精品解析：山西大学附属中学校2026-2027学年高二上学期10月模块诊断数学试题

山西大学附中 2026-2027学年第一学期高二年级10月模块诊断 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱柱中，与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A. B. C. D. 5. 如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（ ） A. B. C. D. 0 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若两个非零向量的夹角是钝角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 在平行六面体中，，，若，其中，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则 C. 若，则与平面所成的角的正弦值为 D. 当时，线段的长度的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12. 已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 13. 过点，且与直线的夹角为的直线方程为________． 14. 已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是__________，二面角的余弦值是__________（用表示）. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. （1）用向量，，表示并求线段的长； （2）直线与所成角的余弦值. 16. 如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与垂直，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 18. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 19. 已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． （1）如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2026-2027学年第一学期高二年级10月模块诊断 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知向量，且，那么（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以，即． 2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 3. 如图，在三棱柱中，与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 4. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合向量坐标的意义求解即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以在基底下的坐标为. 故选：B 5. 如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 6. 已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 7. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面面平行可推出线面平行，找到P的轨迹，再求解轨迹长度. 【详解】 取 中点 ， 中点 ，连接, , , 为中点，为中点,所以, 平面，平面 所以; 设正方体 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，棱长为 2，则，，，， 所以，, 所以, 所以 ∵ 平面，平面,所以 又平面内，两条相交直线， 所以, 因为点在正方体的表面上运动，且平面， 因此的轨迹是平面与正方体表面相交形成的闭合折线段： , , , , 总轨迹长度：. 8. 《周髀算经》记载了“盖天说”宇宙模型，认为天地呈平行平面状．后世数学家将其抽象为：设底面为平面，天顶为平面．一束光从天顶的点射向地面的点，经地面反射后又回到天顶，其入射光线记为向量．由于地面不平整，反射光线与入射光线向量满足：反射光线的单位水平投影向量与入射光线的单位水平投影向量关于点处的南北方向（即轴方向）对称．若反射光线的模长，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意得出，，再根据对称性求出，最后利用数量积的坐标运算进行计算. 【详解】由题意得，，则， 设，因为，所以，得， 则， 因为，关于点处的南北方向（即轴方向）对称， 所以，，得，则， 则 二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若两个非零向量的夹角是钝角，则 C. 已知，平面的法向量为，则 D. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共面向量定义判断A；利用数量积定义判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；利用空间基底的意义判断D. 【详解】对于A，由空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B，由非零向量的夹角是钝角，得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定向量共面， 则存在实数对使得，整理得， 于是，方程组无解，即假设错误，因此也是空间的一个基底，D正确. 故选：ABD 11. 在平行六面体中，，，若，其中，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则三棱锥的体积为定值 B. 若，则 C. 若，则与平面所成的角的正弦值为 D. 当时，线段的长度的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到在平面上，点到平面的距离为定值，故A正确；B选项，利用空间向量基本定理表达出， 且，计算出，故；C选项，由B选项得到为平面的一个法向量，计算出，C正确；D选项，表达出，D错误. 【详解】A选项，若，， 如图1，取的中点，连接，则， 设，则为平面上的点， 由空间向量基本定理可知，在平面上， 由于平面与平面平行，则点到平面的距离为定值， 因为面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，A选项正确； B选项，若，， 则， 且， ， 所以，B选项正确； C选项，若，由B选项可知，且， 又，平面， 所以为平面的一个法向量，且，， ， 故， 又因为 ， 所以，与平面所成角的正弦值为，C选项错误； D选项，，，， 则， ， 当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，D选项错误． 故选：AB． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，14题第一空2分，第二空3分） 12. 已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】由直线垂直平面，推得直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量平行的坐标比例关系列方程求解. 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 13. 过点，且与直线的夹角为的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】所求直线与直线夹角为，即与直线垂直， 可设所求直线方程为：， 代入得：，所求直线方程为：. 14. 已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是__________，二面角的余弦值是__________（用表示）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由空间位置关系结合勾股定理和等面积可得的取值范围；建立如图所示坐标系，找到二面角，再由空间两点间距离求出二面角的余弦值即可； 【详解】 如图所示，由题意当点在位置时，即与共面时，分别有最大值和最小值， 当在时，； 当在时，作于，在中由等面积可得， 所以， 由对称性可得， 所以的取值范围是； 在矩形中，作于交于，作于， 因为，由等面积可得， ，， 翻折后，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则二面角的平面角为，设， ， ， 解得， 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键在于建立空间直角坐标系，由二面角和长度表示出点坐标，再由空间两点间距离求解. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点. （1）用向量，，表示并求线段的长； （2）直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）；线段的长为； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由题意知 ， ， 即线段的长为. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 又 . 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 16. 如图，平面是正方形，平面，，，，点，分别为棱和的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和直线的单位方向向量，利用空间向量法即可求解； （2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法即可求解． 【小问1详解】 因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直， 以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 取直线的单位方向向量， 设点到直线的距离为，则． 【小问2详解】 因为，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线与垂直，写出直线的方程； （2）求面积的最小值； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）设，，则，， ，，解得：，； 轴，且在轴上，， 直角梯形的面积； 设，， 直线平分直角梯形的面积，四边形的面积为， 即，，则， 直线的方程为：， 整理可得：， 由得：，直线必过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直可假设直线方程，代入点即可； （2）分析可知直线斜率，设，进而求得坐标，利用表示出，利用基本不等式可求得结果； （3）根据向量坐标运算可求得坐标，设，，根据直线平分直角梯形的面积可求得，表示出直线方程后，根据直线过定点的求法可求得结果. 【小问1详解】 设直线， 代入点得：，解得：， 直线方程为：. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不存在点，不合题意； 当直线斜率时，不存在点，不合题意； 当直线斜率时，设， 令，解得：，即； 令，解得：，即； 分别位于轴正半轴，，解得：； ， ，，， （当且仅当时取等号）， 面积的最小值为. 【小问3详解】 略 18. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． （1）若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； （2）求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】（1）①由题意得，， 在中，因为， 所以， 同理，， 在中，因为， 所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②. （2） 【解析】 【分析】（1）①应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； ②先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）先建系，再设点，再求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式结合值域计算求解； 【小问1详解】 ①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； 【小问2详解】 设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； 19. 已知四面体OABC， ，N为的三等分点(靠近B)，M为的中点，过点M的动平面交射线于，，． （1）如图，当 时， ①求的长． ②空间中一动点T，定义当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当 时，记四面体 内切球的半径为r，求r 的最大值． 【答案】（1）① ； ②不存在，理由： 设，，，则，，， 所以，由共面定理，得， 记棱长为1的正四面体的体积为，所以， 由均值不等式， 此时当，即，，取得最小值， 则此时，即，故是的重心， 对空间中任意点，则，， 同理，， 所以 ， 故不存在空间中一点，使得． （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用空间向量基本定理，再利用空间向量数量积运算律即可得到答案； ②设，，，由共面定理，得，通过计算得，故不存在空间中一点，使得． （2）求出半径的表达式，再利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 ①， 所以 ，所以． ②略 【小问2详解】 ，，， 由勾股定理，，，， 由余弦定理，，所以， 所以，所以， 所以，，， 所以（设）， 设，， 当时，； 当时，令，即， 解得，所以， 所以（当时取等）， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $