四川省成都市树德中学2026-2027学年高三上学期数学周考试题（三）

树德中学高2024级数学周考试题（三) 命题人：邓连康 审题人：张世军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知复数z满足iz=1-2i,则d=() A.1 B.√5 C.2 D.5 2.已知双曲线C:千片-1(a>0,b>0)的一条布近线方程为y:-r,则双雷线C的高心率为 () A.5 B.2 C.3 D.4 3.已知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为() A.5 B.6 C.√2+3 D.2W2+3 4.已知向量a=(（1,2),b=(-2,1).若(a+b)1(a+b),则1=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.若函数f(1+x)在其定义域[1,2]上单调递增，则函数f(1-x)() A.在其定义域[-2，-1]上单调递增 B.在其定义域-2，-1上单调递减 C.在其定义域-1,0上单调递增 D.在其定义域-1,0上单调递减 6.甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有() A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 7已知sn写+a有则sn经a-sn2a+月=《） 6 A. 4 B.4 D.-10 8.已知正三棱台ABC-AB,C,AB=3AB,=9,侧棱AA=4,则正三棱台的体积为() A.13V5 B.13√5 c.39V3 D.39W3 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.设函数f(x)=2sin 则下列结论正确的是() A.f(x)的值域为[-2,2] 对称 B.f(x)的图象关于直线x=亚 C.f()的最小正周期为2” D.-石是f(x)的一个零点 12 10.下列说法中正确的是() A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6,5,7,9,6,8,9,9,7,5， 这组数据的第70百分位数为8 B.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则D(X)=16 C.若随机变量X~N(,o2),且PX>4)=PX<-2)=p,则P-2≤X≤)=2p D.对一组样本数据(x,y),(2,y2),,(xn,yn)进行分析，由此得到的线性回归方程为：)=bx+à， 至少有一个数据点在回归直线上 11.已知圆C:(x-e)2+(y-a)2=2(a∈R),则下列说法正确的有() A.圆心C在曲线y=nx(x>O)上 B.存在两个不同的实数a,使圆C过点(1,1) C.存在四个不同的实数a,使圆C与直线x-y-3=0相切 D.存在两个不同的实数a,满足直线x-3y=0平分圆C的面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知(1+3x)”的展开式共有9项，则该展开式中含x2的项的系数为 13.已知函数y=f(x)满足f(x)+f(x+1)+f(x+2)=∫(x)f(x+1)f(x+2)对任意实数x都成立，若 f(1)=2,f(2)=3,则f(13)-f(14)= 14.已知集合M={0,1,2,3,4,5,6,7},N={0,1,2,3,4,5},现随机从M和N中各抽取3个不同的数分别组 成最大的三位数，n,则事件“m>n”的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(13分).如图，四棱锥P-ABCD中，BCI∥AD,BC⊥CD, D PA=PD=AD=2,BC=1,AB=2. (I)(5分)求证：PB⊥AD: (2)(8分)若PB=2,求PD与面PAB所成角的正弦值. B 16(15分).己知设备M可在两种电压(220W和380V下生产某种零件，现有A、B两个工厂，A工厂 设备M用220V电压生产一小时得450个零件，B工厂设备M用380V电压生产一小时得550个零件·为 了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取个零件作为样本，测量其尺寸后，按 照以下区间分为九组：[158,160)；[160,162)；[162,164)；[164,166)：[166,168)；[168,170)；[170,172)： [172,174)；[174,176).得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于162的有6个. 频率 组距 0.30 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01 158160162164166168170172174176 尺 优等品 非优等品 总计 A 30 15 B 总计 (1)(6分)求n的值，如果把尺寸在[164,170)内作为优等品的标准，对抽取的n个零件，完成2×2列联 表·据此资料，你是否认为有99.5%把握认为电压与零件优等品率有关？ (2)(4分)从B厂设备M的生产流水线上随意抽取5个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等 品个数Y的数学期望E(Y): (3)(5分)从A厂抽取的样本中随意抽取2个零件，计算其中非优等品个数Z的分布列和数学期望E(Z), n(ad-be)' 参考公式及临界值表：X= 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥xa) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17(15分).正项数列{a}的前n项和Sn,且Sn=2(NS+√S,+…+VSn)-n. (1)(7分)证明：数列{VS}是等差数列： (2)(8分)求数列，a,2 的前n项和Tn. antan2 18(17分).已知f(x)=x2-x+asinx,aeR. )(3分)求证：f()图象关于直线x=对称： (2)(8分)当x∈(0，π)时，∫(x)存在最大值，求实数a的取值范围： (3)(6分)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的值. 1917分.已知耀题C:手+茶=a>b>0经过点4(-20及店P》 (1)(3分)求C的方程： (2)若点T在线段AP(不含端点)上运动，垂直于x轴的直线MT交C于点M(x,y)(在x轴上方)，点 N满足MT=TN,设直线AWN与C的另一个交点为R(x2,y2). (i)(6分)证明：直线MR过定点： (i)(8分)求四边形ARPM面积的最大值. 树德中学高2024级数学周考试题（三）： 参考答案(1) 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D B B D ACD BC ABD 1.D【详解】由z=1-2i得，=1-21_0-20i =-2-i,所以以=√4+1=√5 -1 之B【详解】因为双面线C的一条渐近线方程为y=5x,所以名5， a2+b2 b a 3.D【详解】已知a>0,b>0,ab-a-2b=0,整理，得a(b-1)=2b, 2b 则b-1>0,b>1,a= b-1 则a+b=2 +b=2+2 b- 2+2+b2b0+3220-+32+3 当且仅当6乙卡b-1,即=1+2时，等号成立放a+b的最小值为22+3 4.c【详解】因为a=(1,2),b=(-2,1),所以a上5，lb√5，a.b=-2+2=0.因为(a+b)1(a+b), 所以a+b)(a+b)=0,所以+52+(1+2)ab=0,所以5+5=0，解得1=1.故选：C 5.B【详解】因为函数f(1+x)的定义域为1≤x≤2，所以2≤1+x≤3，即函数f(x)的定义域为[2,3]： 对于函数f(1-x),由2≤1-x≤3可得-2≤x≤-1，即函数f(1-x)的定义域为[-2，-1]，故CD错误： 对于函数∫(1+x)在[1,2]上单调递增，由于其内层函数u=1+x为单调增函数，所以可得f(x)在[2,3]上 单调递增：对于函数∫(1-x),由于其内层函数v=1-x为单调减函数，所以可得f(1-x)在[-2，-]上单 调递减故选：B 6.B【详解】若乙排在第一位，则可知不符合题意：若乙排在第二位，则甲在乙前，甲乙必相邻，因此 不符合题意；若乙排在第三位，则甲在乙前，甲乙不相邻，甲应在第一位，此时有A=6种排列方法： 若乙排在第四位，同理，甲应在第一位或第二位，此时有2×A=12种排列方法；乙排在第五位，同理， 甲应在第一位、第二位或第三位，此时有3×A=18种排列方法；故共有6+12+18=36种排列方法. 7.D【详解】因为sm+asi2a+=sn+a+利+s2a+到 6 =-sin(@+ ,17 所以sn誓+a)+s2a+爱=-了-9 6 399 8.C【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥S-ABC,作SO⊥平面ABC分 A 别交平面ABC、平面ABC,于O、O,作AN⊥平面ABC交AO于N,则0、 B O1分别为△ABC、△ABC的中心. 因为AB=3AB=9，所以A0=3A0,=35，A0,=V5,所以 AW=A0-A0,=2N5, 设该正三棱台的高为h,因为AA=4,所以AN=h=√AA-AW2=2, 3 %-西+s-55- k2=39 2,放选c 9AoD【详解】因为时xeR-1ssm3x+牙到}s1,故八)的值城为22小即A正瑞 2sn=0:士2，放x-牙不是/()的对称镇，教B错误： f(x)的最小正周期为T=2 ,故C正确： 3 2sin0=0,故D正确. 10.BC【详解】对于A,将10次射击成绩从小到大排列为：5,5,6,6,7,7,8,9,9,9.因为10×70%=7， 这组数据的第70百分位数为)=8.5，故A错误：对于B,由X-B(100,Pp),则E(X)=100p= 14 即P=写则D(X)=100p1-P）=100×写×若16，故B正确：对于C,因为PX>=PX<-2)=P, 则丛=241，所以P(-2sX≤)，枚c正确： 2 对于D,数据可能都不在回归直线上，故D错误故选：BC x=e" l1.ABD【详解】因为圆C:c-e)2+y-a)2=2(a∈R),所以圆心C为(e°，a),满足 ly=a 所以x=e'即y=ln(x>O),选项A正确： 若圆C:(x-e)2+0y-a)2=2(aeR)过点(1,1)，则(1-e)2+(1-a)2=2(a∈R), 设函数f(a)=(1-e)2+(1-a)2,其函数图象连续不断，且f(-1)=(1-e)2+(-1-1)2>2, f(0)=(1-e)2+(0-1)2=1<2,f(①=(1-e)2+(1-1)2>2, 根据零点存在性定理可知方程∫()=2恰有两个实数根，选项B正确： 若圆C与直线x-y-3=0相切，则圆心(e,a)到直线x-y-3=0的距离等于半径， e"-a-3 即 +(-1)2 万，化简得k-a-3斗=2，即e-a=5或者e-a=l, 令h(a)=e-a,则h'(a)=e-l,令h(a)=0得a=0 所以h(a)在(-∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增， 所以h(a)mm=h(0)=l,所以方程e“-a=1有唯一解，方程e-a=5有两个解， 所以存在三个不同的实数a,使圆C与直线x-y-3=0相切，选项C错误； 直线x-3y=0平分圆C的面积，等价于直线过圆心，即e“-3a=0, 令函数m(a)=e“-3a,则m(a)=e“-3,令m(a)=0得a=ln3, 所以m(a)在(-o,ln3)单调递减，在(n3,+∞)单调递增， 且m(a)mm=m(ln3)=3-3n3<0,m(0)=1>0,m(3)=e3-9>0 m(a)函数图象连续，由零点存在性定理，m(a)共有两个零点， 所以存在两个不同的实数a,满足直线x-3y=0平分圆C的面积，所以选项D正确 12.252【详解】因为(1+3x)”的展开式共有9项，所以n=8,则展开式的通项公式为T,+1=C8(3x)=Cg3'x, 令r=2,得9C=252,所以该展开式中含x的项的系数为252，故答案为：252 13.-1【详解】已知f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x)f(x+1)f(x+2), 所以f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=f(x+1)f(x+2)f(x+3), 两式相减可得：f(x+3)-f(x)=(f(x+3)-f(x)f(x+2f(x+), 化简可得：(f(x+3)-f(x)(1-f(x+1)f(x+2)=0, 若f(x+1)∫(x+2)=1,则由原式可得f(x+1)+∫(x+2)=0,该方程组无实数解，故∫(x+2f(x+)≠0， 则f(x+3)-f(x)=0,即函数周期为T=3,因此：f(13)-f(14)=()-f(2)=2-3=-1. 14.1 )设事件*m>刀"为事件4，三位数心，n的 满足m>n有三种情况：若X=7,此时m>n恒成立，则P(X=7)= 若X=6,此时m>n恒成立，则P(X=6)= -5 C56 若X5,则P(K≤5)1-PX=0P(X=刃-8且Pm=川Xs)忌= CC20,由对称性可知 Pm>aX5)PaX列.可得Pa>小X≤)-动碧 所以P(A)=P(X=7)+P(X=6)+P(X≤5)P(m>mlX≤5)=21+15+20x19_13 5656564016 15.【详解】(1)证明：取AD中点O,连接P0,B0,由PA=AD=DP=2可知：PO=√，PO⊥AD, 在底面ABCD中，由题意可知，BC∥OD,BC=OD,BC⊥CD,所以四边形BCDO是矩形，BO⊥AD, 又因为PO∩BO=O,PO,BOC平面POB,所以AD⊥平面POB,又PBc平面POB, 所以PBL AD5分 (2)由(1)可知AD⊥B0,又A0=1,AB=V2,所以OB=1, 若PB=2,由PO=√3，BO=1知PO2+BO2=PB2,即PO⊥BO,又PO⊥AD,BO⊥AD 法一：以O为原点，OA,OB,OP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示： 易知：0(0,0,0)，A(1,0,0),B(0,1,0)D(-1,0,0),P0,0,V3): 则有DPp=(1,0,3),AB=(-1,10),AP=（-1,0V3) 设平面PAB的法向量为i=(x,y,z),则 iaP=-+5=0令=5，则y=5,2=1, i.AB=-x+y=0 则n=（5,V5,).设PD与面PAB所成角为&，则 i.DP 25V21 sin a= 277 …13分 DP 16.【详解】(1)由已知尺寸小于162的区间为158,160)和160,162)，组距为2， 对应频率分别为0.01x2和0.02×2，因此尺寸小于162的频率为0.06， 已知该部分共6个零件，故n=6 =100, 0.06 由分层抽样规则，A、B厂每小时生产零件数为450和550， 因此抽样比例为450：550=9：11，总样本100个，得A厂抽取45个，B厂抽取55个， 优等品区间164,170)的频率为(0.04+0.30+0.06)×2=0.8， 即总优等品数为100×0.8=80，总非优等品数为20， 结合己知A厂优等品30、非优等品15，所以B厂优等品50、非优等品5， 补全列联表如下： 优等品 非优等品 总计 A 30 15 45 小 50 5 55 总计 80 20 100 零假设为H。:电压与零件优等品率之间无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到z2=100×(30x5-15x502_100x(-60 45×55×80×20 3960000 -≈9.091>7.879=x0.05 根据小概率值=0.0O5的独立性检验，可以推断H。不成立，即可以认为电压与零件优等品率有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.005；.6分 (2)B厂样本共55个，其中优等品50个，因此抽样得到的优等品频率为5 5010 将该频率作为流水线任意抽取1个零件为优等品的概率， 则随意抽取5个零件，优等品个数Y服从二项分布Y~B 10 5 因此数学期望E(Y)=5×10_50 1l1l0分 (3)A厂样本共45个，其中非优等品15个，从A厂样本中任取2个， 非优等品个数Z服从超几何分布，Z的可能取值为0,1,2， P(Z=0)= C-435-2 ,P(z=)= CC5-450-5 P(Z=2)= C 1057 99066 990=11' 990-66 因此Z的分布列为： Z 0 1 2 29 5 个 P 66 11 66 数学期望： E(Z)=0x29+1x5+2xZ=2 66 11 663 15分 树德中学高2024级数学周考试题（三）参考答案（2) 17【详解】(1)证明：当n=1时，S,=2VS-1,解得a=S,=1, 当n≥2时，S=2(VS+VS,++√S)-m-),与S,=2(V5+S++S)-n作差可得： S.-S=25-1,数列{a}是正项数列，s>S=1,()-5=25n-1,即S1=(5n-)°， ,-1=√Sn,即V5n-√S1=1,所以数列{⑤}是等差数列.7分 (2)由(1)知数列{VS}是以VS=1为首项，1为公差的等差数列， 所以√Sn=√S,+n-1=n,即S。=n2,当n≥2时，an=Sn-Sn1=2n-1,a=1,an=2n-1(neN), 2n-1 2(2n+1)-(2n+3).2”= 2+ 2” m+1nt2 (2n+1)(2n+3) 2” (2n+1)(2n+3) 2n+32n+1' 2” 2m- 2n+1 2" 2+1 2n+12n-1 2n+32n+1 2n+33 .15 分 18.【详解】(1)证明：，f(π-x)=(π-x)2-π（π-x)+asin(π-x)=x2-r+asinx=f(x) f)关于直线x=亚对称 ，3分 (2②)由(4)知f(关于直线x=对称，故仅考虑xe〔0到 f"(x)=2x-n+acosx,g(x)=f"(x),8'(x)=2-asinx. (①当a≤2时，g'()≥0恒成立.8(，)=∫()在0,2 单调递增， 此时，)三f月-0（在0，号 单调递减。 所以f)<f0=0,此时f0在0习 不存在最大值， i当a>2时，3e0月使sin- a 当x0)时，8()>0,8()=f)单调选增，当xe（引时。8()<0,8(=f(单调递 减， 又因为8o)=r(0=-+a，8-f-0 ，所以 a2元 8)-f()>f囹=0 g(x)-f(x) a-π ①当a2π时，g(x)=∫'(x)的大致图象如下图所示， 可知x=0时，8)=f)20,f在0单谓选增， 多 此时行在最大值f孕于。，符合题政： ②当2<a<π时，x2∈(0，x)使g(x)=∫'(x)=0,g(x)=f'(x)的大致图象如下图所示， 可知x∈(0，)时，g(x)=∫'(x)<0,f(x)在(0x2)单调递减， 2<a<π 可知x6时，8)∫)小0，)在6，单渊选增， g(x)=f'(x) 当f)f0时，f(在（写 存在最大值，即- -+a≥0，即 π2 ≤a<π 4 -元 综上a之花时f()有最大值-正+a.l1分 4 4 (3)由(2)知：当a<π时，不成立，a=兀时，f'(x)=2x-元+cosx,g'(x)=2-πsix,g(0)=-π+a≥0， 3斯、七e0,使=n=是且0号 <x2<兀， 8()在(Q)单调递增，(，)单润逆减，(6)单调速增，80)-0,8 =0,8()=0,8(x)>0, 8(s)k0,f在0到单调递增， [行单调递减，心上0在0成立， x<0时，x<sinx,f(x)=x2-r+inx=x2-π(x-sinr)>0成立， x>π时，元-x<0,f(x)=f(π-x)>0成立，所以a=π，对x∈R时，f()≥0恒成立. 当a时，、60用传子月0受怎<双 g(x)在(0，x)单调递增，（x,x)单调递减，(x,兀)单调递增，g(0)=-π+a>0,g()=π-a<0, g)>8)=0,8-引-2<0，或（受0(）在（化0）单渊造增， x∈(x,0)时，f()<0不成立，综上a=兀，对xeR时，f(x)≥0恒成立.17分 a a2=4 19.【详解】(1)由题意得 解得 =13分 1 9 4621 B=3所以+2 43 3 0 (②)(iDkP= 1, 1-(-2)2 则直线AP的方程：y=x+2),即y-2+1, 因为M).近-孤，所以75+ ,N(x,x-y+2), y=kx+b 设M的直线方程为y=+b,联立父+y-得(3+4)+8r+46-12=0, 43 A-8-46+44-1回48-+3动0，+530@.6=4是 46-12②， 直线4极的方程为y十2+2).将点离-%+2)代入得-方+2产2+2列， 即[(1-k)x-b+2](x2+2)=(x2+b)(x+2), 即(1-k)xx2+(2-2k)x+(2-b)x3-2b+4=kxx2+2kx2+bx+2b, (1-2k)xx+(2-2k-b)(x+x)-4b+4=0, 将02代入得0-2k)46-12)+(2-2k-b)(-8) 3+4k2 4b+4=0: 整理得4b2-12-8b2+24-16b+162b+8b2-12b+12-16k2b+16k2=0, 462+24k-16b-12b+16k2=0,(2k-b)(2k-b+3)=0,解得b=2k或b=2k+3, 当b=2k时，直线MR:y=kx+2k=k(x+2),恒过(-2,0)，不成立； 当b=2k+3时，直线MR:y=kx+2k+3=k(x+2)+3,恒过(-2,3)， 所以直线MR恒过定点(-2,3).… 9分 D-2-广0--S.股点MR到直线P的距离分别 为d,d2, 则 d+4=-2y+2+s-2y+2到 5 5 因为M,R位于直线AP的两侧，所以d+d,=齿-2y+2-+2y-2_L-2s-, 5 5 2 -=+x》-4x3= -8kb -4×4b3-12 4V2.V4k2-b2+3 W3+4k2 3+4k2 3+4k2 由(iD)得b=2k+3,则d+d,= 8151-2k-2k-7 5 3+4k2 令2k-1-1>0,则d+4,=8.+2)85 t42 5+2r2+451+2+月 4 令m=1+2≥2反，则d+4,-8⑤ 产.号 5m2-2 所以了网在2反，+)上单调避藏，所以当m=25,1=万。长=时.成+4取得最大宜。为 815, 22830 5 (2W-25,此时5wwx358V5o-26, 2215 所以四边形ARPM面积的最大值为2√617分