四川省成都市树德中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题 考试时间：120分钟试卷满分：150分 第I卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.命题“xeR,cosx≥1-士的否定为() 2 A.VxER,Cox<1_ 2 B.VxER,cosx51- 2 C.eR,cosx< D.3x∈R,cosx21- x2 y 2 2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当0<x≤1时，f(x)=log221x,则f 2021 A.1 B.-1 D.2021 2021 3.已知数列{an}为正项等比数列，447=4，则10g241+log242+…+log241的值为（) A.10 B.16 C.15 D.11 4.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线与直线x+y=l垂直，则实数a的值为() c 1 A.2 B.-2 D.2 5.求值： 1-5tan1g=（) 1-cos 20' A.1 B.√2 C.5 D.2W2 6.已知函数f(x)=(x2-4x)(e-2-e2-x)+x+1在[-l,5的值域为[m,M],则m+M=() A.2 B.4 c.6 D.8 7已知F是双垂线C:苔是=a>0b>0的右焦点，直线y=与及曲线C突于M,N丙点 其中M在第-象限，IMF卡3引MF,且∠MFN=行，则双曲线C的离心率为() A. 3 B. c.√2 D.5 2 &蜘a= =logb,a°=log1c,则实数ab,c的大小关系为（) 2 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 2026-9 高三 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列命题中，其中正确的命题是（) 则E(X)=1 B已知P(到)=子P()=君则P(4=月 C.喃机变量X-N2,32）,若X=-2,则E(Yy)=12,D(Y)=81 D.以模型y=(c-1)e2拟合一组数据时，为了求回归方程，设z=my,将其变换后得到线性方 程z÷x+2,则c,k的值分别是e2-1和02. 2 10.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则() A.{a}是公差为2的等差数列 B.a =2n-4 黄侣 是等差数列 D.a+a2+…+laol=67 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线y=V3(x-1)交C于A,B两点，点 A在第一象限，过点A,B作C的准线I的垂线，垂足分别为A,B,则() A.l的方程为x=-1 B.△AFA为正三角形 C.FA·FB,<0 D.△4BF的面积为4V5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题.甲同学每道 题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响.在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对 的概率为一 x2 13.已知函数f(x)=(2-a2)nx+。-ac既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为 14.已知A(2,0),00,0),且O丽=0C=2,则BAC的最小值是 月9 第1页共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，M是BC的中点. (1)证明：AM⊥BC: (2)若AB=2,直线AC与平面BCCB所成角为元，求点M到平面ABC的距离. 4 C M 16.(本题满分15分)已知在△ABC中，sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2C,其中内角A,B,C的对 边分别为a,b,c. (1)求角A的大小： (2)若D为AC的中点，且BD=3,求bc的最大值. 17.（本题满分15分)某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动本次竞 赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所 有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组： 40,50),[50,60,60,70),,[90,100,，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数： (2)从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若 从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在[90,100]的人数为X,求X的分布列和均值： (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50 名学生的分数相互独立记分数为优秀的人数为Y,当P(Y=k)最大时，求k的值. 频率组距 0.030 0.020 0.015 0.010 '405060708090100得分 2026-9 高三数月9 S扫描全 3亿人都在用的扫 18.(本题满分17分)已知椭圆C:乏+ +岁=1(a>b>0)的离心率为7点4到在c上 (1)求椭圆C的方程： (2)过点T(4,O)的直线1交椭圆C于P,2两点（异于点A),过点P作x轴的垂线与直线A2交于点M, 设直线AP,A2的斜率分别为k,k.证明： M ()k+k为定值： (i)直线AT过线段PM的中点. 19.（本题满分17分)已知函数∫)=c x (1)证明：当x<0时，f(x)<1:当x>0时，f(x)>1. (2)正项数列{x}满足：e=f(x),:=1,证明： (i)数列{x}递减： m222 月9 第2页共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 树德中学高2024级高三上学期9月阶段性测试数学试题参考答案 1.C2A3.D4.A5.D6.C7.B8.D9.ACI0.ABC1.ABD【详解】抛物线C:y=2pr的焦点F(号，0)在直 线y=V5(x-1)上，则号=1，解得P=2,对于A,抛物线C:y=4x的准 =5x-,解得 x=3 线1的方程为x=-1,A正确：对于B,由 y2=4x 少、 25'48,2,4(-,2.14F4hFH41,△14为 正三角形，B正确：对于C,由达项B有8(4-2，及=(22两=(2-2. 网-丽=0，C错误：对于D,点4到线B的距离dF1s血60=25，BF卡号 4m=引F1d=5,D正确 3 2行，1B.20<a<反142解：由题知，么B,C三点共圆，图心为坐标原点，半径为2， 5 所以，B-Ac=Er4Ccos(AB,AC),设AB=2x,x∈[0,2]， 数形结合可得AC在AB上的投影ACcos(AB,AC)E[x-2,x+2], 所以·2x(x-2)≤AB·AC≤2x(x+2) 即 2(x-1)2-2≤AB·AC≤2(x+1)2-2，故当x=1,AB=2时 2(x-1)2-2有最小值-2，此时-2≤AB.AC≤6.当x=2时， AB到=4时2(x+1)2-2有最大值16，所以，-2≤AB.AC≤16综上， 丽.AC的范围是[-2,1可，最小值是-2故答案为：-2 15.解(1)在正三棱柱ABC-AB,C中，因为△ABC是正三角形，M是BC的中点， 所以AM⊥BC.又因为CC⊥平面ABC,AMC平面ABC,所以AM⊥CC·因为 BCnCC=C,BC,CCc平面BCCB,所以AM⊥平面BCCB.因为BCc平面BCCB, 所以AM⊥BC· (2)方法一：在正△ABC中，因为AB=2,所以CM=1,M=√5.连接CM,因为AM⊥平 面BCCB,所以∠ACM是直线AC与平面BCCB的所成角，所以∠ACM=45°，所以 2026-9高三数月9 CS扫描全能王 壁3亿人都在用的扫描AP印 CM=3. 在正三棱柱ABC-AB,C中，CM=V5,CM=1,所以CC=V反，CA=CB=V6. 在△ABC中，由余弦定理AB2=CAP+CB2-2×GAxCB×os∠ACB,得coS∠ACB=名，所 in2AC8=5,所以△BC的面积Sc×6x5x5=5.设点M到平面BC年 3 3 距离是d,则x5xd=x2xx2x1x5,解得d=50 所以点M到平面ABC的距离 3 2 10 是30 10 方法二：设AA=h,过M作N⊥BC交BC,于点N,由(1)AM⊥平面BCCB,Nc平 面BCCB,所以AM⊥N.又因为AM⊥BC,所以以M为坐标 原点，{M,M远，M不}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标 系.M(0,0,0),AV5,0,0,B(01,0),设G=(0,-1,h),因为AM1 B 平面BCCB,所以MA=（V5,0,0)是平面BCCB的-个法向量.因 为AC=（-V5,-1,h),所以 -3 所以 5-5'+(+ 2 h=2.因为丽=（-51,0，BC=(0,-2,V2),设平面ABC的法向量万=(x,yz),因为 gCw。919au 是平面ABC的 3 M V30 一个法向量.因为M=(（-5,0,0,所以°同 10,所以点M到平 +1+2 3 面ABG的距离是V30 10 16.解(1)由正弦定理a 、b ,=C=2R(R为△ABC外接圆半径)， sinA sinB sinC 将sinA= sinB=- 2R 2p,sinC=C代入sin2A+sinBsinC=sin2B+sin2℃ 2R 数月9 第3页共2页 CS扫描全能王 避3亿人都在用的扫描App 可得 +bcb2,e\ 2R^2R(2R+ 化简后得到a2+bc=b2+c2,即b2+c2-a2=bc.根 2R 2R b2+c2-a2 据余弦定理c0sA= 把b+62-a2=bc代入可得co94三)沈=)：因0<A<元，所 2bc 以4等 (2)在△ABD中，根据余弦定理BD2=AB2+AD2-24AB·ADcosA,因为D为AC中点，设 B=c,4D3P,E知D3,AE,则9=G2+2e:9cs,即9=c2+女6 。根据基 2 4 3 42 本不等式02+ 2 -≥2 2 ebc(当且仅当c=名 ·时取等号)，所以 9=c2+bC2c6c06C即c58，当且仅当c三名时取等号.将c子 42 22 2 代入 9c+可9司 B2 bb +422 解得b=6,c=3,满足条件，所以bc的最大值为18. 17.解(1)该样本中学生分数为优秀的频率p=(0.010+0.015)×10=0.25, 故优秀的人数为100×0.25=25人； (2)从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在[90,100]的人数为 0.010 ×11=2若从座谈名单中随机抽取3人，则X 0.015+0.030+0.010 则X的分布列为： 0 1 2 2 24 3 55 55 55 所以E(X)=0 +1x2 28 3 6 +2×5 5 (3)由题意知，Y~B(50,0.25),则P(Y=)=C0(0.25)(1-0.25)0-*,k∈0,12，…，50. P亿=k+1_C025"(075)9_50-大，当50-k>1,解得k≤1：75. P(Y=k) c(0.25(0.75)3k+'当3k+0 因为keN,所以k≤11时，P(Y=k)<P(Y=k+l), 当k≥12时，P(Y=k)>P(Y=k+1),所以当k=12时，P(Y=k)最大 2026-9 尚三数月9 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp a=2 18.解。（1)由题可知： a2=b2+c2 ,解得 所以椭圆C的方程为兰+上=1. 3 3)2 b=V5' 2 =1 b2 2)①0当直线的斜率为0时，不纺设P收0，(2,0，所以名+名=己+子2 3 3 ,2=-1为定值 ②当直线1的斜率不为0时，设直线1：x=四y+4(m≠0)，P(x1,y1),Q(x2,y2), [x=my+4 联立直线1与椭圆C的方程{二+二=1：消去x整理得(3m+4到+24网y+36=0, 43 -24m 圆△>0，+A3m+36所以m=号4+》 所以+ 1-1x2-1 (名-1(32-1) 24+-)0x+%)-9号0+y)-9 =-1综上， m2y+3m(+y2)+9 2m(y+2)+9 3 k+k2=-1为定值. xw=为 (I)设线段PM的中点为N(xw,yw),M(,w),易得 w=4+4’可得直线A2的方程为 2 y=4(✉-+子则w=k名-+子，直线r的方程为y=x-+子，则%=k(名-+子， 所以=空=46-+2+66-+引-+6-+2 由④知6=山，所以⅓=2-)+2 2 2w+2, 又直线AT的方程为y=- +2，所以点N()在直线AT上，即直线4r过线段PM的中点 19.解：(1)设g(x)=e-x-1(x≠0)，则g'(x)=e-1,令g'()=e-1>0得x>0,令 g'(x)=e-1<0得x<0,所以g(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，则 数月9第4页共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp g)>g0)=0,即e-x-1>0,则当x<0时，c-<1即f(x)<1:x>0时，心>1即 f(x)>1. (2)(i)因为数列{xn}各项为正，要证数列{x,}递减，只需证明0<x<xn,即证e<e, 又6=f)--,所以即证<e,令1=5>0，不等式化为e化-1)+1>0，设 g0)=e(1-1)+l,t>0,则g'()=e't>0,恒成立，故g()=e(-1)+1在(0，+oo上单调递 增，则g)>g(0)=0恒成立，即e'(-1)+1>0在(0，+∞)上恒成立，则原命题得证. ()先证明：f()-e>c2,(x>0),即证e-xe-1>0设he-xe-1x>0: e-+经引-e1-当>0.e-小可所因在 (0,)上单调递增，则>h0=0,则所证不等式f()=->。三，（x>0)成立又，>0， c=)>金所以今学=1所以写>经>分>受> 2>22，…>长烈>1 2 2， 当22所，含>+分+京=2-京，当-1时=2-京=1.做222-声成 立 2026-9 高三数月 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp