精品解析：江苏省靖江高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期阶段考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知直线.若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 直线与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 5. 当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. B. 1 C. D. -1 6. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数、、、满足，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，点及直线，则（ ） A. 直线恒过的定点在直线上 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. 若直线过第二、四象限，则 D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为 B. 已知点在圆：上，则的最大值是 C. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，切点为，，则直线经过定点 11. 已知圆和圆.其中正确的结论是（ ） A. 当时，圆和圆有4条公切线 B. 若圆与圆相交，则的取值范围为 C. 若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为 D. 若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 13. 一束光线从点射出，与直线：相交于点.经直线反射，则反射光线所在直线的方程为__________. 14. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点为A，B，若存在点，使得，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）设为曲线上一点，且，求的周长和面积. 16. 在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． （1）若是边上的高，求直线的方程； （2）若是边上的中线，求直线的方程． 17. 已知圆与两坐标轴均相切，且过点.直线过点交圆于，两点. （1）求圆的方程； （2）若且，求直线的方程. 18. 在直角坐标系中，直线交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切. （1）求圆O的方程； （2）设点为直线上一动点，若在圆O上存在点P，使得，求的取值范围； （3）是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； （3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期阶段考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知直线.若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【详解】因为已知直线，且， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足. 故选：B 2. 直线与间的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 3. 今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，则直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，解不等式即可. 【详解】设，则，因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 故的取值范围是. 故选：D． 4. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线经过圆的圆心求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系即可. 【详解】因为圆，所以， 由题意，点在直线上， 得到，故，， 又，，可得， 又，，得到， 则圆与圆相交，故C正确. 故选：C 5. 当圆 截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. B. 1 C. D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程得到直线经过定点，通过比较点到圆心的距离和半径的大小得到点在圆的内部，再利用几何的方法得到直线时弦长最短，最后利用垂直关系列方程求解即可. 【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，直线：，即，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内部，所以当直线时弦长最短，又，所以，解得. 故选：D. 6. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立两直线方程求出点的坐标，消去参数得到的轨迹圆；再构造点，把转化为，利用三角不等式求最小值． 【详解】设． 由，解得 于是 所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点． 由得 因此即． 于是 又，，故线段与圆有唯一交点． 该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立． 所以的最小值为，A正确． 8. 已知实数、、、满足，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定、在圆上，且，首先求出的最小值，转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算，即得到答案. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形， 而表示、到直线的距离之和， 又原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， 所以，， 故在圆上，所以. 故的最小值为， 又， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，点及直线，则（ ） A. 直线恒过的定点在直线上 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. 若直线过第二、四象限，则 D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，得到所过定点，得到答案；B选项，分析出直线过原点或直线不过原点且斜率为-1两种情况，求出的值；C选项，根据直线的斜率小于0，得到；D选项，根据题意得到只有时满足题意，求出. 【详解】对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为， 直线斜率存在时，其方程为，得其过定点， 综上，直线过点，其不在直线上，错误； 对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1， 当直线过原点时，解得， 直线不过原点且斜率为-1时，解得，错误； 对于，直线过第二、四象限，则直线斜率，解得，正确； 对于D，若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补， 又直线过定点，经分析知只有时满足题意， 此时直线的斜率为，D正确. 故选：CD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为 B. 已知点在圆：上，则的最大值是 C. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，切点为，，则直线经过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两点对应斜率得倾斜角判断A选项，B选项用几何法得最大值，C选项结合半圆弧的图形特征计算，D选项推导切点弦方程证过指定定点. 【详解】选项A中，因为直线过、，则直线的斜率， 可知直线的倾斜角为，不是，A错误， 选项B中，令，即，则的几何意义是斜率为的直线的纵截距， 因为圆的圆心为，半径， 则，解得，所以的最大值为，B正确， 选项C中，曲线整理得， 是圆心为、半径的上半圆；直线恒过定点， 当直线与半圆相切时，则，解得， 当直线过点（半圆左端点）时，则， 若直线与半圆有两个不同交点，则的取值范围是，C错误， 选项D中，设动点的坐标为， 已知圆，切点为、， 圆在点的切线满足：， 因为在上，则， 同理可得， 因此、两点均满足直线方程， 即为直线的方程，整理得 ， 所以直线恒满足，解得定点坐标为， 即直线经过该定点， 因此D正确. 11. 已知圆和圆.其中正确的结论是（ ） A. 当时，圆和圆有4条公切线 B. 若圆与圆相交，则的取值范围为 C. 若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），则实数的值为 D. 若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于，当时，由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，判断两圆的位置关系即可求解；对于，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围；对于，设，，联立直线和圆的方程，可得的取值范围，由韦达定理代入即可求解；对于，设点，由可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，，即得到的坐标. 【详解】对于，当时，，，， ，，， 所以， 所以， 因为，所以圆和圆外离， 所以圆和圆有4条公切线，故正确； 对于，， 若圆与圆相交，则， 解得，故正确； 对于，若直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，解得， ， 所以，因为，所以，故不正确； 对于， 设点，直线和的方程分别为，， 即，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 所以， 化简得或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：设点，由可得两直线方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在轴上可得. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，得. 故答案为： 13. 一束光线从点射出，与直线：相交于点.经直线反射，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合图象求得关于的对称点，由此求得反射光线的斜率，再结合点，可得直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 14. 已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点为A，B，若存在点，使得，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可得，且有，即可解得的值，易得直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，即可求得的取值范围. 【详解】在中，设，， ， ， 解得或（点不可能在内，舍去），即， 所以点的轨迹方程为， 因为点在直线上，所以直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）设为曲线上一点，且，求的周长和面积. 【答案】（1）； （2）周长是，面积是. 【解析】 【分析】(1)核心是利用两圆内外切的距离关系，得到动点到两定点距离之和为定值，用椭圆定义直接写出轨迹；(2)结合椭圆定义与余弦定理，整体求出两条焦半径的乘积，再用三角形面积公式求出面积. 【小问1详解】 圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径， 设动圆圆心，半径，动圆与内切：，动圆与外切：，两式相加得， ，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，， 故轨迹方程是； 【小问2详解】 由为曲线上和椭圆的定义得， 故的周长， 在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得， 故的面积. 所以的周长为，面积为. 16. 在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上． （1）若是边上的高，求直线的方程； （2）若是边上的中线，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）联立直线、的方程，得出点的坐标，可得出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设，则点关于的对称点为在直线上，可求出的值，可点的坐标，进而可求得直线的方程，即直线的方程. 【小问1详解】 由得，所以，直线的斜率为， 因为，所以，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 点在直线上，设， 点关于的对称点为在直线上， 所以，解得，即点， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 17. 已知圆与两坐标轴均相切，且过点.直线过点交圆于，两点. （1）求圆的方程； （2）若且，求直线的方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆与两坐标轴均相切，且过点，可得，得，解出即可； （2）结合第一问和已知得到圆的方程为，根据，得到，再令于 ，设，，得到方程组 ，解得 ，再设，根据圆心到的距离求出即可. 【小问1详解】 圆与两坐标轴均相切，且过点，， 则，得， 或， 圆的方程为或； 【小问2详解】 ，，圆的方程为， 　，， 作 于 ，设，则 ， 故 ，解得， 设，则， 则圆心 到 的距离 ， ，化简得：，解得或， 直线的方程为或. 18. 在直角坐标系中，直线交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切. （1）求圆O的方程； （2）设点为直线上一动点，若在圆O上存在点P，使得，求的取值范围； （3）是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，点S的坐标为 【解析】 【分析】(1)求出点O到直线l的距离即可求得圆O的方程. (2)对于直线上的每一点N，当NP与圆O相切时，最大，由即可计算得解. (3)当直线L斜率存在时，设其方程为，与圆O的方程联立，利用给定条件并 借助韦达定理探求k，m的关系即得，再讨论直线L斜率不存在的情况即可判断作答. 【小问1详解】 原点O到直线的距离为，因圆O与直线l相切， 所以圆O的方程为：. 【小问2详解】 点O到直线的距离为，即直线与圆O：相离，对于此直线上的每一点N， 点P在圆O上，当NP与圆O相切时，点O到直线NP距离为圆O半径2，是点O到由点N与圆O上任意点确定的直线距离最大的，如图， ，要圆O上存在点P，使得，当且仅当NP与圆O相切且， 即，则有，因此，， 而，即，解得， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 直线L斜率存在时，设其方程为，由消去y并整理得：， 设，则，而点，要成立， 当且仅当直线AM，BM斜率互为相反数，即，则， 整理得，即，化简得， 直线L：恒过定点，显然点在圆O内，方程有两个不等实根， 当直线L斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，恒有成立， 此时，直线L可为和圆O：相交且与x轴垂直的每一条直线，直线为其中之一， 综上得，无论直线L斜率存在与不存在，只要L过点就恒有成立， 所以存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆：，，是圆上的动点，且，的中点为. （1）求点的轨迹方程； （2）设点是直线：上的动点，，是的轨迹的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值； （3）若垂直于轴的直线过点且与的轨迹交于点，，点为直线上的动点，直线，与的轨迹的另一个交点分别为，，（与不重合），求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3） 由题意可知：直线，由，解得或， 不妨令， 先证明如下问题：若点为直线上的动点，直线（其中）与圆的另一个交点分别为，（与不重合），求证：直线过定点． 因为， 可知，即，可得， 又因为， 可得， 则，即， 整理可得， 若直线的斜率存在，设为， 联立方程，消去y可得， 则，且， 则，整理可得，解得或， 若，则直线：过定点； 若，则直线：过定点，又与不重合，不合题意； 所以直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，可得， 即，解得或（舍去）， 此时直线过点，符合题意； 且在圆内部，直线与圆必相交， 综上所述：直线过定点. 将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移个单位，即可得到本题的问题， 结合图形平移可知：直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据弦长关系可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，即可得方程； （2）根据切线性质可得，进而可得最小值； （3）先进行图形平移，将圆心平行至原点，可得，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线过定点，进而可得结果. 【小问1详解】 已知圆的方程为 ，将其转化为圆的标准方程： . 所以圆心，半径. 因为是的中点，可知 . 已知，则 . 在中，根据勾股定理. 设点，根据两点间的距离公式 ， 两边平方可得 . 所以点的轨迹方程为 . 【小问2详解】 因为，是圆的切线，所以，. 又因为 ， 所以四边形的面积， 根据勾股定理 ， 所以. 点是直线上的动点， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离 ， 即.当取最小值时， . 所以四边形面积的最小值为 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $