广东中山市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

中山一中2027届高三第一次统考 数学 命题人：郑军强审题人：宋春宇 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，) 1,已知集合A=x∈NgeN,B={42-x+10s0,则AnB=（) A.{2,3 B.{2,5} C.{x2≤x<5} D.{x2≤x≤5 2.设x∈R,则“x<1”是“x|x|-2<0"的() A.充分不必要条件 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() A.()= 4+血过 1+cosx ()=x'cosx e网 123 C.()=cosx. 2+血 2+sinx D.f()+cosx +,已知函数∫(x+1)是偶函数1路14x<x2时，[f()-f(x)](2-)>0恒成立， 设a=f》=fa刨，c=),则，6e的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a b<c<a D.a<b<c 若。=时b=1!2,c=1g3,则a,b,c的大小关系是（) A.b<a<c B.b<c<a .akb<c D.c<b<a 6.中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，'其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌 为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加， 则不同的报名方案有（) A.35 B.50 C.70 D.100 7,国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x~N0.9372,0.0139).若生产状态正常，有 如下命题： 中山一中2027届高三第-一次统考（数学）试卷，共4页，第1页 额 甲：P(x≤0.9).U 乙：x的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0511)内的概率相等： 丙：P(x<0.9)=P(x>0.9744): 丁：记5表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于4+2σ的敏量，则P(5≥1)>0.6， (参考数据：若x~N(4,σ2)(o>0),则P(4-σ<x≤4+σ)≈0.6827， P(μ-2o<x≤4/2o)s0.9545,P(4-3o<x≤4+3σ)0.9973：0.980≈0.364) 其中假命题是( A.甲 B.乙 C丙 D.丁 B加-个香因尚有两个点，支幽豪做我国(） A.(-∞，-2]小U(-以0U(0,+o) B.（-∞，-2U[r1,0)U(0,+∞) C.（-+oo) D.[-10)U(0,+∞) 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分.) 9.下列叙述中不正确的是() A.若a,b,c∈R,则“不等式ax+br+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0”； B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”: C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件： D.“a>1”是“<1”的充分不必要条件。 10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从 甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件A,A和A表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑 球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是 ( A.事件B与事件A相互独立 B.A,A,4是两两互斥的事件 C.P(BI4)=3 11 D.P(员 11.在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表， 这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第”行 从左至右的数字之和记为an,如：4=1+1=2,42=1+2+1=4，…，{an}的前n项和记为Sn, 依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，记为b,, 中山一中2027届高三第一次统考（数学）试卷，共4页，第2页 巴a {b}的前n项和记为T,,则下列说法正确的有() A.0=102 第1行 1 第2行 121 B. Sn·Snl 的前m项和为2a42-2 第3行 」331 第4行 146 41 C.b=66 第5行1510105 D.T)=4150 三、填空题（本题共3小题，每为题5分：来16分.） 12.(x+2y)(3x-y)的展开式中xy的系数为 (用数字作答) .x-y 13.若实数x,y满足x>y>0,且y=4,则+的最大值为 14.从标有1,2,3，，20的20张卡片中依次抽出两则在第一次抽到数字为6的倍数的条件下， 第二次抽到的数字大于第一次的概率为 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本题13分) 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、 二级品、和三级品，批发单价分别为6元/水g、5元/kg和4元kg (1)根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%，50%，30% 估计这批西红柿的批发单价的平均值： (2)为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y和单价x(=1,2,3,4,5)进行了统计， 得到一组数据如表所示： 销售单价x,(元/kg) 5 6 8 9 日销量y(kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程，并负 测当西红柿单价为12元/kg时，该超市西红柿的日销量. 参考公式：线性回归方程少=x+a中，方= 之x- 一，a=可-旅. 参考数据：】 2y=565,2y=3765,2￥=25， 中山一中2027届高三第一次统考（数学）试卷，共4页，第3页 囊国 16.(本题15分) 己知等差数列{a}的前n项和为S,且S4=4S2,4=22十1.数列{b}为等比数列，且 b2-a2=1,as-b3=1. 求数列Q和也，}的通项公式：②求之：求证 ÷k2n(n+1) ae·ak41'2a4l 17、(本题15分) 某厂生产A,B两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本， 其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分 等级和收益率如下表，其中P<牙， 利润 (注：收益率= 总投资额 (1)求a的值： 频半 频 组距 组距 (2)将频率分布直方图中的频率 0.040…… 0.040 近似看作概率，用样本估计总体。 0.020 ①从产品B中随机抽取3件， 0.015 0.015 0.0I0 0.010 求其中一等品件数X的分布列 0.00时 “测 指标值 110120130149150160 ·指标植 110120130140150160 及数学期望： 产品A 产品B ②在总投资额相同的情况下， 等级 一等品 二等品 三等品 若全部投资产品A或产品B, 指标值m m≥140 120≤m<140 m<120 试分析投资哪种产品收益更大， 产品收益率 p 4p2 18.(本题17分) 定义在D上的函数f(x)如果满足：对任意x∈D,存在常数M>O,都有f(x)引≤M成立，则称 f)是D上的有界函数，其中M称为函数f)的上界.已知函数f(x)=l+a~(+( ()当a=1,求函数f(x)在(-o,0)上的值域，并判断函数f(x)在(-o∞，0)上是否为有界函数， 请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，+∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 19.(本题17分) 设函数f因=0+a,曲线)y=f在x=-1处的切线与y轴交于点Q,e-) (1)求a: (2)若x∈[-2，+∞)时，f(x)≥b(x-1),记符合条件的b的最大整数值、最小整数值分别为 M、m,求M+m, 注：e=2.71828…为自然对数的底数. 中山一中2027届高三第一次统考（数学）试卷，共4页，第4页 霸9a 中山一中2027届高三第一次统考数学答案 1.A 【详解】A={xeN1eN=236.B={r-7x+10s0={≤xs5到. 则A⌒B={2,3}、故选A 2.A 【详解】由xx-2<0,解得(0，V2),由(-0,1)c(-0,V2),可知“x<1"是“xx-2<0”的充 分不必要条件，故选A. 3.D 【详解】根据图象得函数f(x)定义域为{x|x≠O},图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数. 对于A选项， 1+©1，排除：对于B选项，函数定义线为R,排除， f(0)= 4 ->2 对于c进项，f-到-a4.o的 故函数为非奇非偶函数，排除； 2+sin(-x)2-sinx 对于D选项，函数f(x)符合图象要求.故选D 4.A 【详解】当1<，<时，[f(x)f(:)](:-x)>0恒成立，所以f(x)在(，)为增函数 又因为fc+)是偶函数，所以f-x+)=f✉+，即a=f（》f) 所以f2)kf[}f),即b<a<c.故选A 5.D 【详解】a-2】 >0,6=log12=-1og,2∈-10)，c=lo8:3=-1g,3<-1, 2 则c<b<a,故选D 6.B 【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为2+4和3+3两类， (1)若为“2+4”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有CC4种分组方式：将分 好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有A种，由分步乘法计数原理，则该组合有 C6C4·A=30种； 2若为3+3”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有C3C种分组方式， 3 中山一中2027届高三第一次统考（数学）答案共8页第1页 屬巴aE 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列行乃种，由分步乘法计数原班，则该组合有 C3C.=20种： 由分类加法计数原理，则不同的报名方式有30+20=50种：枚选B. 7.B 【详解】由x~N(0.9372,0.01392)知，4=0.9372，g=0.0139, 对于甲：由正态分布曲线可得：P(x≤0.9)<P(x<0.9372)=0.5,故甲为其命愿： 对于乙：0.9439-0.3=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139两个区间长度均为1个0，但4>0.93， 由正态分布性质知，落在(0.93,0.9439)内的概率大于落在 (0.9372,0.9511)内的概率，故乙是假命题： 对于丙：由09+0974=0.9372知，丙正确： 2 对于丁：1只口罩的的过滤率大于4+2o的概率p≈-0,9545 2 0.02275,5~B(50,p),所以 P(521)=1-P(5=0)=1-0-p)”>1-(1-0.02)°， 1-Q-0.02)0=1-0.98°≈1-0.364=0.636>0.6，故丁是真命题.故选B 8.B 【详解】：4=(a+1)2+16>0,则二次函数y=2x2-(a+1)x-2有两个零点 a+1 <a (1)若f(x)=2x2-(a+1)x-2,x≤a恰有两个零点，则 4 ,得a≥2 f(a)=a2-a-220 此时f(x)=匹--3=-4，x>a无零点，则a2-4≥0，解得a≥2，故a≥2： a+1 2)若f(x)=2x2-(a+1)x-2,x≤a无零点，则 >a 4 ,得a<-1 f(a)=a2-a-2>0 >a 此时f(x)=m-l-3,x>a有两个零点，则 a ,得a<-2,故a<-2; f(a)=la2-l-3>0 3)诺f(x)=2x2-(a+1)x-2,x≤a有且仅有-个零点，则f(a)=a2-a-2<0得-1<a<2, 或f(a)=a2-a-2=0,得a=-1或a=2,经检验a=2不合题意，则-1sa<2, a≠0 此时f(x)=c-1-3,x>a有且仅有一个零点，则 f(a)-=女--3<0'解得-2<a<2且a≠0 故-1≤a<2月.a≠0， 综上所述：a∈(-o,-2)J[-l,0U(0,+o).故选B, 中山一中2027届高三第一次统考（数学）答案共8页第2页 霸国 9.AB 【详解】当a<0时，若b2-4ac≤0，则ax2+bx+c≤0成立，故人不i正确： 当b=0时，“a>c"推不出“ab2>cb2”,故B不正疏： 当“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根附“a<0”,“o<0”推出“a<1"成立，反之不成 立，故C正确： 由1-l=1-a<0符a>1或a<0,所以“a>1是<1的充分不必要条件，故D正确 a 故选：AB 10.BC 【详解】由题意A,4,A是两两互斥的事件，故B正确： 又=音方6)-后-P)0Pa1A利=子，由此知，CE确： 同理可得P8到)音P81A)-音， 页P®=R4)国到44+4-兮品产是D猫误 P8)=P心8A)P)=丑，即PBA)≠P心4)-P(®，.所以事件B与事件4不相互独立，A错误； 11.BCD 【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应(a+b)”的二项式系数， 0,=0+1y=2”,a,}为等比数列，则8=20-22)=2-2，所以S。=2-2≠10m,A错误： 1-2 2*1 -11 「2a。的前n项和为 Sn-Sn2-2-(22-2)2-222-2’1s。8j 111 1 11111 2222222222222方a2B正确： 去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0,1,2,3，构成-个等差数列， 项数之和为+≤57，则n的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1， 2 b取的就是第12行中的第三项，b,=C=66,C正确； S1=22-2,这11行中共去掉了22个1，T,=S,-22+b6+b,=4094-22+C,+C%=4150, D正确，故选：BCD, 12.-162 【详解】(3x-y)4属开式的通项公式为T,1=C4(3x)(-y)'.当r=2时，x(3x-y)的展开式中 xy的系数为32C?=54;当r=1时，2y(3x-y)的展开式中xy2的系数为-2×3'C=-216. 中山一中2027届商三第一次统考（数学）答案共8页第3页 额巴m王 故(x+2y)3x-y)2的展开式中yy2的系数为-162. 13.日（或0.125） 8 x-y 11 【详解】令x-y=1,则>0，(x+y2(x-y2+4y+161+ 165 168, 2t 当且夜当冬即1=4时，等号成立，所拟+的最大销为。故答案为日 x-y t 8 8 14. 19 【详解】记事件A:第一次抽到的数字为6的倍数：事件B:第二次抽到的数字大于第一次： 6 P（AB)一5=故答案为： 则P4=,P8)A2=。·PBL4PPd3可 20×1995 20 15.【详解】(1)由题意6×20%+5×50%+4×30%=4.9， 因此估计这批西红柿的批发单价的平均值为4.9元/kg. ②迪表知，宝66+7+8+9列=7=×565=1B, 立-5可 所以6= 立号-5 3765-5x7×13=-19,a=-标=113-(-19)×7=246， 255-5×72 故y关于x的线性回归方程为)=-19x+246. 当x=12时，夕=-19x12+246=18(kg), 即当西红柿单价为12元/kg时，预测该超市西红柿的日销量为18kg、 16.【详解】(1)设等差数列{an}公差为d,由S4=4S2得：4a+6d=4(2a+d), 因为a4=2a2+1,所以a1+3d=2(a1+)+1,联立得：a1=1,d=2,所以 an=1+2(n-1)=2n-1；则a2=3,4=9, 42 设红，}的公比为9，则4=1+3=4,6，=4-1=9-1=8，所以g=。=2,6 b. 2 所以bn=22=2”: (2) a=2k-1 中山一中2027届高三第一次统考（数学）容案共8页第4页 器王 =1+3+ 名62+2京+…+ 2028分22。 24 21②， ①一②得： 11 爱*器2西 2石-21 2 2一 21= 221Γ 2 所以2g=2?2+3）=32水+3 6气22州 (3) 4.au可品-可 2 2n(2n+1)+2n+1-1_4n(n+1)_n(n+1） 8(2n+1) 8(2n+1）2a4 17.【详解】(1)由题可得(0.005+0.010+0.015+0.040+a)×10=1,解得a=0.030 ②@由直方图知：产品B为一等品的薇串是二等品概率是 ,三等品概率是 10 由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，七2,3，且X-®3，) (-0G(x--G Px=2=x=)-c)-品 则X的分布列为： X 0 1 2 3 8 36 54 27 P 125 125 125 125 8 36 54 279 .E(X)=0× +1× +2× 125 125 125 25=3 +3× > ,二等品的概率为子，三等品的概率为分， 1 ②由题可得，产品A为一等品的概率为 10 3 3 产品8为一等品的概率为号，二等品的概率为。，三等品的概率为0， 中山一中2027届高三第一次统考（数学）答案共8页第5页 霸回行用发至 产品A的收益：写0p+4p+ 1 20、21 10p, 产品B的收益，6+ +10*4p2+ 10n+3. 6-5务-0=05n-2 因为；<p<日，所以E,-E<0,即E,<B,故投资产品A的收益更大. 18【详解10当a=1时，网=1+份+8 因为x)在（一o,0)上递减，所以x)>0)=3,即x)在(-o,0)的值域为(3，+∞）， 故不存在常数M0,使xSM成立，所以函数x)在（一∞，0）上不是有界函数. (2)由题意知，x3在[0，十o)上恒成立 -ss,-4-（sa(s2-( 所以-42-()5as2x-(周在+网上恒皮立 所4-La2- 设2=，M=-4-'p0=21-由x∈[0，+o)得e1,设1S1<, iW广AMW--X46-D0,W-pK的=44X24+DcD,所以0在1，+四上递减. t2 2 p()在[1，+∞)上递增，则h()在[1，十o)上的最大值为h(1)=一5，p)在[1，+∞)上的最小值为 p(1)=1,故实数a的取值范围为[-5,1]. 19.【详解】(1)依题意得：f"(x)=(x+1)e，所以f"(-)=0. 又因为f-=+a,所以f网在x=1处的切线方程为y三” e2+a, 因为曲线y=f因在x-1处的切线与y轴交于点@，e》, 所以-e之+a=8 e2,解得a=e. (2)解法一：由(1)知fx)=e-1+e,则不等式可化为xe-1-b(x-1)+e≥0， 设g(x)=xe-b(x-1)+e,则g'(x)=(x+1)el-b, 中山一中2027届高三第一次统考（数学）答案共8页第6页 器9王 设x)=8'(),则o(x)=(x+2,因为xE[-2+o),所以(x)20, 所以(x)在[-2，+∞)单调递增，即g'(x)在[-2，+oo)单调递州， 所以g'(x)mn=g(-2)=-c3-b, ①若b≤-c3,则g'(x)≥g'(-2)2≥0，所以g(x)在「-2，+∞)调递州， 所以g)m=8-2)=-2e3+36+c≥0，解得6≥20-e 3 所以2e-c≤se, 3 ②若b>-c3,则g'(x)mm=g'(-2)<0,因为8'(x)在[-2+)单调递增， 当-e3<b≤0时，80)=。-6>0，则存在x∈(-20)使得g)=0, 当b>0时，取n=max{0,nb+1},则g(m)>0,所以存在，e(-2,n),使得g()=0, 综上，当b>-e3时，存在∈(-2，+w),使得g'(x)=0,即(+1)e-1-b=0, 故当-2<x<x时，g()<0,则g(x)在(-2，)单调递减， 当x>时，g(x)>0,则g(x)在(0，+o)单调递增， 所以g)m=g6）=e1-b(0-1)+e≥0.(*) 由(+10e-1-b=0,得b=(+1e-,， 代入(*)得e-1-(+1e-(-1)+e=(←+石+1e1+e≥0， 设F(x)=(x2-x-10e-1+e,则F'(x)=(x2+x-2e=-（x+2x-10e,， 因为x≥-2，所以由F'(x)=0得x=1, 当-2<x<1时，F'(x)>0,所以F(x)在(-2,1)上单调递增。 当x>1时，F(x)<0,所以F(x)在L,+o)单调递减， 又因为F(-2)=e3+e<0,F四=1+e>0,F(2)=0,所以当x>2时，F(x)<0, 所以满足（←子+右+1）e61+e≥0的的取值范围是2<≤2， 又因为b=(+1e61，设H(x)=(x+1)e,则H'(x)=(x+2)e-1≥0， 所以H(x)在(-2，+oo)单调递增，所以e3<b≤3e, 综上所述2e-e≤b≤3e, 又因为-1<2e-e<0,8<3e<9,所以m=0,M=8,所以M+m=8. 3 中山一中2027届高三第-…次统考（数学）答案共8页第7页 器牌王 解法二：由(1)知f)=e-1+e,则不等式可化为x沁--bMx-)+c≥0， ①当x=I时，左边等于1+c≥0恒成立.，此时beR: ②当x>1时，原不等式可化为6≤e+c对任意r亿四)恒成立. x-1 设=e+e,则h=--e-c x-1 (x-)2 设(x)=(2-x-I0e1-c,则k'(x)=(x2+x-2)e-1=(x+2(x-1)c-1. 因为x>1,所以k'(x)>0,所以kx)在(0，+o)上单调递增.又因为h'(2)=(2)=0, 所以x=2是hH'(x)在I,o)上的唯一墨点， 所以当1<x<2时，h(x)<0,(x)在(L,2)上单调递减， 当x>2时，h(x)>0,x)在(2+∞)上单调递增， 所以h(x)mn=h(2)=3e,所以b≤3e. ③当-2≤x<1时，原不等式可化为b≥e+e, x-1 此时对于②中函数k(x)的导函数k(x)=(x2+x-2e=(x+2Xx-1)e-, 可知当-2≤x<1时，k(x)<0,所以)在-2≤x<1单调递减，且k(-2)=53-e0, 所以当-2≤x<1时，k(x)<k(-2)<0,即H(x)<0,所以x)在【-2,1)上单调递减， 厅以(-2=兰？，所以62了g 3, 综上所述2e-e≤6S3e, 3 又因为-1<2e3-e<0,8<3e<9,所以m=0,M=8,所以M+m=8. 3 中山一中2027届高三第一次统考（数学）答案共8页第8页 鬻®a王 中 山 一 中2027届 高 三 第 一 次 统 考 数 学 命题人：郑军强 审题人：宋春宇 一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1..已知集合 , , 则 A∩ B=( ) A.{2,3} B.{2,5} C.{x|2≤x<5} D.{x|2≤x≤5} 2. 设x ∈R, 则“x<1”是“x|x|-2<0” 的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数f(x) 的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( ) A. B. C. D. 4.已 知 函 数f(x+1)是偶函数，当 时,恒成立,设 ，b=f(2)，c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.b<a<C B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 5.若, 则 a,b,c的大小关系是( ) A.b<a<c B.b<c<a C. a <b <c D.c<b<a 6. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加， 则不同的报名方案有( ) A.35 B.50 C.70 D.100 7,国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x ～N(0.9372,0.0139²).若生产状态正常，有如下命题： 甲：P(x≤0. 9)<0.5 ; 乙：x 的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等; 丙：P(x<0.9)=P(x>0. 9744); 丁：记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的敛量，则P(ξ≥1)>0.6, (参考数据：若x～N(μ,σ²)(σ>0), 则P(μ- σ<x≤μ+σ)≈0.6827, P(μ-2σ<x≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<x≤μ+3σ)≈0.9973; ) 其中假命题是( ) A、 甲 B. 乙 C 丙 D. 丁 8.已知函数 ,若f(x)恰有两个零点,则实数a的取值范围为( ) A.) B. C. D. 二、多选题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分.) 9. 下列叙述中不正确的是( ) A. 若a,b,c∈R, 则“不等式恒成立”的充要条件是“ b²-4ac≤0”; B. 若a,b,c∈R, 则“ ab²>cb²”的充要条件是“a>c”; C. “a<1”是“方程x²+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “a >1”是”"的充分不必要条件. 10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件,和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是( ) A. 事件B 与事件相互独立 B.是两两互斥的事件 C. D. 11. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表， 这就是著名的“杨辉三角”,它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为, 如：a₁=1+1=2，a₂=1+2+1=4，，{}的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5, … ,记为，{}的前n 项和记为, 则下列说法正确的有( ) A.=1022 B.的前n 项和为 C. D. 三、填空题(本题共3小题，每题5分,共15分.) 12. (x+2y)(3x-y)⁴的展开式中的系数为________(用数字作答) 13. 若实数x, y满足x>y>0,且xy=4,则 的最大值为_________ 14. 从标有1,2,3,…,20的20张卡片中依次抽出两张，则在第一次抽到数字为6的倍数的条件下，第二次抽到的数字大于第一次的概率为_________ 四 、解答题：(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本题13分) 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、 二级品、和三级品，批发单价分别为6元/kg、5 元/kg 和4元/kg. (1)根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%,50%,30% 估计这批西红柿的批发单价的平均值； (2)为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y 和单价(i=1,2,3,4,5 )进行了统计，得到一组数据如表所示： 销售单价x,(元/kg) 5 6 7 8 9 日销量y(kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/kg 时，该超市西红柿的日销量. 参考公式：线性回归方程中 ，， 参考数据： 16. (本题15分) 已知等差数列{}的前n 项和为, 且，数列{}为等比数列，且. (1) 求数列{}和{}的通项公式； (2) 求 ； (3) 求证：； 17、(本题15分) 某厂生产A,B 两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本， 其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表， 其中.(注：) 等级 一等品 二等品 三等品 指标值m m≥140 120≤m<140 m<120 产品收益率 p 4p² p² (1)求a的值； (2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体. ①从产品B中随机抽取3件， 求其中一等品件数X的分布列及数学期望； ②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A或产品B,试分析投资哪种产品收益更大. 18. (本题17分) 定义在D 上的函数f(x) 如果满足：对任意x∈D, 存在常数M>0, 都有| f(x)|≤M成立，则称 f(x) 是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x) 的上界.已知函数. (1)当a=1, 求函数f(x)在上的值域，并判断函数f(x) 在上是否为有界函数， 请说明理由； (2)若函数f(x) 在上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 19. (本题17分) 设函数f(x)=xeˣ⁻¹+a,曲线y=f(x)在x=-1处的切线与y 轴交于点 (1)求a; (2)若时，f(x)≥b(x-1), 记符合条件的b的最大整数值、最小整数值分别为 M、m, 求M+m, 注：e=2.71828… 为自然对数的底数. 中山一中2027届高三第一次统考数学答案 1.A 【详解】 ,B={x|x²-7x+10≤0}={×|2≤x≤5}, 则AB={2,3}、故选A 2.A 【详解】由x|x|- 2<0, 解得,由,可知“x<1” 是“x|x|-2<0”的充分不必要条件，故选A. 3.D 【详解】根据图象得函数f(x)定义域为{x|x≠0}, 图象关于y 轴对称，即f(x)为偶函数. 对于A 选项排除； 对于B 选项，函数定义域为R, 排除; 对于C 选项，函数定义域为{x|x≠0}，, 故函数为非奇非偶函数，排除； 对于D 选项，函数f(x) 符合图象要求.故选D 4.A 【详解】当1< x₁<x₂ 时 ，0，则，所以函数f(x)在单调递增，又因为f(x+1)是偶函数，所以f(-x+1)=f(x+1)，即，所以 即b<a<c. 故选A 5.D 【详解】,则c<b<a, 故选D 6.B 【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为2+4和3+3两类， (1)若为“2+4”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有 种分组方式；将分 好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； (2) 若为“3+3”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有 种分组方式，将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种 ，由分步乘法计数原理，则该组合有种； 由分类加法计数原理，则不同的报名方式有30+20=50种：故选 B. 7.B 【详解】由x～N(0.9372,0.0139²)知，μ=0.9372,σ=0.0139, 对于甲：由正态分布曲线可得：P(x≤0.9)<P(x<0.9372)=0.5, 故甲为真命题； 对于乙：0.9439-0.93=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139两个区间长度均为1个σ,但μ>0.93,由正态分布性质知，落在(0.93,0.9439)内的概率大于落在 (0.9372,0.9511)内的概率，故乙是假命题； 对于丙：由知,丙正确； 对于丁：1只口罩的的过滤率大于μ+2σ的概率 , ξ~B(50, p ),所以，1-(1-0.02)⁵⁰=1-0.98⁵⁰≈1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命题.故选B. 8.B 【详解】∵△=(a+1)²+16>0,则二次函数y=2x²-(a+1)x-2 有两个零点 (1)若f(x)=2x²-(a+1)x-2,x≤a恰有两个零点，则 , 得a ≥2,此时f(x)=|ax-1|-3=ax-4,x>a无零点，则a²- 4≥0, 解得a≥2, 故a≥2; (2)若f(x)=2x²-(a+1)x-2,x≤a无零点，则, 得a<-1,此时f(x)=|ax-1|-3,x>a有两个零点，则得a<-2, 故a<-2; (3)若f(x) =2x²-(a+1)x-2,x≤a有且仅有一个零点，则f(a)=a²-a-2<0 得-1<a<2，或f(a)=a²-a-2=0, 得 a=-1 或 a=2，经检验a=2不合题意，则-1≤a<2, 此时f(x)=|ax-1|-3, x>a有且仅有一个零点，则 解得-2<a<2 且a≠ 0 ，故-1≤a<2 且a≠0. 综上所述： ，故选 B. 9.AB 【详解】当a<0 时，若b²-4ac≤0, 则ax²+bx+c≤0恒成立，故A不正确； 当b=0 时 ，“a>c” 推不出“ab²≥cb²”, 故 B 不正确： 当“方程x²+x+a=0 有一个正根和一个负根”时“a<0”,“a<0” 推出“ a<1” 成立，反之不成 立，故C 正确； 由 得a>1 或a<0, 所以“a>1” 是 的充分不必要条件，故D 正确. 故选：AB. 10.BC 【详解】由题意是两两互斥的事件，故B 正确； 又,由此知， C 正确；同理可得,, 所以，D错误. 即, 所以事件B 与事件不相互独立，A 错误； 11.BCD 【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，，{} 为等比数列，则 ，所以A 错误； ,的前n 项和为+=, B 正确； 去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0,1,2,3...,构成一个等差数列，项数之和为 57 , 则n的最大整数为10,杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，取的就是第12行中的第三项， b₅₇==66，C正确； ，这11行中共去掉了22个1，∴, D 正确，故选：BCD. 12.-162 【详解】(3x-y)⁴属开式的通项公式为.当r=2 时,的展开式中 x³y² 的系数为; 当r=1 时，,的展开式中x³y² 的系数为. 故(x+2y)(3x-y)² 的展开式中y³y² 的系数为-162. 13. 【详解】令x-y=t,则t>0,,当且仅当 即t=4 时 ，等号成立，所以的最大值 .故答案为： 14. 【详解】记事件A: 第一次抽到的数字为6的倍数；事件B: 第二次抽到的数字大于第一次： 则..故答案为：. 15.【详解】(1)由题意6×20%+5×50%+4×30%=4.9, 因此估计这批西红柿的批发单价的平均值为4.9元/kg. (2)由表知,,, 所以, 故y 关于x 的线性回归方程为. 当x=12 时， =-19×12+246=18 (kg), 即当西红柿单价为12元/kg时，预测该超市西红柿的日销量为18kg. 16.【详解】(1)设等差数列{} 公差为d, 由S₄=4S₂得：4a₁+6d=4(2a₁+d), 因为,所以a₁+3d=2(a₁+d)+1, 联立得：a₁=1,d=2,所以=1+2(n-1)=2n-1; 则 a₂=3,a₅= 9, 设{}的公比为q, 则b₂=1+3=4,b₃=a₅-1=9-1=8, 所以所以; （2）,①,② ①-②得： 所以 （3） 所以 17. 【详解】(1)由题可得(0.005+0.010+0.015+0.040+a)×10=1,解得a=0.030. (2)①由直方图知：产品B为一等品的概率是 ,二等品概率是 , 三等品概率是, 由题知随机抽取3件是一等品的件数X 可能的取值是0,1,2,3,且, 则X 的分布列为： X 0 1 2 3 P ②由题可得，产品A 为一等品的概率为, 二等品的概率为 ,三等品的概率为 , 产品B为一等品的概率为 ,二等品的概率为 ,三等品的概率为 , 产品A的收益：, 产品B的收益：, 因为,所以,即,故投资产品A 的收益更大， 18.【详解】(1)当a=1 时， 因为f(x) 在上递减，所以f(x)>f(0)=3, 即f(x)在的值域为, 故不存在常数M>0, 使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x) 在上不是有界函数. (2)由题意知，|f(x)|≤3在上恒成立. 3, 所以在上恒成立， 所以 设 ,,,由得t≥1, 设,, 所以在上递减，在上递增,则 在上的最大值为， 在上的最小值为,故实数a 的取值范围为[-5,1]. 19. 【详解】(1)依题意得：所以. 又因为 , 所以f(x) 在x=-1 处的切线方程为 , 因为曲线y=f(x)在x=-1处的切线与y 轴交于点, 所以 , 解 得a=e. (2)解法一：由(1)知则不等式可化为, 设则, 设, 则, 因为, 所以, 所以在单调递增，即在单调递增， 所以, ①若, 则, 所以g(x)在单调递增， 所以,解得 所以 ②若, 则, 因为在单调递增， 当时,则,存在,使得g'(x)=0, 当b>0时，取, 则g(n)>0, 所以存在, 使得, 综上，当时，存在x₀ ∈(-2, ) , 使得g'(x₀)=0, 即, 故当-2< x<x₀时 ，g'(x)<0, 则g(x) 在(-2,x₀) 单调递减， 当x>x₀ 时，g'(x)>0, 则g(x) 在(x₀,+∞)单调递增， 所以(*) 由, 得, 代入(*)得, 设, 则, 因为x≥-2, 所以由F'(x)=0 得x=1, 当-2< x<1 时，F'(x)>0, 所以F(x) 在(-2,1)上单调递增， 当x>1 时 ，F'(x)<0,所以F(x) 在单调递减， 又因为F(-2)=—e³+e<0,F(1)=1+e>0,F(2)=0, 所以当x>2 时 ，F(x)<0, 所以满足的的取值范围是-2<≤2, 又因为, 设, 则, 所以在单调递增，所以-e⁻³<b≤3e, 综上所 述 又因为 ,8<3e<9, 所以m=0,M=8, 所以M+m=8. 解法二：由(1)知, 则不等式可化为, ①当x= 1时 ，左边等于1+e≥0 恒成立，此时b∈R; ②当x> 1时，原不等式可化为 对任意恒成立. ,则 设, 则. 因为x>1,所以k'(x)>0, 所 以k(x)在上单调递增. 又因为h'(2)=k(2)=0, 所以x=2是h'(x) 在上的唯一零点， 所以当1< x<2 时，h'(x)<0，h(x)在(1,2)上单调递减， 当x>2 时，h'(x)>0，h(x) 在上单调递增， 所以, 所以b≤3e. ③当-2≤x<1时 ，原不等式可化为 此时对于②中函数的导函数, 可知当-2≤x<1时 ，k'(x)<0, 所以k(x)在-2≤x<1 单调递减，且, 所以当-2≤x<1 时 ，k(x)<k(-2)<0, 即h'(x)<0, 所以h(x)在[-2,1)上单调递减， 所以 , 所以 综上所述3e 又因为 ,8<3e<9, 所以m=0,M=8, 所以M+m=8. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 中 山 一 中2027届 高 三 第 一 次 统 考 数 学 命题人：郑军强 审题人：宋春宇 一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1..已知集合 , , 则 A∩ B=( ) A.{2,3} B.{2,5} C.{x|2≤x<5} D.{x|2≤x≤5} 2. 设x ∈R, 则“x<1”是“x|x|-2<0” 的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数f(x) 的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( ) A. B. C. D. 4.已 知 函 数f(x+1)是偶函数，当 时,恒成立,设 ，b=f(2)，c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.b<a<C B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 5.若, 则 a,b,c的大小关系是( ) A.b<a<c B.b<c<a C. a <b <c D.c<b<a 6. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加， 则不同的报名方案有( ) A.35 B.50 C.70 D.100 7,国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x ～N(0.9372,0.0139²).若生产状态正常，有如下命题： 甲：P(x≤0. 9)<0.5 ; 乙：x 的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等; 丙：P(x<0.9)=P(x>0. 9744); 丁：记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的敛量，则P(ξ≥1)>0.6, (参考数据：若x～N(μ,σ²)(σ>0), 则P(μ- σ<x≤μ+σ)≈0.6827, P(μ-2σ<x≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<x≤μ+3σ)≈0.9973; ) 其中假命题是( ) A、 甲 B. 乙 C 丙 D. 丁 8.已知函数 ,若f(x)恰有两个零点,则实数a的取值范围为( ) A.) B. C. D. 二、多选题：(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分.) 9. 下列叙述中不正确的是( ) A. 若a,b,c∈R, 则“不等式恒成立”的充要条件是“ b²-4ac≤0”; B. 若a,b,c∈R, 则“ ab²>cb²”的充要条件是“a>c”; C. “a<1”是“方程x²+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “a >1”是”"的充分不必要条件. 10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件,和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是( ) A. 事件B 与事件相互独立 B.是两两互斥的事件 C. D. 11. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表， 这就是著名的“杨辉三角”,它是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为, 如：a₁=1+1=2，a₂=1+2+1=4，，{}的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5, … ,记为，{}的前n 项和记为, 则下列说法正确的有( ) A.=1022 B.的前n 项和为 C. D. 三、填空题(本题共3小题，每题5分,共15分.) 12. (x+2y)(3x-y)⁴的展开式中的系数为________(用数字作答) 13. 若实数x, y满足x>y>0,且xy=4,则 的最大值为_________ 14. 从标有1,2,3,…,20的20张卡片中依次抽出两张，则在第一次抽到数字为6的倍数的条件下，第二次抽到的数字大于第一次的概率为_________ 四 、解答题：(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本题13分) 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、 二级品、和三级品，批发单价分别为6元/kg、5 元/kg 和4元/kg. (1)根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%,50%,30% 估计这批西红柿的批发单价的平均值； (2)为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y 和单价(i=1,2,3,4,5 )进行了统计，得到一组数据如表所示： 销售单价x,(元/kg) 5 6 7 8 9 日销量y(kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/kg 时，该超市西红柿的日销量. 参考公式：线性回归方程中 ，， 参考数据： 16. (本题15分) 已知等差数列{}的前n 项和为, 且，数列{}为等比数列，且. (1) 求数列{}和{}的通项公式； (2) 求 ； (3) 求证：； 17、(本题15分) 某厂生产A,B 两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本， 其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表， 其中.(注：) 等级 一等品 二等品 三等品 指标值m m≥140 120≤m<140 m<120 产品收益率 p 4p² p² (1)求a的值； (2)将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体. ①从产品B中随机抽取3件， 求其中一等品件数X的分布列及数学期望； ②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品A或产品B,试分析投资哪种产品收益更大. 18. (本题17分) 定义在D 上的函数f(x) 如果满足：对任意x∈D, 存在常数M>0, 都有| f(x)|≤M成立，则称 f(x) 是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x) 的上界.已知函数. (1)当a=1, 求函数f(x)在上的值域，并判断函数f(x) 在上是否为有界函数， 请说明理由； (2)若函数f(x) 在上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 19. (本题17分) 设函数f(x)=xeˣ⁻¹+a,曲线y=f(x)在x=-1处的切线与y 轴交于点 (1)求a; (2)若时，f(x)≥b(x-1), 记符合条件的b的最大整数值、最小整数值分别为 M、m, 求M+m, 注：e=2.71828… 为自然对数的底数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $