第09讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线的弦长问题，先系统梳理弦长公式（最常用）及基本不等式作为基础支架，再通过椭圆弦长计算、最值、参数求解，双曲线弦长及参数，抛物线焦点弦与非焦点弦等8类题型构建应用脉络。 资料特色为题型分层设计，典例与变式题结合各地期末真题，通过真实问题情境培养数学眼光，分层训练提升逻辑推理的数学思维，规范解题过程强化数学语言表达，课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

第09讲拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题） 第一部分知识梳理 知识点一：弦长公式 AB-x2)2+(-y2)2 4B卡1+k2)(x,-x2)2 =V1+k2-x2 =1+k2)[(x+x2)2-4xx2] (最常用公式，使用频率最高) 1+京+-4y 知识点二：基本不等式 a+b≥2Wab(当且仅当a=b时等号成立) 第二部分题型精讲 题型01求椭圆的弦长 x2.y2 【典例1】(25-26高二下陕西成阳期末)已知椭圆c:京+=1(a>b>0)的焦距为 6 4,离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为V3的直线I过椭圆C的右焦点，且与椭圆C相交于A、B两点，求弦AB的长 度. 【奥例2】(2526有二下1满黄裙期末)已知片、5分别为C: -+y2=1的左、右 焦点，直线I交椭圆C于A、B两点. (1)求焦点F、B的坐标与椭圆C的离心率e的值： (2)若直线1过点E且与圆x2+y=1相切，求弦长4B的值： 【变式1】(25-26高二下上海期中)已知直线1斜率为2，且过定点(1,3)，椭圆 c: .=1 42 (1)求直线的方程： (2)若直线I与椭圆C交于A、B两点，求弦长4B. 【变式2】(25-26高二下·贵州阶段检测)设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个 顶点坐标为(2,0)，离心率为2 (1)求这个椭圆的方程： (2)若这个椭圆左焦点为，右焦点为F,过且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求 AB的长 【变式3】(25-26高二上北京期末)己知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的短轴长和离心率； 2)过点M(,)的直线1与椭圆C交于A,B两点，若弦AB的中点为M,求直线I的方程与弦 AB的长 题型02求椭圆的弦长的最值（范围) x2,y2 【典例1】(25-26高二上：辽宁辽阳期末)已知椭圆c:京+示1（a>b>0)过点 是椭圆的左焦点，是椭圆。上的一动点（点，不在轴上)， 直线AF交椭圆C于另一点B. (1)求椭圆C的离心率； 2)求4B的取值范围。 + 【典例2】(2526高二下云南文山阶段检测)已知椭圆C:a+尔1（a>b>0）的 3 离心率为)，且点12)在 ，上， 为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C右焦点F的直线1与椭圆交于A,B两点. (i)若点M的坐标为(4,0)，证明：∠OMA=∠OMB: 时，求弦长AB的取值范围 【变式1】(2026高三全国专题练习)设抛物线y=8x的焦点为F,定直线：x=4,P 为平面上一动点，过点p作1的垂线，垂足为Q,且(P四+2PF)P@-V2PF)=0 (1)求点P的轨迹C的方程； (2)直线I是圆O:x+y=r的任意一条切线，1与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径 的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出AB的取值范围 【变式2】（25-26高=下湖北期中)已知桶圆一经过点M15 2 且椭圆的两个焦点坐 标分别为E(V5,0)、E(N5,0). (1)求出椭圆C的标准方程： (2)若A、B是椭圆上异于M的点，直线MA、MB以及x轴围成一个以M为顶点的等腰三 角形 ①求证：直线AB的斜率为定值； ②求弦长AB的取值范围. 【变式3】（2526高二下江苏南京阶段检测)已知转圆C:+公 。+F=1(a>b>0)的焦距为 2.点在c上，0为坐标原点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过椭圆C右焦点F的直线I与椭圆交于A,B两点， (①)若点M的坐标为(4，O),证明：∠OMA=∠OMB: 若形A西当2[2]时，求弦长的取位范园 题型03根据椭圆的弦长求参数 【典例1】(2627高二上浙江绍兴开学考试)椭圆C:+京=(a>b>0)的左焦点 (-1,0)和上顶点(0,1) (1)求椭圆C的方程 包直线：=+m与精风c交于6两点，若= 3,求m的值. x2.y2 【典例2】(25-26高二上陕西汉中：阶段检测)已知椭圆京+方-1(a>b>0)的离心率为 且经过点 √2 试求： 2 (1)求椭圆的标准方程； 2是香存在过点0)与(4)中曲线C相交所得弦长州-的直线，若存在，求直线 的方程；若不存在，试说明理由。 变式1)25-26高己上贵州贵阳阶段检测)已知椭圆C:方行=1(a>6>0)上仟意 点P到C的两个焦点F(-2V2,0),F(2V2,0)的距离之和为43】 (1)求C的方程： 2)已知直线：y=3x+m与C相交于A,B两点，若AB=√0，求m的值. x2,y2 【变式2】〔2526商二上宁受吴忠期末)已知椭圆E的方程为京+片=1a>b>0),其 过点 31 且离心率为V6 (1)求椭圆E的方程： 包过点O)且务率存在的直线，与格圆E交于y:N两点，且州-3 ,求直线，的方 程 【变式3】(2526高三上宁夏银川期末)已知椭圆C:号+广 京+厅=l(a>b>0)的左、右焦点 分别为F、E,FF=2,P为C上一点，且PF+PF=4. (1)求C的标准方程： a直线y--)与C交于AB丙点，若H8=,求 题型04求双曲线的弦长 【典例1】(2425高=下上海期中)已如双曲线c的方程为片父1. (1)求C的渐近线方程： (2)经过点M(L,4)的直线1交C于A,B两点，且M为线段AB的中点， ①求l的方程；②求AB, x2.y2 【典例2】(25-26高二上广东广州期末)已知双曲线C与椭圆13+)=1有公共焦点， 且离心率为3 (1)求双曲线C的方程： (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为60的直线与双曲线C相交于A,B两点，求4B吲， 【变式1】(25-26高二上天津西青期末)己知双曲线的焦点在x轴上，Q=V5，且经过 点P(3,2V3) (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程： 2)过双曲线的右焦点，斜率为3的直线交双曲线于A,B两点，求弦长AB: 【变式2】(25-26高二上·天津·阶段检测)如果双曲线的两个焦点分别为F(-3,0), E(3,0),一条渐近线方程为：y=V2x. (1)求该双曲线的方程： (2)过焦点E,倾斜角为3的直线与该双曲线交于A,B两点，求AB 变式3】(25-26高二上天洋西期末)已知双曲线C:专-左=（α>0，b>0)的虚轴长 为4W5,离心率e=2. (1)求双曲线C的标准方程： (2)求与双曲线C的焦点相同的等轴双曲线的标准方程： (3)设点F是双曲线C的右焦点，过点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线C于A,B两点， 求AB. 题型05根据双曲线的弦长求参数 ,x2y2 【典例1】(25-26高二上四川攀枝花期末)已知双曲线C:京京=1(a>0,b>)过点(2，) ，新近线方程为y=士2 (1)求双曲线C的标准方程： 2)若直线1：y=:+1与双曲线C交于A,B两点，且A=2W7,求k的值 x2 y2 【典例2】（25-26高二上山东济南期中)已知双曲线。尔=1(a>0b>0)的右焦点为 F(3,0),渐近线方程为y=±V2x. (1)求双曲线的标准方程； (2)过F的直线1交双曲线于A,B两点，且AB上4V5,求1的方程. 【变式1】(25-26高二上江苏准安期中)已知双曲线C的焦点为F(-V5,0,E(W5,0）, 且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的标准方程： 2若直线1：y=x+m与双曲线c相交于4B两点，且18-16 ，求实数m的值 〔变式2】(2025届新高考高三数学学科基地秘卷（十）双曲线C:行10>0.6>0 的左、右焦点分别是F(4,0),E(4,0),M(3W5,27)在双曲线C上. (1)求双曲线C的标准方程： (2)过F作直线与双曲线交于点A,B,若弦AB的长为42，求直线AB的方程. 【变式3】(2025山东一模)已知双曲线C:兰片 :了京=1(a>0,b>0)的离心率为、2，点 (3,-)在双曲线C上，过C的左焦点F的直线与C的左支相交于两点，且1分别交C的两 条渐近线于M,N两点。 (1)求双曲线C的方程： (2)若O是坐标原点，MN=8V6,求△MON的面积. 题型06求抛物线焦点弦 【典例1】(25-26高二上福建厦门期中)已知在平面直角坐标系中，0为原点，抛物线 T:y2=2px的焦点为F(I,O),A、B是抛物线T上两个不同的点. (1)求抛物线T的方程，并求其准线方程： (2)若直线AB斜率为1，且过点F,求线段AB的长度. 【典例2】(25-26高二上河北沧州期中)己知抛物线C:x2=4y,过点P(1,0)作直线1. (1)若直线与抛物线C只有一个公共点，求直线的方程： (2)若直线1过点(0,1)，且交抛物线C于A、B两点，求线段AB的长 【变式1】(25-26高二上：贵州遵义期末)己知动点P到点F(2,0)的距离比它到y轴的距 离长2，记动点p的轨迹为曲线c过点F且倾斜角为4的直线，与曲线c交于4B两点 (1)求曲线C的方程： (2)求AB. 【变式2】(25-26高二上·天津滨海新区·期中)倾斜角为60°的直线I过抛物线C:y2=4x 的焦点，且与C交于A,B两点 (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程： (2)求直线的方程： (3)求AB的长. 【变式3】(24-25高二上山东烟台期末)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,直 线y=4交抛物线c于点p:且P时-P. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点F的直线1与抛物线C交于A,B两点，且AF=3FB,求AB 题型07求抛物线中非焦点弦 【典例1】(25-26高二下甘肃期末)己知抛物线C:y=2px(p>0)与圆x2+y2=7相交 于A、B两点，且AB=2N6. (1)求抛物线C的方程： 9 2)若MN是c上两点，且线段MN的中点为23，求MM, 【典例2】(25-26高二上江西南昌·期末)己知抛物线C:y=2px(p>0)与直线：y=x+1 相切，切点为A. (1)求P的值： (2)过点A且与直线I垂直的直线与抛物线C交于另一点B,求AB卧. 【变式1】(2026江苏南通一模)已知4，B两点的坐标分别是(-山，-)，（山，-），直线 AC,BC相交于点C,且直线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2， (1)求点C的轨迹「的方程； 2)已知r上存在三点P,Q,R,且P,Q关于直线y=2x+m对称. ①求m的取值范围： ②若aPQR为等边三角形，求|PO. 【变式2】(25-26高二上·贵州黔东南阶段检测)己知抛物线C:y=4x的焦点为F,斜率 为2的直线与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若AF+BF=8,求I的方程： (2)若AP=2PB,求AB 【变式3】(2026河南开封·一模)在直角坐标系O少中，点P到y轴的距离等于点P到点 F(2,0)的距离，记动点P的轨迹为W, (1)求W的方程： (2)经过点F且斜率为1的直线I交W于A,B两点，求AB. 题型08根据抛物线弦长求参数 【典例1】(2025甘肃白银模拟预测)如图，A,B是抛物线C:y=2px(p>0)上异于顶点 的两个动点，直线AB过抛物线C的焦点F,且焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线C的方程： 2)若AB=6,求△0AB的面积. 【典例2】(24-25高三上甘肃白银期末)己知抛物线C:y=2px(D>0)上的点P(9,P)到 焦点的距离为4. (1)求P+9的值： (2)过抛物线C的焦点的直线1与抛物线C相交于A,B两点，且AB=10,求直线1的方程， 【变式1】(2024甘肃白银一模)己知直线y=-1与y=-5关于抛物线C:x2=2py的准线 对称。 (1)求C的方程： (2)若过C的焦点的直线1与C交于A,B两点，且AB=24,求1的斜率. 【变式2】(23-24高二上北京海淀期末)已知直线I:y=x+1经过抛物线C:x2=2p少的 焦点F,且与C的两个交点为P,Q (1)求C的方程： (2)将1向上平移5个单位得到1,1与C交于两点M,N.若MN=24,求k值. 【变式3】(23-24高二上安徽毫州期末)己知抛物线C:y2=2prp>0)上的点M1,m到 焦点F的距离为4. (1)求C的方程： (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A,B,且AB=36,求直线AB的方程. 第09讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题） 第一部分 知识梳理 知识点一：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点二：基本不等式 （当且仅当时等号成立） 第二部分 题型精讲 题型01求椭圆的弦长 【典例1】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 【典例2】（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1） 利用椭圆标准方程直接求焦点、离心率； （2）结合直线与圆相切的条件求直线方程，最后用弦长公式计算弦长. 【详解】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终.    【变式1】（25-26高二下·上海·期中）已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值. 【详解】（1）由题意可知，直线的方程为，即. （2）设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以. 【变式2】（25-26高二下·贵州·阶段检测）设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点坐标为，离心率为. (1)求这个椭圆的方程： (2)若这个椭圆左焦点为，右焦点为，过且斜率为的直线交椭圆于､两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求，求得椭圆方程； （2）直线的方程为，与椭圆方程联立，得到，，代入弦长公式. 【详解】（1）解：设椭圆的方程为， 由题意，，，∴，， ∴椭圆的方程为. （2）解：左焦点，右焦点，设，， 则直线的方程为，由，消得， ，， ， 【变式3】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 【答案】(1)短轴长为，离心率为， (2)， 【分析】（1）写出椭圆标准方程，即可求得椭圆的短轴长和离心率； （2）设，由椭圆方程及中点坐标，利用点差法即可求得直线方程，联立直线方程及椭圆方程，由韦达定理及交点弦长公式求得弦的长. 【详解】（1）椭圆，即， ∴ ∴椭圆的短轴长， ∵，∴， ∴椭圆的离心率. （2）设， 则，即，∴， ∵点为弦的中点，则，即， ∴，即， ∵直线，即， ∴， 联立方程组，整理得， 则， ∴. 题型02求椭圆的弦长的最值（范围） 【典例1】（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的离心率; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程即可联立方程求解，即可利用离心率公式求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而由弦长公式，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）设椭圆的焦距. 由题意可得，解得. 因为，所以， 则椭圆C的离心率为. （2）由椭圆的对称性不妨设点，，直线的方程为，. 由得，则，， 故. 因为，所以，所以， 所以，所以， 则，即的取值范围为 【典例2】（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图，当直线 与 轴重合时，显然成立； 当直线 与 轴不重合时，设直线 为，，， 联立那么可得， 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ， 由于， 因此， 因此， 的倾斜角互补，因此． （ⅱ） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与 轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）根据已知条件可得，解得， 所以椭圆C为 ． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由，那么． 那么可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又由于， 因此，， ． 令，那么， 所以． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）设抛物线的焦点为，定直线，为平面上一动点，过点作的垂线，垂足为，且． (1)求点的轨迹的方程； (2)直线是圆的任意一条切线，与曲线交于两点，若以为直径的圆恒过原点，求圆的方程，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2)圆的方程为，的取值范围是 【分析】（1）根据抛物线的性质得出点坐标，设点，结合构造方程求出点的轨迹的方程； （2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，联立椭圆方程，利用圆的性质，结合韦达定理和两点间距离公式求出及的取值范围． 【详解】（1）已知抛物线的焦点为，则，设，则， 由0，得， ， 整理得，即． （2） 当切线的斜率不存在时，不妨设切线为，代入椭圆方程得， ，， 以为直径的圆恒过原点， ， ，解得， 圆的方程为，此时； 当切线的斜率存在时，设方程为， 与圆相切， ，即， 将直线方程代入椭圆方程并整理得①， ②， 设，，则，是方程①的两个解， 由韦达定理得，， ， 以为直径的圆恒过原点， ， ，即， ，， 又， ， ，此时，代入②得成立， 圆的方程为， 此时 ， 若，则； 若，则； 综上，圆的方程为，的取值范围是． 【变式2】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2) ①由题可得，从而直线的斜率必定存在， 设、，设直线的方程为， 联立，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 即， 即 ， 整理可得， 即， 又因为直线不过点，所以，所以，即； ② 【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①由题可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理化简可得出的值； ②求出的取值范围，结合弦长公式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆定义可得 ， 因为，所以，则， 由题，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）①略 ②由①可知，，由得， 因为，所以，因此的取值范围是. 【变式3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）当直线与轴重合时，显然成立； 当直线与轴不重合时，设直线方程为. 联立，得， 则，. 则， 因为， 所以. 故的倾斜角互补，所以； 综上，. （ii） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）由题意得，，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）略 （ii）由，则. 可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 由 ， 令，则， 因为，所以，则弦长的取值范围为. 【点睛】 题型03根据椭圆的弦长求参数 【典例1】（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，代入可得答案； （2）根据题意，联立方程，设，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点和上顶点 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 【典例2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    【变式1】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知椭圆上任意一点P到C的两个焦点的距离之和为. (1)求C的方程； (2)已知直线与C相交于两点，若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【详解】（1）由题意可得，解得，故的方程为. （2）联立，得， ，解得， 设，则，，， 解得，满足，所以的值为. 【变式2】（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知椭圆的方程为，其过点且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立并结合韦达定理，利用弦长公式列方程即可求解直线斜率，即可得解． 【详解】（1）由题意，解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）直线斜率存在，设为， 设，，联立方程组，得， 可得，， 由，知， 也即 ， 平方化简得，解得或（舍去）， 所以，所以直线的方程为或． 【变式3】（25-26高三上·宁夏银川·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)直线与交于、两点，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，可得， 又因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点、，    联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得. 题型04求双曲线的弦长 【典例1】（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的方程为. (1)求的渐近线方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【答案】(1)； (2)①，②. 【分析】（1）根据渐近线公式即可得到答案； （2）①利用点差法即可求得直线方程；②利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. （2）①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 【典例2】（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦点在轴上，，且经过点. (1)求该双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)过双曲线的右焦点，斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出双曲线的方程，将，点的坐标代入即可求解； （2）由点斜式可得直线的方程，联立双曲线的方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式可得弦长，或根据弦长公式求解. 【详解】（1）由已知焦点在轴上，可设双曲线的方程为， 将，点的坐标代入方程为，解得，， 所以双曲线的标准方程为， 渐近线方程为. （2）由（1）知，所以半焦距，右焦点为， 如图，作出符合题意的图形， 由点斜式可得直线的方程为， 由，消去得. 法一：解方程得， 将代入，得， 不妨取， 所以. 法二：设，则，， 所以. 【变式2】（25-26高二上·天津·阶段检测）如果双曲线的两个焦点分别为，，一条渐近线方程为：. (1)求该双曲线的方程； (2)过焦点，倾斜角为的直线与该双曲线交于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据焦点坐标求得c，根据渐近线方程求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和b，则双曲线方程可得． （2）由题意可得，可求直线解析式，直线与双曲线联立，由韦达定理可得，即可求解. 【详解】（1）设双曲线方程为，由题意可得，解得，所以双曲线方程为. （2）因为该直线过焦点，倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线：，所以， 联立可得， 方程的判别式 设，，所以， 所以. 【变式3】（25-26高二上·天津河西·期末）已知双曲线的虚轴长为，离心率． (1)求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线的焦点相同的等轴双曲线的标准方程； (3)设点是双曲线的右焦点，过点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由虚轴长和离心率条件，结合求出，得到双曲线的标准方程； （2）设等轴双曲线方程为，利用与已知双曲线焦点相同的条件，求出参数，得到所求标准方程； （3）先写出过右焦点且倾斜角为的直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理和弦长公式求出. 【详解】（1）由题意，虚轴长为，即， 离心率，即，由，所以，解得， 双曲线的标准方程为． （2）设等轴双曲线的方程为， 因为与双曲线的焦点相同，所以，解得， 所以等轴双曲线的标准方程为． （3）双曲线的右焦点， 则过点倾斜角为的直线方程为，与双曲线方程联立， ，消去，得，则， ， 所以等于6． 题型05根据双曲线的弦长求参数 【典例1】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)依据渐近线方程和已知点得到和值，最后求得双曲线方程. (2)将直线代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，再用弦长公式求解. 【详解】（1）以及点代入中，可得， 所以双曲线为. （2）将代入，可得， 设，，则：，，依据弦长公式可得： ， ， 令，则方程变为：，解得或，即或， 由此可得或；原一元二次方程的判别式： ，即， 所有解均满足条件，最终：或. 【典例2】（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，建立得方程求出，得解； （2）当直线的斜率为0时，显然不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出，进而求得，得解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义计算即可得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由双曲线定义可得该双曲线实轴长为，焦距为， 则虚轴长为，故双曲线的标准方程为； （2）联立，消去得， ， 设、，则，， 则 ， 则，故. 【变式2】（2025届新高考高三数学学科基地秘卷（十））双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过作直线与双曲线交于点，若弦的长为42，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据点在双曲线上，结合双曲线定义得出，结合焦点坐标得出双曲线方程； （2）先设直线方程，再联立方程组应用弦长公式结合韦达定理计算求参即可得出直线方程. 【详解】（1）因为双曲线的左、右焦点分别是，，在双曲线上， 所以 ． 所以，，． 所以双曲线的方程为． （2）若直线的斜率为0，则长度为6，不符合题意． 当直线斜率不为0时，设直线，与双曲线联立，得． 当时，恒成立， 设，， 因为的长为42，， 所以，解得或． 所以直线的方程为或．    【变式3】（2025·山东·一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若是坐标原点，，求的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由题意可得，进而可得； （2）当时，易知，不合题意，当时，联立直线方程和渐近线方程可得，进而可得，进而由可得，进而可得. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且点在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为 （2） 设， 由（1）可知双曲线C的左焦点为，渐近线方程为， 所以可设直线的方程为， 当时，易知，不合题意，故． 由，得，其中， 所以， ，解得（舍去）或， 所以，故． 题型06求抛物线焦点弦 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度． 【答案】(1)，. (2)8 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，则，即可得到抛物线方程和准线方程； （2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程利用韦达定理得到，再由焦半径公式得到. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，所以，则， 所以抛物线方程为，准线方程为. （2）因为直线斜率为1，且过点，所以直线的方程为； 联立直线与抛物线方程，得到， 设，则， 所以过焦点的弦长为. 【典例2】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知抛物线，过点作直线. (1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程； (2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，综合可得出直线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在，设的方程为， 联立消去得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以，解得或， 此时直线的方程为或. 综上，直线的方程为或或. （2）因为直线过点，又过点，所以直线的方程为， 设、，联立消去得，则， 因为点为抛物线的焦点，故， 即线段的长为.    【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知动点到点的距离比它到轴的距离长2，记动点的轨迹为曲线.过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点. (1)求曲线的方程； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，直译法即可求解. （2）抛物线与直线联立求出，由焦点弦长公式即可求解. 【详解】（1）设由题意得，即， 化简得 当时，；当时，， 故曲线的方程是. （2）由题意得直线方程为，易知直线与交于两点，且点为的焦点， 设,由得， 化简得，， 所以. 【变式2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的长． 【答案】(1)焦点， 准线方程 (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定，进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）由直线的点斜式方程即可求解； （3）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则焦点，抛物线准线方程为； （2）直线的方程为，即. （3）联立消去得， 设，则，故.    【变式3】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可. 【详解】（1）设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以． 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得． 所以． 题型07求抛物线中非焦点弦 【典例1】（25-26高二下·甘肃·期末）已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线与圆都关于轴对称，得到垂直轴，结合弦长求出点坐标，代入抛物线即可求出. （2）用点差法，根据中点纵坐标求出直线的斜率，写出直线方程；再联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出. 【详解】（1）因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. （2）设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 【典例2】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知抛物线与直线相切，切点为. (1)求的值； (2)过点且与直线垂直的直线与抛物线交于另一点，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）联立方程，相切问题转化为解的个数问题，即求为0时的参数值； （2）由点坐标求出直线的解析式，进而联立求出点坐标，再由两点之间距离公式，即得所求. 【详解】（1）由，得①. 因为抛物线与直线相切，所以， 解得（舍去），即的值为2． （2）方程①即，解得，，所以． 直线AB的方程为，即． 由，得， 解得（舍去），．由，得，即． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【详解】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 【变式2】（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，，与轴的交点为. (1)若，求的方程； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义来求得直线的方程. （2）根据来进行求解，利用弦长公式求得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为. 设直线的方程为，与轴的交点为.     设，. 由抛物线的定义得，.     由，得，即.     联立直线与抛物线的方程得，即.     由韦达定理得，         代入，得，解得. 故直线的方程为.         （2）设直线的方程为，，，. 令，则，即，所以.     联立直线与抛物线的方程，得.     由韦达定理得，，         ，     .     因为，所以， 即，     由，得. 又因为，所以，即， 则.             由，得，即，         此时，.     根据弦长公式得. 【变式3】（2026·河南开封·一模）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先设点的坐标为，再根据题意列式化简即可； （2）先求出直线的方程，再利用距离公式即可求出. 【详解】（1）设点的坐标为，依题意得， 化简得，所以的方程为． （2）直线过点且斜率为1， 直线为，即 ， 设， 联立，化简得： ，则， 又，把代入， 得, ， ． 题型08根据抛物线弦长求参数 【典例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，是抛物线上异于顶点的两个动点，直线过抛物线的焦点，且焦点到准线的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由焦点到准线的距离求解出的值，则得抛物线的方程；（ （2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用弦长公式解出，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为2， ，抛物线的方程为． （2）由题意得，且直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设点，，由，消去，得， ，，， ，解得． 点到直线的距离， ， 所以的面积为． 【典例2】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案. （2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题知，，所以. 因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为. 由得，， 所以，所以. 因为，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 【变式1】（2024·甘肃白银·一模）已知直线与关于抛物线的准线对称. (1)求的方程； (2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对称关系求出准线方程，可得抛物线方程； （2）设，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦点弦公式求解即可； 【详解】（1）由题意得的准线方程为. 由，得， 所以的方程为. （2） 易得的斜率存在，的焦点为. 设， 联立得， 得 则 得，即的斜率为. 【变式2】（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q． (1)求C的方程； (2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与轴交点得焦点，待定可得方程； （2）联立直线与抛物线的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于的方程，求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点在轴上， 直线，令，得，则焦点， 所以，即， 所以抛物线的方程为； （2）直线向上平移5个单位得到， 由，消得， 设直线与交于两点， 则，且， ， 由，化简整理得， 解得（舍）或， 所以. 【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线上的点到焦点F的距离为4． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式列出等式，即可求出的值； （2）设出直线的方程，讨论斜率存在和不存在的情况，联立直线方程和抛物线方程，利用焦点弦长公式即可得到结果. 【详解】（1）由题意得：，解得， 所以抛物线的方程为 （2）因为， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 当时，，此时，不合题意，舍去； 则直线l的斜率存在，设直线方程为，， 与抛物线方程联立，消去得， 因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点， 由韦达定理得， 所以弦长， 解得，即， 所以直线l的方程为：. 学科网（北京）股份有限公司 $