精品解析：四川南充市嘉陵第一中学2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试题

嘉陵一中高2026级高一上期第一次学情调研 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题首先求出集合A的补集然后与集合B求交集即可． 由题，故选B． 考点：集合的运算 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分，必要条件关系判断. 【详解】由，可得， 但时，如，， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 下列关系中：①，②，③，④，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系的表示逐项判断. 【详解】：0是集合中的元素，正确； ：是空集，表示元素属于集合； 里面只有元素，空集不是它的元素，应该是，错误； ：左边集合元素是数字0，1；右边集合元素是点， 元素类型不一样，错误； ：与是不同点，两个集合元素不同，错误. 4. 设，，则两数最精确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以， 故选：A. 5. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【详解】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 6. 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ） A. 对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B. 对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题为全称命题， 则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解， 故选：D. 7. 为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（ ） A. 8人 B. 10人 C. 13人 D. 15人 【答案】D 【解析】 【分析】利用Venn图求解即可. 【详解】如图所示： 设恰好参加一个社团的人数为，恰好参加两个社团的人数为，则①， 又②， 联立①②得，. 故选：D. 8. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 90 B. 96 C. 110 D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】将代入，得： . 当且仅当即时取等号. 故选：B 二、多选题．（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的近似值的全体构成一个集合 B.  C. 在整数集中，若，则 D. 若，则且 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合集合的基本性质、集合间的关系、整数集的性质及子集定义的否定的对应概念逐一判断即可. 【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误； 对于B，集合，集合，显然，故B正确；  对于C，整数的相反数仍然是整数，因此若，则，故C正确； 对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”，也就是的等价表述，故D正确. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 11. 设为非空实数集，且满足：（i）；（ii）若，则．下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若，则可能是元素个数有限的集合 B. 集合中可能恰好有两个元素 C. 若，则 D. 对任意，，必有 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过迭代运算与反证法，逐项判断即可. 【详解】对于，当时，，此时集合， 所以集合可能是元素个数有限的集合，正确； 对于，假设集合， 由题可知，，则；，则， 所以， 整理得，即，， 解得，，此时， 但是，矛盾， 所以集合中不可能恰好有两个元素，错误； 对于，若，则，正确； 对于，若存在某个，使得， 则， 迭代可得，，，，，， ，与题干的矛盾， 所以对任意，，必有，正确. 三、填空题．（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 满足的集合M共有___________个. 【答案】7 【解析】 【分析】根据集合的基本关系，可得集合M包含，且集合M是的真子集，即可得出集合M的个数. 【详解】由题意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集， 所以或或或或或或, 即集合M共有个. 故答案为： 13. 若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设是真命题，利用判别式符号列不等式求参数范围. 【详解】原命题的否定是“”，且是真命题， 则，即，解得. 故的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法及不等式的性质求解即可. 【详解】令，，则，， 所以，. 则. 又，则；又，则. 所以，即. 故的取值范围是. 四、解答题．（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集为，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据集合的交运算即可结合数轴求解， （2）根据并集以及补集即可求解. 【小问1详解】 画出集合A和集合B表示的数轴图， 则由图可得； 【小问2详解】 或. 16. 已知集合，或，． （1）求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）先求解一元二次不等式得到集合，再根据集合交集、并集运算即可求解； （2）把必要不充分条件转化为集合真包含关系，分集合为空集、不是空集两种情况讨论，列不等式组即可求得参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意知：集合，集合或， 所以或，； 【小问2详解】 由“是的必要不充分条件”知：是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，，即， 综上所述，实数的取值范围是. 17. （1）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm大于右臂长bcm）称黄金．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘，取出一些黄金（m克）放在天平右盘使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘，取出一些黄金（n克）放在天平左盘使天平平衡；最后将两次称量的黄金交给顾客，请比较m+n与10的大小； （2）某驾驶员给爱车加油有两种不同的办法：第一种是不考虑价格变化，每次都加满油箱（大约40升）；第二种是不考虑价格变化，每次都加300元（油箱能装下）；当前油价在不断的变化中，请从数学角度比较哪种方法更经济实惠． 【答案】（1）；（2）第二种 【解析】 【分析】（1）根据已知可推得，相加根据基本不等式，即可得出答案； （2）设两次加油的价格分别是是m以及n，然后求出两种办法的平均价格，根据基本不等式求出范围，即可得出答案. 【详解】（1）两次分别取出黄金m克、n克， 则，所以. 则， 当且仅当，即时等号成立. 又，所以； （2）设第一次加油的价格是m（元/升），第二次加油的价格是n（元/升）， 第一种加油方式的平均价格是； 第二种加油方式的平均价格是. 因为，（当且仅当时取等号）， 所以，如果两次加油价格有变化，则第二种加油方式的平均价格更低， 如果两次加油价格没有变化，两种加油方式平均价格相同， 总之，第二种加油方法更经济实惠． 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若，，为三角形的三边长，则； 【答案】（1），证明如下： 因为，，都是正数，且， 所以，，可得，所以 （2）证明：由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理，， 所以 由三角形三边关系： ，， ，， 而 综上所述：． 【解析】 【分析】（1）根据糖水浓度变大，列出不等式；采用作差法，对两个分式相减、通分，结合已知条件判断差的正负，证得不等式成立； （2）借助三角形两边之和大于第三边，对各项分式分别放缩，分别证明不等式的左右两边. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 【答案】（1） 李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中用了2次基本不等式，一次是，等号成立的条件是，，即 第二次是，等号成立的条件是，，即， 这与矛盾，所以两根等号不能同时取到，所以最小值也不正确； （2） （ⅰ）由基本不等式可知，，，， 所以， 即， 等号成立的条件是当且仅当，即时，等号成立， 所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）李雷用了2次基本不等式，需判断2次等号成立的条件是否成立； （2）（ⅰ）利用基本不等式即可证明；（ⅱ）由条件变形为，再将转化为关于的式子，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由已知，且， 则，即， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是掌握基本不等式的条件“一正，二定，三相等”，最后一问的关键是转化思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2026级高一上期第一次学情调研 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集，，，则 A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列关系中：①，②，③，④，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设，，则两数最精确的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 6. 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（ ） A. 对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B. 对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D. 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 7. 为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、书法社团和围棋社团，若高一（10）班共有45名学生，每个学生至少参加一个社团，其中有29人参加篮球社团，26人参加书法社团，24人参加围棋社团，三个社团均参加的有4人，则恰好参加一个社团的学生有（ ） A. 8人 B. 10人 C. 13人 D. 15人 8. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A. 90 B. 96 C. 110 D. 122 二、多选题．（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的近似值的全体构成一个集合 B.  C. 在整数集中，若，则 D. 若，则且 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设为非空实数集，且满足：（i）；（ii）若，则．下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若，则可能是元素个数有限的集合 B. 集合中可能恰好有两个元素 C. 若，则 D. 对任意，，必有 三、填空题．（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 满足的集合M共有___________个. 13. 若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 14. 已知，，则的取值范围是__________． 四、解答题．（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集为，，. （1）求； （2）求. 16. 已知集合，或，． （1）求，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. （1）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm大于右臂长bcm）称黄金．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘，取出一些黄金（m克）放在天平右盘使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘，取出一些黄金（n克）放在天平左盘使天平平衡；最后将两次称量的黄金交给顾客，请比较m+n与10的大小； （2）某驾驶员给爱车加油有两种不同的办法：第一种是不考虑价格变化，每次都加满油箱（大约40升）；第二种是不考虑价格变化，每次都加300元（油箱能装下）；当前油价在不断的变化中，请从数学角度比较哪种方法更经济实惠． 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若，，为三角形的三边长，则； 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $