湖北省黄石市云学联盟2026-2027学年高二上学期10月学科素养测评数学试题

高二数学学科素养测评 评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 答案 B D A B D ACD BC BCD 12.号（或4.4） 13.6W3 14.(4,4,5) 15.(13分) (1)由题意：k6品- 2分 →m=3 4分 (2)设Cn,0) 当n=O或者n=3时直线AC的倾斜角和直线BC的倾斜角不互补 5分 当n时0且n时3时，kae=片，kc克 7分 由题意kAC+kgC=0 11分 即-+=0→n=2 故点C坐标为(2,0) 13分 16.（1)由正弦定理：sinAcosC+V3 sinAsinC.-sinB-sinC=0 V3sinasinC-cosAsinC+sinc →V3sinA-cosA=1 2分 sin(A8月 3分 又A∈0→A君∈(g) 4分 故A=F即A=胃 6分 (2)由题意： ac(品)P-(2)2-9bc号 8分 SAnG-besinA- 11分 由余弦定理：a2b2+e2-2bcc0sA4→b2+e2-号→0+c-9b+c3 12分 设内切圆半径为r,由等面积法：S△Ac=(ab+cr 13分 第1页共5页 →I=2 SAABC=V5 a+b+c 6 15分 17.(1)方法一：几何法 取BD中点F,取AD中点G,由题意有BG⊥AD,CF⊥BD 1分 ,平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CF⊥BD,CFC平面BCD 则CF⊥平面ABD 3分 又ADC平面ABD→AD⊥CF 4分 又E为AD四等分点，则EF/BG,则AD⊥EF 5分 又CF∩EF=E,且CFC平面CEF,FC平面CEF→ADL平面CEF.6分 又CEC平面CEF,则AD⊥CE 7分 方法二：建系 建立如图所示的空间直角坐标系， B0.00,A0-1,V,C31,0,D0,20.E(0,,9) …2分 AD=(0,3,-3) 4分 匝(3,9) 6分 →ADCE-0故AD⊥CE 7分 (2)设平面ACD的法向量为m=(&1,y1,z1) AD=(0,3,-V3),AC-(W3,2,-V3) AC-0V53x+2yV3z0,平面AD的一个法向量为加1,3,3) mAD-0(3y1-V3z1=0 9分 设平面ABC的法向量为n-K3,y2,z2) 元AE-0→_yV3z,=0 zAC-0(V3x2+2y2-V3z2=01 ,平面ABC的一个法向量为西(1，V5,1) 11分 则平面ABC与平面ACD的夹角的余弦值 第2页共5页 cos需慕补鲁 15分 18.(1)所有样本点为 (1,11,2)1,31,41,51,6) (2,12,22,32,42,52,6 (3,13,23,33,4,3,53,6 (4,14,2)4,34,4)4,54,6 (5,15,25,35,45,5(5,6 (6,16,2(6,3(6,46,5,(6,6） 3分 P4=石PM®)=号KAB)=P4-PB 36-12 ∴.事件A与事件B相互独立。 6分 (2)由题意：游戏①通关的概率为p, 7分 游戏②的实验样本空间2={m,nm,n∈{1,2,3,4,5,6}且m<n},满足通关条件的样本点有 (1,2)(1,4)(1,6)(2,3)(2,5)(3,4)(3,6)(4,5)(5,6)共9个 则游戏②通关的概率为p是 8分 设游戏③通关的概率为p 若把游戏①放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为p叶×甘×p+D…10分 若把游戏②放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为×+pp+D…12分 1.3 若把游戏③放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为*p叶p×pp 14分 因为只有把游戏③安排在中间位置时他拿走大奖的概率最大 所以p>+p且p+p,解得p 15分 当m=6时，满足两球编号之和大于m的样本点有(1,6)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6) (5,6) 此时p=吕一不符合 当m=5时，满足两球编号之和大于m的样本点有(1,5)(1,6)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6) (4,5)(4,6)(5,6) 此时p号符合题意 综上所述，m的最大值为5 17分 第3页共5页 I9①代入得度=++7-网到R-5R 3分 (2)①证明：由余弦定理可得： AC2=R2+R2-2R2cos0 BC2 R2+R2-2R2 cos0,AC2+BC2=AB2, AB2=R2+R2-2R2 cos0 所以4R2-2R(cos0+cos0,)=2R2-2R2cos0, 2R2-2R2(cos0 +cos)=-2R2cos, 消去2R2,则有：1-(cos0+cos02)=-cos0 即cos0+cos0,-cos0=1 又cos20=2c0s20-1 所以co82 +cos22-C0823 2 .7分 ②由题意可知AD是球的直径，则有AB⊥BD,AC⊥CD, 又AC⊥BC,BCnCD=C, 所以AC⊥平面BCD, 又因为BDC平面BCD, 所以AC⊥BD, 又因为AC∩AB=A, 所以BD⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以BD⊥BC, 以C为坐标原点，以CB,CA所在直线为x,y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标 系： D 以C为原点，A0.a,0.B0,0o号为则D6,02功 第4页共5页 直线DA,DC与平面BC所成的角分别为石，： 2h 1 即12h2=a2+b2 Va2+b2+4h2 2 2h V -,即4h2=b2 vb2+4h2 2 解得b=2h,a=2√2h,取h=1 C(0.0.0),A(0,2W2,0),B(2,0,0),O1,√2,1)，D(2,0,2) S(0,V2,0),T1,0,0),E(2,0,2t) 平面OBC的法向量为n=(0,l,-√2) 平面EST的法向量为n,=(-2√2t,-2t,√2) 则cos0= 2t+2 √2 V5V12t2+2 化简得：14t2-8t-1≤0 4+V30 ∴.te0, …17分 L 14 第5页共5页高二数学学科素养测评 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的, 1.已知x点则: A.5 B.号 C.5 D.9 2.一组数据x1X2,X的方差是2.5,则数据2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的方差是 A.4 B.5 C.9 D.10 3.已知直线1经过两点A(3,3),B(0,2),则直线I的倾斜角为 A.君 B. c.音 D. 4.在 ABC中,ACV3,BC-2,C-?则AB= A.1 B.2 C.v3 D.√7-2√5 5.某圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为 A. B.V2t C.(W2+1)元 D.2 6,一个不透明箱子中装有5支签,其中有两支中奖签,某同学随机从中抽取两支签,至少有一 支中奖的概率是 A月 B.} c D. 7.空间中从P点出发的三条射线PA,PB,PC满足:∠APB=∠APC=60 ,∠CPB=90 ,则直 线AP与平面PBC所成角为 A. B. c.8 D.无法确定 8.一个半圆柱容器OO'中盛有水,半圆柱的高AA= ,底面半径OA=1,若侧面ABB'A'水平放 置时(如图),水面怡好没过线段CD,此时∠C0D=名 那么当底面ABCD水平放置时,水面高为 A.+ B.+月 C.+1 D. 第】页共4页 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分: 9.湖北省某校高二年级组织了一次开学考试,随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所 示的频率分布直方图下列说法正确的是 4频岸/组距 A.a=0.005 6a B.估计该年级成绩的众数为70 2a C.估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 05060708090100成绩/分 10.在 ABC中,BC=l,AC-5,cosC-号O是 ABC的外接圆圆心,N是AB边上一点,且 CN是角C的角平分线,下列说法正确的是 A.c=V5 B.AB边上的中线CM=2V2 C.CN- D.BO-BC=1 11.己知平行六面体ABCD-A1B1C1D1如图所示,其中AB=BC=2,AA1=3, ∠BAD=∠AIAD=∠BAA=60',线段AC,BD交于点O,点E是线 段A1A上靠近A,的三等分点,则下列说法正确的是 A.EO=号AA+5AB+A西 B.EC-BD-0 C.ECIAA=9 D.cos<EO,DC-h回 21 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.某高中为了解学生视力情况,按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照2:4:4 的比例随机抽取部分学生进行调查,结果显示高一年级学生平均视力为4.6,高二年级学生 平均视力为4.5,高三年级学生平均视力为42,则可估计该校全体学生的平均视力为」 13.已知一个正三棱柱存在内切球,且其外接球的体积为0元,则该三核柱体积为 14.己知空间向量a-(7,1,5),A(1,-1,1),B(2,0,1),C(1,-1,2)三个点均在平面y内,则向在平面y 内的投影向量坐标为 第2页共4页 四、解答题:本题共5小愿,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知经过A(0,2),B(m,1)两点的直线的方向向量为(1,-) (1)求m的值: (2)点C为x正半轴上一点,若直线AC的倾斜角和直线BC的倾斜角互补,求点C坐标, 16.(15分)已知a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+y3 asinC-b-c-0. (1)求A: (2)若a-2,且sinBsinC各求 ABC的面积以及 ABC内切圆的半径. 17.(15分)如图,平面ABD⊥平面BCD,BA=BD=2,且∠ABD=120 , BCD为正三角形, 点E是线段AD上靠近点D的四等分点. (1)证明:AD⊥CE: (2)求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值. 18.(17分)一个不透明的箱子中装有6个相同的球,分别编号1,2,3,4,5,6. (1)从中有放回地随机抽2次球,每次抽1个,记“第1次抽出的球的编号为3”为事件A,“两次 抽出的球的编号之和为奇数”为事件B,请列出所有样本点,并通过计算判断事件A与事件 B是否相互独立: (2)现某商场为顾客准备了如下抽奖游戏,游戏①:从上面的箱子中随机抽一个球,若抽到球的 编号为3或6,则该轮游戏通关:游戏②:从上面的箱子中随机一次性抽两球,若两球编号 之和为奇数,则该轮游戏通关:游戏③:从上面的箱子中随机一次性抽两球,若两球编号之 和大于m(m为整数且3sm≤11)则该轮游戏通关.要求顾客三个游戏各玩一次,各轮游戏 是否通关互不影响,且顾客可自行安排游戏的先后顺序,顾客至少连续两次通关游戏方能拿 走超市的大奖,现已知顾客只有把游戏③安排在中间位置时他金走大奖的概率最大,求m的 最大值 第3页共4页 鷪 19.(17分)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科,如图一,球0的半径为R, H A,B,C为球面上三点,设O,表示以O为圆心,且过B,C的圆,劣弧BC的弧长记为a,同理, 圆Ob,O的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c,曲面ABC(阴彩部分)叫做球面三角形,若设二 面角C-OA-B,A-OB-C,B-OC-A的大小分别为a,B,Y,那么球面三角形的面积公式为 种 S球面 ABc=(a++1-)R2, A 图一 图二 (1)球0的半径为R,球面上三点A,B,C构成球面三角形,已知三个二面角分别为=5,B=: ,YF艺求该球面三角形ABC的面积: (2)若将图一中四面体OABC截出得到图二,若平面三角形ABC为直角三角形,AC⊥BC,设 ∠AOC=01,∠B0C=0,∠AOB=0. ①求i证:cos2号+cog2竖-c0s39=1: ②延长AO与球O交于点D,连接BD,CD,若直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为 6 子,S为AC中点,T为BC中点,E在线段BD上,器-1,∈0以.设平面O8C与平面 EST的夹角为0,若s孕,求t的范围. 第4页共4页