助订正） 说明： B1—B4 为全体必做，B5、B6 请任选一题完成（鼓励两题都做，计入过程性加分）。若本班学情整体偏弱或课时紧张，可将 B4 调整为选做，此时本层用时约25分钟，A、B两层独立书写合计约45分钟，负担进一步减轻。本层题目请在解答区写出“几何解释”，即在图形上说明代数式的含义。 B1．（新情境）承接总任务情境，观景台 、、。 （1）求 、、 以及直线 、 的斜率，并判断 的形状（按边分类、按角分类分别说明）； （2）求 外接圆的方程，并在图中指出圆心的位置； （3）若要在三座观景台之间建一座到三者距离相等的驿站，求该驿站坐标及它到各观景台的距离（单位：米）。 B2．（原创）绿道主路所在直线为 ，游客中心位于 。 （1）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （2）求直线 关于直线 对称的直线方程。 B3．（原创）设点 在圆 上运动。 （1）求 的最大值与最小值，并说明所依据的几何事实； （2）求 的取值范围，并在图上画出该代数式的几何意义。 B4．（原创·新情境）滇池湿地保护区可近似看作圆 ，一架无人机沿直线 航线拍摄。 （1）若航线与保护区边界相切，求 的值； （2）若航线穿过保护区，用含 的式子表示被拍摄区域内的航线长度 ； （3）若要求该长度不小于 ，求 的取值范围；若 取整数，共有多少个取值？ B5．（原创·跨学科）物理课上学习的光的反射定律指出：入射角等于反射角。在平面直角坐标系中，一束光从点 射向 轴（镜面）上一点 ，反射后经过点 。 （1）利用轴对称知识求入射点 的坐标； （2）求光走过的总路程 ； （3）用一句话说明：为什么“作对称点”能把折线问题转化为直线问题？ B6．（原创）已知圆 ，直线 被圆 截得的弦长为 。 （1）求 的值；（2）求弦的中点 的坐标及 到圆心 的距离； （3）不改变条件，若把弦长改为 ，此时 为何值？你有什么发现？ （五）C层·拓展探究（选做，小组合作，至少完成1题，约15分钟） 合作要求： 4人小组内“每人先独立思考3分钟写出思路→轮流说思路→共同完善→推选代表向全班讲3分钟”。本层重点评“思路与表达”，不苛求计算完美。 C1．（原创·探究）已知圆 ，直线 。 （1）求使直线 与圆 相交于两点的 的取值范围； （2）设交点为 、，弦 的中点为 。探究：当 变化时，点 的轨迹是什么？写出你的探究过程与结论（提示：关注 与 的位置关系）； （3）当 为何值时，弦长 最大？最大值是多少？此时直线 经过哪个特殊点？ C2．（原创·开放）作为绿道设计师，请为拟建观景平台 选址。已知观景平台半径为 ，圆心 在直线 上，且与主骑行绿道 相切。 （1）求满足条件的圆心 的坐标； （2）请从“游客步行距离（到驿站 的远近）”“与休息区 是否重叠”“观景视野”三个角度中任选两个，比较你的两个方案，给出推荐并写出理由。（答案不唯一，理由成立即可得分） C3．（原创·探究）两处圆形休息区 与 。 （1）判断两圆的位置关系；若相切，求出切点 的坐标； （2）探究：经过切点 且与两圆都相切的直线方程，并说明你判断“它确实与两圆都相切”的依据； （3）挑战（写出探究思路即可）：若新建一条与两圆都相切的直线型步道（外公切线），你能找到几条？请写出你的方法与关键步骤（提示：设直线 ，利用两圆心到直线的距离分别为 和 ，且两圆心位于直线同侧）。 （六）D层·项目输出——项目式学习任务（必做，小组合作，课余约30分钟＋课内1课时展示） 驱动性问题：如何用坐标语言，为滇池绿道设计一套真正可用的智慧导览？ 本层按项目式学习（PBL）的要素设计：问题真实且无标准答案、探究贯穿单元始终、成果面向真实受众公开发布。下表列出本任务与高质量 PBL 要素的对应关系，供教师在设计时参照、在评价时引用。 PBL 要素 本任务的对应设计 驱动性问题 如何为滇池绿道设计智慧导览（需综合运用全章知识，无唯一答案） 持续性探究 随课完成A、B层，整合课完成C层，课余持续推进报告，历时约两周 真实性 情境取自本地公共空间，成果面向全班与家长群发布 学生发声与选择 路线设计、建模假设、输出形式（微视频／导图）均由小组自主决定 反思 报告第⑤部分“误差与反思”＋个人反思卡 评价与修订 依据量规自评、组评、师评，允许二次提交修订稿 公开成果 建模报告＋3分钟“小讲师”微视频，优秀成果在班级“数学输出墙”展示 总任务：提交一份《“春城坐标·滇池绿道”智慧导览建模报告》，并完成一次公开输出。 任务要求： 1. 建模报告（必交，800字以上，可附手写示意图或GeoGebra截图），须包含以下五部分： ① 建模说明：坐标系如何建立、单位代表什么、作了哪些简化假设； ② 对象方程：写出主绿道 、两处休息区、拟建观景平台的方程，并说明来历； ③ 关键计算（至少完成3项，可自选）： （ⅰ）主绿道 段的实际长度（米）； （ⅱ）驿站 到主绿道的距离，以及“是否需要在绿道上设置进入休息区的引导标识”（用数据说明）； （ⅲ）判断主绿道与两处休息区的位置关系（相交／相切／相离），并据此提出安全提示； （ⅳ）比较观景平台的两个选址方案到驿站 的距离，给出推荐； ④ 导览设计：为“亲子骑行半日游”设计一条路线（起点 → 休息区 → 观景平台 → 返回 ），用坐标语言写清路线，并估算总里程； ⑤ 误差与反思：本模型忽略了哪些现实因素（如高差、绿道弯曲、建筑施工误差）？若要改进，你会增加什么数据？ 1. 公开输出（二选一，小组合作完成）： 选项甲：“小讲师”微视频（3分钟）——从本单元错题中选一道，讲清“错在哪、为什么、怎么想”，要求组内人人出镜，讲给全班／家长群； 选项乙：A4思维导图一张——呈现第二章知识结构＋本组“易错清单”（不少于5条）＋1个生活中用坐标法解决问题的例子。 1. 个人反思卡（人人提交，3句话）： 我学会了 ______；我教会了同伴 ______；我还要巩固 ______。 合作规则： 每人至少承担1项主责（①统筹与进度、②运算与核验、③作图与技术、④表达与输出），且成果展示时人人有任务；组内实行“错题互讲”——谁错谁讲给全组听一遍，讲清楚才算过关。 三、作业实施建议 （一）课时安排与进度对接 教学节点 作业任务 完成方式 建议时长 2.1—2.2 新授后 A1、A2、A7、A11 课中3分钟检测＋课后订正 8分钟 2.3 新授后 A4、A8、A11（3）、B2 独立完成＋同桌互批 12分钟 2.4 新授后 A5、A9、A12、B1 独立完成＋组内互讲 15分钟 2.5 新授后 A6、A10、B3、B4 独立完成＋组内互讲 15分钟 单元整合课（1课时） C层（选做1题）＋D层任务启动 4人小组合作 课内20分钟 单元结束（1课时展示） D层成果展示与互评 小组汇报＋全班互评 课余30分钟＋课内1课时 （二）分组与角色分工 角色 主要职责 输出要求 统筹员 拆解任务、分配子任务、把控时间 提交任务分工表与进度记录 运算员 主导代数运算，组织一题多解 提交规范演算稿与验算记录 作图员 用GeoGebra／手绘验证结论，标注图形 提交示意图与技术说明 输出员 组织汇报、录制微视频、整理报告 提交报告终稿与展示PPT／视频 角色每周轮换一次，保证每人在一轮任务中体验四种角色，避免“一人包办、他人旁观”。 （三）“任务驱动·输出式合作学习”实施流程（五环节） 1. 任务驱动（入境）：以“绿道智慧导览设计师”这一真实角色发布总任务，让学生先明确“我要产出什么”，再进入知识学习——用输出目标牵引输入过程。 1. 自主建构（输入）：个人独立完成A、B层，形成自己的原始解法与错题，作为组内互教的“资源”。 1. 组内互教（内化）：按“说—听—评—改”四步进行：每人讲一题→同伴追问→共同纠错→修订解法。本环节的设计依据是：学生对知识的真正掌握，发生在“把思路外化出来”的过程之中——讲解、质疑、纠错都需要提取与重组，其效果优于重复听讲与重复刷题；本环节即把“听懂”升级为“讲懂”。 1. 成果输出（表达）：以报告、微视频、思维导图三种载体外化理解，强调“讲清楚、写规范、画明白”。 1. 互评再输出（迭代）：依据量规开展自评、组间互评与教师点评，学生根据反馈二次修订后形成终稿，实现“评价即学习”。 （四）学习支架与教师指导要点 支架一：公式与方法卡（见附录1），供A、B层遇到困难时查阅，避免“卡壳即放弃”； 支架二：图形验证，鼓励使用GeoGebra画出直线与圆，先猜后证，降低抽象门槛； 支架三：错因提示语，教师点评时用“你的几何解释是什么？”“这一步的几何意义是什么？”代替“这道题错了”； 教师重点关注：斜率不存在情形（A2）、平行条件中重合的检验（A3）、距离公式中直线方程须为一般式（A4）、代数最值的几何转化（B3）。 （五）减负与差异化支持 量上做减法：B5、B6 二选一，C层三选一，D层公开输出二选一，A、B层随课分4次完成、单次不超过15分钟，独立书写部分合计约55分钟，日均书写负担不超过30分钟，全部分2次提交； 难度可自选：基础薄弱学生可申请“只做A层＋C层听讲记录”，学有余力学生加做C层挑战题与D层扩展项； 形式可替代：允许以“口述＋录音”替代部分书写；允许用“说思路”通过B层最后一问； 时间可弹性：D层报告允许在单元教学周期内分阶段提交（建模说明→计算→成稿），不搞一次性突击。 四、参考答案与解析 （一）A层答案速查 题号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 答案 C B C A A B ； 易错提示： A1 注意 ， 对应两解；A3 求出 后须检验两直线是否重合；A5 圆的一般方程配方后半径是 而非 ；A10 先求圆心到直线距离 ，再用 。 A11． （1） 的斜率 ，所求直线：，即 ； （2）垂直直线斜率 ，，即 ； （3）两平行线距离 。 A12． （1）由两点式 ，即 ，化简得 ，即 。 （2）几何法：圆心在弦 的垂直平分线上。 中点 ，，中垂线为 ，即 。与 联立得圆心 ，，故圆的方程为 。 另解（待定系数法）：设圆的一般方程 。代入 、 得 、；又圆心 在 上，故 ，即 。三式联立解得 、、，即 ，配方得 ，与几何法结果一致。【覆盖：待定系数法求圆的方程】 （二）B层解析（含素养指向） B1． （1），，；，。 按边分类：，三边互不相等，为不等边三角形； 按角分类：最大边为 ，而 ，最大角为锐角，故为锐角三角形。 （注：两种分类标准相互独立，答题时应分别说明，不宜写成“不等边锐角三角形”式混用。）【数学运算、逻辑推理】 （2） 中垂线：； 中垂线：。联立得外心 ，，外接圆方程为 。 （3）到三点距离相等的点即外心，坐标为 ，距离为 （百米），即约 米。 【建模提示】注意到外心 到休息区 圆心 的距离为 ，即该点落在休息区 的用地范围内。这提示我们：数学上的“最优解”还需结合用地性质再作取舍——这正是数学建模中“求解—检验—修正”的应有之义。 B2． （1）设 ，则 的中点在 上且 ：，，解得 ，，故 。 （2） 与 交于 ；取 上一点 关于 的对称点 ，过 与该点的直线斜率为 ，所求直线为 。【逻辑推理、数学运算】 B3． 圆 化为 ，圆心 ，半径 。 （1）设 ，即直线 与圆有公共点，故 ，得 ，最大值为 ，最小值为 。几何事实：直线在圆上“扫过”时，纵截距的极值出现在与圆相切处。 （2） 是点 与定点 连线的斜率。设该斜率为 ，直线 与圆有公共点，则 ，即 ，解得 ，故取值范围为 。【直观想象、数学建模】 B4． 圆心 ，半径 ，圆心到航线距离 。 （1）相切时 ，， 或 ； （2）（此时 ）； （3）；整数取值共 个。【数学建模、数学运算】 B5． （1）作 关于 轴的对称点 ，直线 的斜率 ，方程为 ；令 ，得 ，故 。 （2）总路程 。 （3）由轴对称，，故 ，等号当且仅当 、、 三点共线时成立。光在反射时走的是路程最短的路径（费马原理），因此反射点 正是直线 与镜面的交点——“作对称点”把求折线最小值的问题，转化成了“两点之间线段最短”的问题。【跨学科、数学建模】 B6． （1），弦长 ，半弦 ，故 ，，； （2）弦中点即圆心到直线的垂足： 时 ； 时 ；； （3）弦长为 时等于直径，，，此时直线过圆心，弦为直径——说明弦长最大不超过直径，且 越小弦越长。【逻辑推理】 （三）C、D层参考要点 C1． （1）圆化为 ；（若允许相切则为 ）。 （2） 在直线 上，而 过原点 ，故 与 同向；又由垂径定理 ，即 ，故 。于是 ，即 ，化为 。 轨迹范围： 是弦中点，必在 内部（），故轨迹是上述圆落在 内的那段弧；两个端点对应直线与圆相切（ 与 ）的退化情形，切点分别为 与 ，因题目要求“相交于两点”，端点不取。【探究、逻辑推理】 （3） 越小弦越长，当 即直线过圆心 时，，弦长最大为 （直径）。【探究、直观想象】 C2． （1）设 ，由 得 ，解得 或 ，故 、。 （2）参考要点（言之成理、数据自洽即可给分）： 角度一·步行距离：（百米） 米，（百米） 米，方案二离驿站更近； 角度二·用地冲突：，方案一与休息区 外离；，介于 与 之间，方案二与 相交，用地重叠； 需补充检验的一点：，，二者都落在 内，即两个方案都与 存在用地交集。 参考结论：若以“不与休息区重叠”为首要标准，方案一更优（至少避开了 ）；若两处休息区都须完全避让，则本设定下无解，需要调整观景平台半径或另选圆心位置——能指出这一点并给出改进建议的，应给予满分。【开放、数学建模】 C3． （1），两圆外切，切点 在连心线上且 ，故 。 （2）内公切线垂直于连心线 ，故为 ；验证：、 到 的距离分别为 、，恰等于半径，故与两圆都相切。 （3）两条。设 ，由 、 且两圆心在同侧，相减得 ，解得 ，对应 ，故两条外公切线为 与 。【探究、逻辑推理】 D层参考数据： 米； 米；、，主绿道穿过两处休息区，需设置减速与引导标识；观景平台推荐 （与 外离、视野开阔），方案二 与休息区用地重叠。 五、作业评价标准 （一）分层作业评分细则（满分100分＋附加分上限20分） 层级 分值 评分要点 A层 50分 选择题6题×3分＝18分；填空题4题×4分＝16分；解答题2题共16分，按“方程正确／过程完整／结论规范”三级给分 B层 50分 B1—B4 各10分；B5、B6 选做一题计10分，共50分 C层 附加10分 探究过程4分、结论3分、表达与反思3分 D层 单独评价 按下方量规以等级呈现，折算为单元过程性评价成绩 分值构成：A层50分＋B层50分＝基础分100分；附加分由C层与过程性加分构成，合计上限20分。 过程性加分（每项2分，累计不超过10分）： 主动为同伴讲清一道错题；提出一种与标准答案不同的正确解法；用GeoGebra验证并截图说明；在报告中指出模型的局限；B5、B6 两题都做。 （二）D层合作输出成果评价量规（每项25分，共100分） 维度 优秀（22—25分） 良好（18—21分） 合格（14—17分） 待改进（≤13分） 数学准确性 方程、距离、弦长等全部正确，单位换算无误 有1处计算失误但不影响结论 有2—3处失误，结论基本成立 关键量计算错误 逻辑与表达 报告结构完整，说理层层递进，符号规范 结构完整，个别表述不清 有结论但缺少过程 逻辑混乱、无过程 合作与输出 四人分工明确、人人有输出，微视频／导图质量高 分工明确，输出达标 有分工但个别成员参与度低 一人包办 创新与应用 提出合理新方案或反思有深度，联系真实情境 有反思，情境联系一般 反思空洞 无反思、无应用 （三）学生自评与互评表（可直接打印使用） 评价项 自评（★1—5） 组评（★1—5） 我的证据（举例） 我能独立写出直线与圆的方程并判断位置关系 我能说出代数式的几何意义（如 、） 我在小组中完成了自己承担的任务 我曾把一道错题讲给同伴听并讲清楚 我能指出本模型的不足并提出改进 （四）结果运用与激励 评价结果只用于改进，不排名次：教师依据量规反馈“下一步做什么”，学生依据反馈修订后二次提交，二次提交质量计入终结评价； 优秀成果在班级“数学输出墙”和学校公众号展示，微视频纳入校本错题资源库； 对反复出现的共性错误（如斜率不存在、忘记检验重合），教师在下一课时用5分钟集中“再输出”——由出错学生主讲，实现以评促学。 六、附录（学习支架，可直接剪裁使用） 附录1：公式与方法支架卡 想解决的问题 可用的工具（公式／方法） 易错提醒 求倾斜角与斜率 ， 倾斜角范围是 ；竖直线斜率不存在 求直线方程 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 截距式不能表示过原点或与坐标轴平行的直线 判定平行与垂直 平行； 垂直 平行后要检验是否重合 求距离 ；平行线 方程必须化为一般式且 系数一致 求圆的方程 标准式 ；一般式 （） 一般式配方后 判断直线与圆的位置 比较 与 （几何法）或看 （代数法） 优先用几何法，运算量小 求弦长 （先求圆心到直线距离） 半弦、弦心距、半径构成直角三角形 求圆与圆的位置 比较 与 、 先求两圆心坐标与半径 求最值（圆上点） 转化为直线与圆相切： 型、 型、距离型 先说明代数式的几何意义，再算 求对称点／对称直线 中点在对称轴上、连线与对称轴垂直；直线对称先求交点再取另一点对称 对称轴斜率为 时可用“代换法”简化 附录2：小组合作输出流程（张贴用） 任务发布（2分钟）→ 个人独立思考（3分钟，写出思路不断笔）→ 轮流说思路（每人1分钟，只说方法不评判）→ 组内纠错与整合（8分钟）→ 推选代表全班讲（3分钟）→ 组内互评与修订（5分钟）→ 提交终稿与反思卡。 组内三句话约定： 我不打断别人的发言；我用“我不同意／我补充”表达观点；我要把思路讲到我同桌能听懂为止。 附录3：第二章知识结构（思维导图文字版） 直线与圆的方程 直线的刻画：几何量（倾斜角、斜率） 代数形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式） 直线的关系：平行、垂直、相交（交点坐标）、距离（两点间、点到直线、平行线间） 圆的刻画：标准方程 一般方程（配方互化，待定系数法求方程） 圆的关系：点与圆、直线与圆（ 与 、弦长、切线）、圆与圆（ 与 ） 贯穿始终的思想：坐标法、数形结合、转化与化归（几何问题 代数问题） 附录4：原创与使用声明 1. 本作业中标注“（原创）”的试题（B2、B3、B4、B5、B6、C1、C2、C3）及总任务情境“春城坐标·滇池绿道”均为作者原创设计，情境数据为教学需要所作的简化设定，不作为真实地理数据使用。 1. 本作业设计依据《教育强国建设规划纲要（2024—2035年）》《基础教育课程教学改革深化行动方案》《关于进一步加强中小学日常考试管理的通知》及《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》编制，面向人教A版选择性必修第一册第二章，未超出现行教材与课标要求。 1. 本作业可直接用于学校日常教学：A层用于预习诊断与课中检测，B层用于课后巩固，C、D层用于单元整合课与成果展示；允许本校教师根据本班学情增删题目，但请保留原创标注与作者信息。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $