山西省太原市山西大学附属中学校2026-2027学年高二上学期10月模块诊断数学试题

山西大学附中2026-2027学年第一学期高二年级10月模块诊断 数学试题 考查时间:120分钟 满分:150分 一,选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知向量a=(-1,2,1),b=(3,x,),且a⊥b,那么x=() A.1 B.0 C.2 D.3 2.过点(1,1)且方向向量为m=(2,3)的直线方程为() A.2x-3y-1=0 B.2x-3y+1=0C.3x-2y-1=0 D.3x-2y+1=0 3.如图,在三棱柱ABC-ABC中,BC与BC的交点为P,则 AP=() A.C) B. (+Ac-4 C. (aB-AC+a网) D. (+AC-) 4.已知向量p在基底{a+b,b+c,c+d下的坐标为(0,2,),则p在基底{a,b,c下的坐 标为() A.(1,2,3) B.(0,1,2) C.(21,0) D.(1,2,-1) 5.如图所示,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别为棱AD,AB,DC,BC的 中点.则平面AEF与平面B,NMD,间的距离为() D M B A. 2v2 C.35 3 3 6.已知正 ABC的顶点AI,I,BI,3,顶点C在第一象限,若点P(x,y)是 ABC内部及 其边界上一点,则少的最大值为() x+I A2 3 B. 2 c 2 D. 3V3-3 2 试卷第3页,共4页 7.如图,在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中,点M,N分 D 别是棱AD,DD,的中点,点P在正方体ABCD-AB,CD的表面 A B 上运动,且AP/I平面BMN,则点P的轨迹长度为() A.22 B.5 C.22+3v5 D.3W2+2V5 8.《周髀算经》记载了“盖天说字宙模型,认为天地呈平行平面状.后世数学家将其 抽象为:设底面为平面 ,天顶为平面 z=0束光从天顶的z=1 点A(0,0,)射向地面的点B(1,1,0),经地面反射后又回到天顶,其入射光线记为向量 =AB.由于地面不平整,反射光线b与入射光线向量 满足:反射光线的单位水平投 影向量b,与入射光线的单位水平投影向量 ,关于点B处的南北方向(即y轴方向)对称. 若反射光线b的模长5=3,则 6=() A.-V3 B.-V2 C.-1 D.0 二.选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分) 9.已知直线:(a+)x+3y+a=0,直线马:c-2y+1=0,下列结论正确的是() A.直线恒过点 B.对于任意的a∈R,直线的斜率都存在 C.若l112,则a=2 D.若W%,则a=-S 10.关于空间向量,以下说法正确的是() A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B.若两个非零向量a,b的夹角(a,b)是钝角,则ab<0 C.已知B=(-l号,0),平面a的法向量为m=(1,23),则AB11a D.已知向量组{a,b,c是空间的一个基底,则{a+b,b+c,a+c也是空间的一个基底 11.在平行六面体ABCD-AB,CD中,AB=AD=AA=1,∠AAB=∠AAD=60 , ∠DAB=90 ,若Ag=mAB+nAD+pAA,其中m,n,p∈(0,],则下列结论正确的有() A.若P=2则三棱锥O-ABD的体积为定值 B.若m=n,则QC⊥BD C.若m=n,则D与平面O4C所成的角的正弦值为 3 6 D.当m+n=l时,线段C的长度的最小值为4 试卷第2页,共4页 三、填空题:(本题共3小题,每小题5分,共15分,14题第一空2分,第二空3分) 12.已知向量a=(2,-3x,1)是平面0的一个法向量,向量b=(-4,2,-2)为直线1的一个方 向向量,若l⊥a,则x的值为 13.过点(1,3),且与直线1:x-V3y+2=0的夹角为0 的直线方程为 14.已知矩形ABCD,AB=20,BC=15,沿对角线AC将 ABC折起(点B在平面ACD外), 若BD=m,则m的取值范围是 ,二面角B-AC-D的余弦值是 (用 m表示) 四、解答题:(本题共5小题,共77分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,四边形ABCD是正方形, D ∠AAD=∠AAB=60 ,A4=2AB=2,点G为CB的中点. B (1)用向量AB,AD,AA表示AG并求线段AG的长: (2)直线AG与BD所成角的余弦值. 16.如图,平面ABCD是正方形,AP⊥平面ABCD, APIIDO,AD=AP=3,DQ=1,点E,F分别为棱BP和C9的中点, (I)求点P到直线EF的距离; (2)求平面BCP与平面CPQ的夹角的余弦值 B 17.直线I过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点, (1)若直线1与2x+3y-2=0垂直,写出直线1的方程: (2)求 AOB面积的最小值; B (3)如图,若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M, 动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM 的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标 试卷第3页,共4页 18.如图,长方形ABCD中,AB=2V2,BC=√2,若E为线段CD的中点,将 ADE沿 AE翻折至 PAE. (1)若PB=√6, ①证明:平面PAE⊥平面ABCE; ②求AB与平面PBE所成角的正弦值: (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值的范围. 19.已知四面体0-ABC,OA=2,OB=3,OC=4,∠AOB=∠BOC=∠AOC=0,N为BC 的三等分点(靠近B),M为AN的中点,过点M的动平面交射线 OA,OB,OC于P,Q,R. (1)如图,当0=时, 3 ①求OM的长. ②空间中一动点T,定义d(T)=TP2+TQ+TR2.当四面体O-PQR B 的体积最小时,是否存在点T,使得d(T)<d(M)?并说明理由. (2)当0=”时,记四面体O-PR内切球的半径为,求,的最大值. 试卷第4页,共4页 山西大学附中2026-2027学年第一学期高二10月模块诊断教师版 数学试题 一.选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 8 A A D B 0 二.选择题:(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分) 9 10 11 AB ABD AB 三、填空题:(本题共3小题,每小题5分,共15分,14题第一空2分,第二空3分) 12.3 13.√5x+y-3-V5=0 14.(7,25):37-m 288 15.如图,在四棱柱ABCD-AB,CD中,四边形ABCD是正方形,∠AAD=∠AAB=60 , AA=2AB=2,点G为CB的中点. D B (1)用向量AB,AD,AA表示AG: (2)求线段AG的长及直线AG与BD所成角的余弦值, 【容案】G=+号0+兮4:线段4G的长为 2 2) 5 【分析】(1)方法一:利用三角形法则计算可得结果;方法二:根据平行四边形法则计算可 得; (2)根据(1)中结论将等式平方可得线段4G的长为 再分别计算出AG BD和BD的 2 长,即可得出其余弦值, 【详解】(1)方法一: 由题意知AG=AB+BC+CG=AB+AD+)CR=AB+AD+)(BB-BC) =B+D+4-0)=B+4D+4 方法二: 因为G为CB的中点, 所以aG-(孤+C)-+4+孤+0)-B+号4D+4. 因为四边形ABCD是正方形,∠AAD=∠AAB=60 ,AA=2AB=2, 所以AB.AD=0,AB.A4=1 2 cos60 =1,AD.A4=1 2 cos60 =1. 所以 d-+号而+-丽+号而+d++M+而 ,15 2-2 即线段AG的长为 2 (2)因为BD=AD-AB=AD+AA-AB, 所以BD=V《aD+4-AB=VAD+A4+AB+2D.M-2AD.B-2AMB =V1+4+1+2-2=6, 又4G.弧-(+D+4(a0+M-0+-+0+ 4+04-2-1+1-3. 所以os(4G,BD)- AG BD 3 V10 AG BD15x 5, 即直线4G与BD所成角的余弦值为而 16.如图,平面ABCD是正方形,AP⊥平面ABCD,APDQ,AD=AP=3,DQ=1,点E, F分别为棱BP和CQ的中点. B C (1)求点P到直线EF的距离; (2)求平面BCP与平面CPQ的夹角的余弦值. 【答案】(1) 因为ABCD为正方形,且PA⊥平面ABCD,所以AP、AB、AD两两互相垂直, 以点A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间 直角坐标系, B 则Po0,3,c3.0.n0,30.B30.o.Q03.(2oF33 所以EF=(0,3,-1),CD=(-3,0,0): 所以CD EF=0 (-3)+0 3+0 (-1)=0,所以CD⊥EF. 9 【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出EF、CD,利用向量法计算可得: (2)求出平面CPQ的法向量,利用空间向量法计算可得: (3)求出平面BCP的法向量,利用空间向量法计算可得, 【详解】(1)略 (2)设平面CP9的法向量m=(x,y,z),PC=(3,3,-3),CQ=(-3,0,1), m.PC=3x+3y-3z=0 则 mCo=-3x+z=0 ,取x=1,可得m=(2,3). 所以平面CP9的一个法向量为m=(1,2,3), 又BC=(0,3,0), m-BC 设直线BC与平面CPQ所成角为O,则sin0= 6V14 mBC 3x14 7' 所以直线BC与平面CPO所成角的正弦值为4 (3)因为BP=(-3,0,3),BC=(0,3,0), BP.n=-3a+3c=0 设平面BCP为法向量为i=(a,b,c),则 ,取i=(1,0,1), BC.n=3b=0 又平面CP9的一个法向量为m=(1,2,3), m427 设平面BCP与平面CPQ的夹角为a,则cosa= m√2x147 所以平面BCP与平面CP0的夹角的余弦值为27 7 17.直线1过点P(3,2)且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点. (1)若直线1与2x+3y-2=0的法向量平行,写出直线1的方程: (2)求 AOB面积的最小值: (3)如图,若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段 MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出 该定点坐标 【答案】(1)3x-2y-5=0 (2)12 (3)直线EF必过定点,该定点坐标为(3,) 【详解】(1)由题意可设直线:3x-2y+c=0, 所以3 3-2 2+c=0,所以c=-5,即1:3x-2y-5=0. (2)当直线I斜率不存在时,不存在点B,舍去 当直线斜率存在时,设:y-2=-).即4(之08Q2-刘,由题意可知 3k-2>0 k <0,改m}4e-(引6 2-3k>0 :k<0时,9k+2≥2 -9k2 =6,当且仅当9k=2,即k=-2时取等号, 2 -k 2-k 2-k ∴8m(2)引+6≥6+6=2 (3)由题意,设A(a,0),B(0,b),因为AP=2PB,点P(3,2), 即(3-a,2)=2(-3,b-2)=(-62b-4), B-58g4g0o 过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,则M(0,2): 直角梯形OAPM的顶点为O(0,0),A(9,0),P(3,2),M(0,2),上底MP=3,下底OA=9,高 为2,梯形OAPM的面积S=12 (3+9)x2=12, 设动点E(c,2)(0≤c≤3),F(d,0)(0≤d≤9): 因为直线EF平分直角梯形OAPM的面积,所以四边形OEFM的面积为6, 四边形OEFM是梯形,其上底为ME=c,下底为OF=d,高为2, 所以aw=c+dx2=c+d=6:即d=6-c,因此点F的坐标为6-c0, 直线F经过点E(6,2)和F(6-c,0),其斜率k=20、=1 c-(6-c)c-3 则直线的方程为:y-0=。5-(6-e小,化简得y-6 c-3 去分母整理得c(y-)-3y-x+6=0,上式对任意c∈[0,3]恒成立,因此需满足 y-1=0 。,解得x=3 -3y-x+6=0 y=1 所以,直线EF必过定点,该定点坐标为(3,) 18.如图,长方形ABCD中,AB=2√2,BC=√2,若E为线段CD的中点,将 ADE沿 AE翻折至 PAE AZ- (1)若PB=√6, ①证明:平面PAE⊥平面ABCE: ②求AB与平面PBE所成角的正弦值: (2)求PC与平面PAB所成角的正弦值的范围, 【答案】(1)①由题意得AB=22,AE=√2+2=2,BE=2' 在 ABE中,因为AB=AE2+BE2,所以BE⊥AE, 同理PB=√6,PE=DE=V2,BE=2, 在 BEP中,因为PB'=PE2+BE2,所以BE⊥PE 因为AEOPE=E,AE,PEC平面PAE,所以BE⊥平面PAE 因为BE,C平面ABCE,所以平面ABCE⊥平面PAE: ②以E为原点,以EA,EB所在直线分别为x,y轴,以过E垂直于平面ABCE的直线为z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系: 则A(2,0,0),B(0,2,0)P10,1),E(0,0,0 则4B=(-2,2,0):EB=(0,2,0):EP=(1,0, 设平面PBE的法向量为m=k,)则团m=0, EP.m=0 即2y=0,取x=1,则m=L0,-少 x+z1=0 设AB与平面PBE所成角为0,所以sinO= m.AB 2 ,所以AB与平面PBE所 m4B V2 2√22 成角的正弦值上; (2)设P(ab,c)因为PE=V2,AP=2,所以、a-2}+b2+c2=2,N+b+c=V2, 所以a=1,b+c2=1,且c>0,所以PL,bc: 则AB=(-2,2,0)PA=(,b,-c):PC=(-2,1-b,-c) 设平面p4B的法向量为万=(区以,小则5万=0,即2x+2y=0,取x=1,所以 PA.i=0x-by-cz=0 -) 设PC与平面PAB所成角为B, .PC 2 所以sinB= v2d PC 2+xy4+-+e9-0- 2cos 设b=cosa,c=sina,所以sinB= √2sina 2 (9-cos2a)(1-cosa) √8+sin2a 令cosg=1,所以 inB= 2 V-2+t+2 V1+1+2 sinB=- 1 t∈(0,, +?单调递增,所以B= V/1+1 2 -+1+ 所以PC与平面PAB所成角的正弦值的范围是 ”2 19.己知四面体OABC,OA=2,OB=3,OC=4,∠AOB=∠BOC=∠AOC=0,N为BC的 三等分点(靠近B),M为AW的中点,过点M的动平面a交射线OA,OB,OC于P,Q,R. B 1)如图,当0=时, 3 ①求OM的长, ②空间中一动点T,定义d(T)=TP2+TQ+TR2.当四面体0-POR的体积最小时,是否存在 点T,使得d(T)<d(M)?并说明理由. (2)当0=不时,记四面体0-POR内切球的半径为,求r的最大值. 2 【答案】(1)@43 3 ②不存在,理由: 设0P=x,00=y,0R=2,则0A=20P,0B=300,0C=40, y 所ua-om+o0+品o,i关面定埋,得品-1, y x y 3z 记棱长为1的正四面体的体积为V。,所以V。-=zV。, 由均值不等式1=1+上+2 2 ≥33 x y 3z 3xyz 此时当1_12=1, =,即x=y=3,z=2,Vo-m取得最小值, x y 3z 3 则此时OM=OP+00+OR,即M+M0+M派=-0,故M是aPOR的重心, 对空间中任意点T,则P=TM+MP,TP=(TM+MP)=TM+2TM MP+MP, 同理T0=TM+2TM.M0+M0,TR2=TM+2TM.MR+MR2, 所以 d(T)=TP+TO'+TR'=3TM2+2TM-(MP+MO+MR)+MP+MO'+MR'=3TM'+d(M) ≥d(M), 故不存在空间中一点T,使得d(T)<d(M) 2)4V5 3 【分析】(1)①利用空间向量基本定理OM=)OA+OB+二0C,再利用空间向量数量积 2 3 6 运算律即可得到答案: ②设0P=x,O0=y,OR=2,由共面定理,得++2=1,通过计算得 x y 3z d(T)=3TM+d(M)≥d(M),故不存在空间中一点T,使得d(T)<d(M). (2)求出半径的表达式,再利用导数求出最值即可. 【详解】a①0w-ow+ai-o8+5oc50i-oi+o8+goc, 2 6 所以OM-x4+x9+ 。1 ,1 ,1 16+。 cos5+ 8cos+ 12cos 9 36 3 36 39 3 '3os04 =11+号+2os0+ +fw0-g片ow0-号所o画- 3 ②略 (2)=3业 由勾股定理,PQ=Vx2+y2,PR=√+z2,QR=Vy2+z2, x2 由余弦定理,cos∠QPR= R+严.+厚,所以sn∠0pR=++yz x2+y2.vx2+22 所以Saw=2y+2+yz,所以r= xyZ ++x++xy+y2 琴最时-0 所以1,1,1, 1 安+r-安》 rs 段f0-1+r-2.f0=1+ 11t-1 r-2g 当0c1时,令0=1+"- ==0 V12-2+ 0,即1-=r2-2+ 2 解符6-1035,所以f0=f化)=1+1+1-1M=2-10w-12+35 110 11 所以r≤4,5(当1=6时取等),所以r的最大值为45 3 3