精品解析：湖北省武汉市江夏区湖北华宜寄宿学校2026～2027学年九年级上学期9月数学学情自测卷

华宜寄宿学校2026～2027学年度第一学期9月月考 九年级数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 抛物线，，的图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 4. 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 二次函数与轴交于、两点，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是__________． 12. 若抛物线的对称轴为直线，则_____． 13. 智能汽车销售火爆，某店10月份销售100台，12月份销售264台．设该款汽车11月、12月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是__________． 14. 已知抛物线，，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为__________． 15. 如图，在中，，是边的中点，把沿翻折，得到，与交于点．若，则的面积是__________． 16. 已知抛物线（，，是常数，），当时，．下列五个结论： ①； ②； ③当时，若抛物线与轴交于不同的两点、，且，则； ④若点，，在抛物线上，且，则； ⑤当时，若方程有3个实数根，则． 其中正确的结论是__________．（直接填写序号） 三、解答题：（共8题，共72分） 17. 用给定的方法解下列方程： （1）用公式法解方程：； （2）用配方法解方程：． 18. 若长方形的长和宽是方程的两个根，求该长方形的周长和面积． 19. 某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克． （1）若该水果每千克涨价2元，则每天售出水果的利润为_____元． （2）如果该水果批发商要保证每天盈利6000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 20. 已知二次函数． （1）抛物线开口__________，顶点为__________； （2）当时，求的取值范围； （3）当时，则的取值范围为__________． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 22. 如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． （1）如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么切去的小正方形边长是多少？ （2）设方盒底面积为切去的小正方形边长为，为了美观，规定小正方形的边长不得小于． ①求底面积的最大值； ②若方盒底面积不小于，试求出小正方形边长的取值范围． 23. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，连接． （1）若上有另一点（不与点，重合），当时： ①证明：； ②若，，且，求的长． （2）如图2，若，，点为中点，作点关于直线的对称点，当直线时，直接写出的长． 24. 抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图1，点，分别在第三，第一象限抛物线上，若点，，到直线的距离都相等，求点的横坐标； （3）如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为原点．过的两直线，均不与轴平行，与抛物线有唯一的公共点，与抛物线交于，两点．过点作的平行线，交直线于点．若点为的中点，则点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华宜寄宿学校2026～2027学年度第一学期9月月考 九年级数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 2. 抛物线，，的图象开口向下的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：三个抛物线的二次项系数依次为，，， ∴的图象开口向下． 3. 若是方程的一个根，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 4. 解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 5. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 7. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，用k表示出方程的两根之和与两根之积，代入已知等式求解． 【详解】解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴ 解得． 8. 将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据两抛物线顶点坐标确定平移规律，表示出点的坐标后代入的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为向左平移3个单位，向下平移4个单位 点在抛物线上，对应点为， ∴的坐标为，即 在抛物线上， 将代入得， 整理得， 解得或， 的值为或， 即点的横坐标可以是． 9. 二次函数与轴交于、两点，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系和等式变形处理得到，由此求得的值，注意． 【详解】解：∵二次函数与轴交于、两点， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∴， 解得或， 当时，二次函数为， ∴， ∴二次函数与轴只有一个交点，不符合题意，舍去； 当时，二次函数为， ∴， ∴二次函数与轴有两个交点，符合题意； ∴． 10. 随着科技的不断发展，智能机器人已逐渐进入人们的生活．现在定义：如果两个智能机器人上的程序所对应的两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，则称这两个函数互为“遥望函数”，这对对称的点称为“遥望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“遥望函数”，点与点则为一对“遥望点”．已知函数和互为“遥望函数”，则的值不可能是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据“遥望函数”定义，结合关于原点对称的点的坐标特征，将问题转化为一元二次方程有实根的问题，通过判别式确定的取值范围． 【详解】解：设函数上的点与函数上的点关于原点对称， 将代入，得， 整理得， ∵两函数互为“遥望函数”， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∵， ∴的值不可能是2026． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左边已分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴ 或 ， ∴，． 12. 若抛物线的对称轴为直线，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．利用抛物线对称轴公式代入已知条件求解 【详解】解：抛物线 的对称轴公式为 ，已知对称轴为 且 ， 代入公式得 ，即 ， 解得 故答案为：． 13. 智能汽车销售火爆，某店10月份销售100台，12月份销售264台．设该款汽车11月、12月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知10月和12月的销售量，设月平均增长率为，依次表示出12月的销售量，即可根据已知条件列出方程． 【详解】解：设该款汽车11月、12月份销售量的月平均增长率为， ∵10月份销售100台， ∴11月份销售量为台， ∴12月份销售量为台， 又∵12月份实际销售264台， ∴可列出方程． 14. 已知抛物线，，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求出抛物线与轴的两个交点，再分两种情况讨论：与轴仅有一个交点且不与的交点重合；与轴有两个交点，其中一个与的交点重合，分别计算得到的值． 【详解】解： 与轴交于和两个不同交点． 情况1：与轴只有1个交点，即方程有两个相等的实数根． 判别式，解得，此时交点为，不与的交点重合，总交点共3个，符合要求； 情况2：与轴有两个不同交点，其中一个与的交点重合，总交点为3个． 当经过时，代入得，解得，此时，另一个交点为，不与交点重合，符合要求． 当经过时，代入得解得，此时，另一个交点为，不与交点重合，符合要求． 综上，的值为或或． 15. 如图，在中，，是边的中点，把沿翻折，得到，与交于点．若，则的面积是__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由翻折和中点性质得出为等边三角形，进而求出及的长；利用同位角相等证明，通过相似三角形求出的长；最后作高利用勾股定理或三角函数求出的高，计算面积 【详解】解：由翻折可知，， 点是的中点 ， ，   ， 又，   ， 是等边三角形，   ，  ，  ， 在中，，，，  ∴， ， ，  ，  ， ，  ， 过点作于点 在中， ，  ， ，   ， . 16. 已知抛物线（，，是常数，），当时，．下列五个结论： ①； ②； ③当时，若抛物线与轴交于不同的两点、，且，则； ④若点，，在抛物线上，且，则； ⑤当时，若方程有3个实数根，则． 其中正确的结论是__________．（直接填写序号） 【答案】 ①③⑤ 【解析】 【分析】根据时推出，得到抛物线对称轴为，再逐个验证五个结论即可. 【详解】解：当时，，代入得，整理得，故①正确； 抛物线对称轴为， 对于②：整理不等式，代入得， 移项得，即， ∵但符号不确定， ∴当时不等式不成立，故②错误； 对于③：当时，，抛物线为， 令得，即， ∵抛物线与轴交于不同的两点， ∴，即， 设方程两根为，由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴，解得， ∴，故③正确； 对于④：到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 若，开口向上，随点到对称轴距离增大而增大，由得，解得或， 若，开口向下，随点到对称轴距离增大而减小，由得，解得， 因此不是必然结论，故④错误； 对于⑤：当时，，抛物线，顶点坐标为， 方程有3个实数根，即与直线有3个交点， 只有顶点在直线上时满足条件，即，解得，故⑤正确. 综上，正确结论为①③⑤. 三、解答题：（共8题，共72分） 17. 用给定的方法解下列方程： （1）用公式法解方程：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定一元二次方程的系数，再计算根的判别式判断方程根的情况，最后代入求根公式求解即可； （2）先化二次项系数为1，移项后配方，开方求解即可． 【小问1详解】 解：∵在方程中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：方程， 两边同除以2得： ， 移项得： ， 配方得：，即， 开方得  解得：． 18. 若长方形的长和宽是方程的两个根，求该长方形的周长和面积． 【答案】长方形的周长为，面积为 【解析】 【分析】设长方形的长为、宽为，再由一元二次方程根与系数的关系可得，，从而即可得出结果． 【详解】解：设长方形的长为、宽为， 由题意可得，， ∴该长方形的周长为，面积为． 19. 某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克． （1）若该水果每千克涨价2元，则每天售出水果的利润为_____元． （2）如果该水果批发商要保证每天盈利6000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）5520 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利元列出一元二次方程． （1）用单个的利润乘销售量得出每天售出水果的利润即可； （2）总盈利每千克盈利销售量，利用总利润为6000元得到方程后求解即可． 【小问1详解】 解： （元）， 答：该水果每千克涨价2元，则每天售出水果的利润为5520元． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，根据题意得： ， 解得：，， 要使顾客得到实惠， ， 答：每千克应涨价5元． 20. 已知二次函数． （1）抛物线开口__________，顶点为__________； （2）当时，求的取值范围； （3）当时，则的取值范围为__________． 【答案】（1）向下； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，最大值为5，抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点为； 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为5，抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，此时函数取得最小值，最小值为， ∴当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时，， 由图象的性质得：， 即当时，的取值范围为． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 22. 如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒． （1）如果要制作的无盖方盒的底面积为，那么切去的小正方形边长是多少？ （2）设方盒底面积为切去的小正方形边长为，为了美观，规定小正方形的边长不得小于． ①求底面积的最大值； ②若方盒底面积不小于，试求出小正方形边长的取值范围． 【答案】（1）切去的小正方形边长是 （2）①底面积的最大值为；② 【解析】 【分析】（1）设切去的小正方形边长是，根据制作的无盖方盒的底面积为，列出方程，解方程即可； （2）①先根据题意得出，然后求出，再根据二次函数的性质进行解答即可； ②把代入，求出或，结合解析①求出答案即可． 【小问1详解】 解：设切去的小正方形边长是，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：切去的小正方形边长是； 【小问2详解】 解：①根据题意得： ， ∵边长不得小于， ∴， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S取最大值，且最大值为， 即底面积的最大值为； ②把代入得：， 解得：或， 根据解析①可知：，且时，S随x的增大而减小， ∴若方盒底面积不小于，则小正方形边长的取值范围为． 23. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，连接． （1）若上有另一点（不与点，重合），当时： ①证明：； ②若，，且，求的长． （2）如图2，若，，点为中点，作点关于直线的对称点，当直线时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形是矩形， ， ， 在与中， ， ； ② （2）的长是3或9 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质证出，，再根据三角形的全等判定即可；②连接交于点O，过点B作于点G，由矩形的性质和勾股定理求出，由三角形的面积公式求出，再求出是等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出答案； （2）情况1，先求出的长，再根据对称性，直角三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，最后再求出，即可得答案；情况2，由情况1和勾股定理求出的长，由对称性求出，由直角三角形和勾股定理求出的长，即可得答案． 【小问1详解】 解：①略； ②连接交于点O，过点B作于点G，如下图所示： 四边形是矩形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由三角形的面积公式得：，即 ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ； 【小问2详解】 如下图，情况1，当点P在的下方时， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点， ， ， 由对称性可知：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 如下图，情况2，当点P在的上方时， 由以上题意可知：， ， 在中，由勾股定理得：， 由对称性可知：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， 综上所述，的长是3或9． 24. 抛物线：交轴于，两点（在的左边），交轴于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图1，点，分别在第三，第一象限抛物线上，若点，，到直线的距离都相等，求点的横坐标； （3）如图2，平移抛物线得到抛物线，其顶点为原点．过的两直线，均不与轴平行，与抛物线有唯一的公共点，与抛物线交于，两点．过点作的平行线，交直线于点．若点为的中点，则点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）点在一条定直线上，该直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）由已知条件分别令，，即可求得点A，B，C的坐标； （2）过点A作交于点R，过点B作交于点T，交x轴交点S，过点C作交于点J，连接，由已知条件得出四边形是矩形，得到，继续证明，得到点S是的中点，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到，得出直线的解析式，联立抛物线解析式即可得到点E的横坐标； （3）先求出：，设，，，分别利用待定系数法求出，，，的解析式，由所在直线与所在直线均过点，求得，联立：，求得x，y的表达式，从而得到点N的坐标表达式，由点K为的中点，求得点K的表达式，进而得出点K在定直线上． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． 【小问2详解】 解：如图，过点A作交于点R，过点B作交于点T，交x轴于点S，过点C作交于点J，连接， ∵点A，B，C到直线的距离都相等， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点S为的中点， ∵，， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线恒过点， ∴将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵， ∴，即点E的横坐标为． 【小问3详解】 解：由题意知，：， 设，，， ∴，，， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴， 设的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∵所在直线与所在直线均过点， ∴，得， ∵点Q在y轴右侧，即， ∴， ∴的解析式为，的解析式为，的解析式为， 联立：， ∴， ∴ ， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点K为的中点， ∴， ∴， ∴点K在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $